淺談分類討論思想在中學數學中的應用

何昌云

摘 要：分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，這種思想在簡化研究對象、發展思維方面起著重要作用，因此，有關分類討論的思想的數學命題在高考試題中占有重要地位.

關鍵詞：分類討論思想；中學數學；應用

所謂分類討論，就是在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統一研究，我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”.下面分析一下分類討論思想在中學數學中的應用.

一、分類討論思想在集合中的應用

例1.設A={[x] -2≤x≤a}，B={[y] y=2x+3，x∈A}，C={[z] z=x2，x∈A}，且C?B，求實數a的取值范圍。

解∵A={[x] -2≤x≤a}，

∴B={[y] y=2x+3，x∈A}

={[y] -1≤y≤2a+3}.

（1）當-2≤a≤0時，C={[z] a2≤z≤4}，因為C?B，所以4≤2a+3，解得a≥，

與-2≤a≤0矛盾.

（2）當0

解得a≥，

故≤a≤2.

（3）當a>2時，C={[z] 0≤z≤a2}，因為C?B，所以a2≤2a+3，

解得-1≤a≤3，

故2

綜上可得[a]

≤a≤3.

二、分類討論思想在函數中的應用

例2.已知函數f（x）=2x2-2ax+3在區間[-1，1]上有最小值，記作g（a），求g（a）的函數表達式.

解：原式配方得y=2（x-）2+3-，

其對稱軸方程為x=，

（1）當≤-1時，即a≤-2時，y在[-1，1]上遞增，

在x=-1時，g（a）=2a+5；

（2）當-1<<1時，即-2

在x=處有最小值，g（a）=3-；

（3）當≥1即a≥2時，y在[-1，1]上單調遞減，

在x=1時，g（a）=5-2a；

綜上所述可得g（a）=2a+5，（a≤-2）

3-

（-2

5-2a，（a≥2）.

三、分類討論思想在不等式中的應用

例3.解關于x的不等式x2-（a+a2）x+a3>0.

解：（1）當0a2，不等式的解集為{[x] xa}；

（2）當a=0時，a=a2，不等式解集為{[x] x∈R且x≠0}；

（3）當a≠1時，a=a2，不等式解集為{[x] x∈R且x≠1}；

（4）當a>1或a<0時，a

四、分類討論思想在排列組合中的應用

例4.在正方體的頂點中，12條棱的中點，6個面的中心及正方體的中心共27個點中，共線的三點組的個數是多少？

解：依題意，共線的三點組可以分為三類：

（1）兩端點皆為頂點的共線三點組，共有=28（個）；

（2）兩端點皆為面的中心的共線三點組，共有=3（個）；

（3）兩端點皆為各棱中點的共線三點組，共有=18（個）

所以總共有28+3+18=49（個）。

五、分類討論思想在數列中的應用

例5.已知數列1，2x，3x2，4x2，……，求它的前n項和.

分析：本題未指明數列為等比數列，所以分類討論時還要考慮x=0這一情況.

解：設Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

（1）當x=0時，Sn=1；

（2）當x=1時，Sn=1+2+3+…+n=；

（3）當x≠0且x≠1時，

由Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

得xSn=x+2x2+3x3+…+（n-1）xn-1+nxn，

兩式相減：

（1-x）Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=-nxn，

∴Sn=.

綜上所述：

Sn=1，（x=0）

（x=1）

，（x≠0且x≠1）.

通過探討分類討論思想在中學數學中集合、函數、不等式，排列組合等中的應用，我們應用正確的分類討論思想，對不同情況進行分類研究，使問題化整為零，各個擊破，再積零為整，從而使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.所以，在教學中教師應該滲透分類討論的思想，讓學生充分感受并掌握這種思想.

參考文獻：

[1]郭可銀.談分類討論思想方法在解題中的應用：高中版[M].高等教育出版社，2005-04.

[2]劉文武.中學數學中重要的數學思想：分類討論思想[M].科學出版社，2003-11.

編輯 薄躍華