分類討論在初中數(shù)學學習中的應(yīng)用

徐文紅

摘 要：分類思想是初中數(shù)學中一種非常重要而且常見的思想。在近幾年的中考試題中，常常利用分類討論來加大試卷的區(qū)分度。因此，從分類討論的不同類型和考點題型入手，闡述在初中數(shù)學解題中運用分類討論思想的方法。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學；分類討論；新課程

分類討論思想是初中數(shù)學中一種非常重要而且常見的思想。在每年的中考試題中，常常利用分類討論來加大試卷的區(qū)分度。而且分類討論思想與新課程改革中提出的培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神與探索精神是一致的。因此使學生形成分類討論思想，并掌握一定的分類技巧以及常見題型的分類方法，形成一定的分類體系非常必要。

在數(shù)學中，把問題劃分為若干情況，然后逐一求解的過程叫作分類討論，也稱分情況討論。解答分類討論問題的步驟是：首先，確定討論對象以及所討論的對象的全體范圍；其次，確定分類標準，正確進行合理分類，再對所分情況進行求解，獲取階段性結(jié)果；最后，進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。

現(xiàn)在，把初中數(shù)學教學中分類討論的類型歸納如下：

一、由問題中分類定義的概念和性質(zhì)而引起的分類討論

例1.若a，b為非零實數(shù)，代數(shù)式++的所有可能的值有（ ）

A.2個 B.3個 C.4個 D.無數(shù)個

解析：根據(jù)題意，按a，b的符號，分4種情況討論；每種情況下，利用絕對值的性質(zhì)去掉絕對值，求出代數(shù)式的值；然后綜合幾個結(jié)果，得出結(jié)論。

解：根據(jù)題意，按a，b的符號，分4種情況討論：

①a>0，b>0時，原式++=1+1+1=3；②a>0，b<0時，原式=++=1-1-1=-1；③a<0，b>0時，原式=++=-1+1-1=-1；④a<0，b<0時，原式=++=-1-1+1=-1；綜上所述，共兩種結(jié)果，故選A。

二、由問題中參數(shù)的不同取值引起的分類討論

例2.已知關(guān)于x的方程（k2-1）x2-2（k+1）x+1=0有實數(shù)根，求k的取值范圍。

解析：因為k出現(xiàn)了二次項系數(shù)，所以當k2-1=0時，-2（k+1）≠0此方程為一元一次方程，一定有實數(shù)根。當k2-1≠0時，此方程是一元二次方程，方程有實數(shù)根，根據(jù)根的判別式Δ≥0求k的取值范圍，因此分兩種情況進行討論。

解：（1）k2-1=0，-2（k+1）≠0即k=1時，為一元一次方程，一定有實數(shù)根；

（2）k2-1≠0，即k≠±1時，此方程為一元二次方程；Δ=[-2（k+1）]2-4（k2-1）≥0，解得k≥-1。綜上可得k>-1。

三、由于問題中不確定的圖形位置或形狀，不確定對應(yīng)關(guān)系的全等或相似引起的分類討論

例3.在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，則這個三角形的外接圓直徑是（ ）

A.5 B.10 C.5或4 D.10或8

解析：這個三角形的外接圓直徑是斜邊長有兩種情況：斜邊是BC，或斜邊是AC。

解：根據(jù)題意得：（1）斜邊是BC，即外接圓的直徑是8；（2）斜邊是AC，即外接圓的直徑是=10。綜上所述，三角形的外接圓直徑為8和10。故選D。

總之，初中數(shù)學中的分類討論是一種重要的數(shù)學思想，有利于增強學生思維的條理性、縝密性和科學性。教師在教學中結(jié)合教材，創(chuàng)設(shè)情境，強化需要區(qū)分情況進行討論的問題，啟發(fā)學生積極思維，從而培養(yǎng)學生自覺應(yīng)用分類討論的意識。通過在教學中著重滲透數(shù)學思想方法的學習，相信學生在認知層次上會得到極大地提高，從而收到事半功倍的效果。

編輯 李建軍