高師生數學解題直覺的培養

王勇

摘 要：試從素質、圖形、條件等十個方面探索教學中如何培養高師生的數學解題直覺。

關鍵詞：解題直覺；興趣；高師生

數學直覺的發展，就是一種高層次的習慣和修養。高師生數學解題直覺起步低，特別需要教師的注意。有的直覺需要發現，有的直覺需要發掘，有的直覺需要發揮。培養數學解題直覺是培養高師生的創新思維能力的一部分，作為教師，應從教學的細節入手，引導學生的解題思維，使正確的解題感覺得到保護，使學生的解題具有趣味性。本文試從十個方面列舉簡述教學中培養學生解題直覺的體會。

一、素質直覺

例1：將4x-y-2=0化成截距式標準形式，+=1，其中將2寫成，-寫成就是新舊兩種數學直覺的表現，對于高師生是個坎。又如y

x+2y≤4

y≥-2寫成x-y>0

x+2y-4≤0

y≥-2，其中把y0就是素質直覺。學生解題首先注意格式的規范。

二、圖形直覺

例2：求過原點且與圓（x-1）2+（y-1）2=1相切的直線方程。

本題表面看很復雜，但只要畫圖，結合圖形思考就可知是x=0，y=0，不用繁瑣的計算。

三、條件直覺

例3：點P在直線3x+y-5=0上，且點P到直線x-y-1=0的距離為，求點P的坐標。

利用3x+y-5=0，設P為（a，5-3a）而不是其他，即為條件直覺，這樣的直覺需要教師的點撥。

四、綜合直覺

例4：直線l到兩條平行線2x-y+2=0和2x-y+4=0的距離相等，求直線l的方程。

教學時讓學生猜，畫圖形輔助，可能有的學生就會猜出是2x-y+3=0。

五、公式直覺

例5：點M（x，y）在運動過程中，總滿足關系式+=10，點M的軌跡是什么曲線？為什么？寫出它的方程。

類比課本橢圓公式的推導，教師通過提問：

1.，分別是點M（x，y）到哪兩點的距離？

2.焦點在哪個軸上？

3.c，a是什么？將學生的公式直覺發掘，一步步解決問題。

六、過程直覺

例6：已知點A（7，8），B（10，4），C（2，-4），求△ABC的面積。

直覺一：通過畫圖以BC為底作高；

直覺二：BC===8，計算的直覺；

直覺三：求BC邊上的高，d==，不用化簡，保留，求面積就比較直接，直覺二、三是綜合顯示計算直覺。

七、思路直覺

例7：求經過點P（-3，0），Q（0，2）的橢圓的標準方程。

通過畫圖，思路直接定位于a=3，b=2并且焦點在x軸上這一結果，不需要考慮太復雜。

八、錯覺與直覺

例8：求漸近線方程是y=±x，焦點坐標為（-5，0），（5，0）的雙曲線方程。

錯覺：=，學生認為：a=4，b=3，過程中有a2+b2=25

=。

正確的直覺，a=4，b=3，其實這只需要教師問一問，即可使學生從解方程步驟的思維之勢中走出來。

九、困難的直覺

例9：雙曲線+=1的離心率e<2，求R的取值范圍。

本問題可能引起這樣幾個困惑的直覺：一是不能從操作本質上肯定它是雙曲線方程，二是不能確認寫成-=1，三是不知-k>0這個約束條件仍需要使用。

十、優秀的直覺

主要指三部分，條件、過程、結果直覺。下面從三方面加以說明。

1.條件直覺

例10：求過點M（2，3），N（0，5）的雙曲線的標準方程。

已知M，N兩個點坐標，表示要討論，實際提示雙曲線一個頂點在軸上，所以可設方程為-=1。

2.過程直覺

例11：求離心率e=過點（3，1）的雙曲線的方程。

從解題過程中可知e=，a=b，此雙曲線是等軸雙曲線，而過（3，1），32>12，這就意味著雙曲線的方程可直接設為-=1。

3.結果直覺

例12：求過（3，-4），和（，5）兩點，焦點在軸上的雙曲線的標準方程。

本題計算較復雜，正確結果是-=1，此結果暗示兩層意思，一是簡約的結果意味正確，另一層意思是學生應將點的坐標代入雙曲線方程檢驗，這是高層次的直覺，是常規的審視。

參考文獻：

魏亞鳴.高中生數學思維能力的培養[D].河南大學，2014.

編輯 薛直艷