范希爾幾何思維水平對幾何教學的啟示

陶紅強

關于學生幾何概念發展與學習的研究，范希爾的幾何思維水平是有著廣泛影響的。范希爾的幾何思維水平既可用于診斷學生的幾何思維水平，也可用于教學活動的設計。一線教師認識和理解范希爾的幾何思維水平，有利于在幾何教學中組織有效教學活動，更好地促進學生空間觀念的形成。范希爾幾何思維水平分為五個等級，而小學生只能達到前三個等級。現結合前三個等級以“直線、射線和角”的教學為例，具體說一說范希爾幾何思維水平在幾何教學中的啟示。

一、借助直觀，促進理解（水平1）

1. 關于水平1（直觀化）的解讀。

處于這一水平的學生能按照外觀來識別、操作一些幾何圖形，學生的推理是由直覺主宰。也就是說在這個階段的學生往往只能從外觀上識別圖形，而不關心也沒有能力清楚地確定圖形的性質。

2. 體現出“直觀性”的心理特點。

小學生的思維是以具體性和形象性為主的，所以對一些直觀的圖形和概念比較容易理解。對于那些比較抽象的幾何概念，理解存在一定困難，需要借助直觀的手段來理解。

3. 對教學的啟示。

在“直線、射線和角”的教學中，首先出示一組線，讓學生對其分類。此時通過對外觀的觀察可以按照直和曲的標準將其分類。通過這樣的標準分類，有利于學生從整體上感知射線、直線和線段的共同本質特征——直，為進一步學習三線間的聯系做好鋪墊。盡管這樣的分類僅僅是從外觀上進行的，而不是根據圖形的性質來區分的，但這樣的處理卻把學生的思維由直觀引向圖形的性質特征，以便更好地從直觀化水平向描述水平過渡。

另外，關于射線、直線的認識，也是需要聯系生活中熟悉的事物。例如在學習射線時，可借助課件向學生展示射向天空的光線。讓學生說一說這條射向天空的光線有什么特點。在學習直線時，則可展示孫悟空的金箍棒，然后動態展示金箍棒一直向兩端延長的動畫，并讓學生想象這樣一直延長下去的金箍棒會具有怎樣的特點。這種直觀化的手段，有利于學生整體感知光線（金箍棒）的特點及其構成要素（端點和線）。盡管這種認識還是基于經驗性的，但在理解幾何概念及其發展空間觀念時卻起著重要作用。這里還涉及一個問題，那就是數學概念的心理表征問題。鄭毓信教授認為：在大多數情況下，數學概念在人腦中的心理表征都不是相應的嚴格定義，而是一種由多種成分組成的復合物（這就是所謂的概念意象），包括相應的心智圖像、對其性質及相關過程的記憶，以及具體的例子等。就幾何概念而言，其概念意象往往就包含有對其某個特例（或原型）的感性記憶。由此可以看出，通過直觀手段向學生展示生活原型或特例，在幾何概念的學習中至關重要。過了很多年以后，學生也許早已忘記射線和直線的嚴格數學定義，但一直向兩端延長的金箍棒等數學情景畫面則可能牢牢地印在學生的頭腦中，而這個情景足以使其理解直線的定義和特征。

二、在活動中探索圖形性質（水平2）

1. 關于水平2（描述、分析）的解讀。

處在這一階段的學生能通過圖形的性質來識別圖形，并能確定圖形的特征，卻看不出兩類圖形之間的關系。也就是說，在這個階段的學生，能通過觀察、測量、搭建等活動，經驗性地建立圖形的性質，并用日常生活的經驗用語將這些性質描述出來。

2. 體現出“偏重于明顯要素”和“描述性”等心理特點。

圖形是由一些要素組成的，學生在認識幾何圖形時，對于幾何圖形的各組成要素在感知時是有選擇性的。對于比較明顯的、突出的要素感知起來比較容易，反之則感知困難。“描述性”主要體現在學生交流時，一般使用自己的日常語言，而不是使用書上的那種標準的數學語言。

3. 對教學的啟示。

幾何圖形的學習，一個非常重要的方面就是對圖形特征的學習。像線段特征的認識、射線特征的認識、直線特征的認識，即屬于這個水平層次的學習。學生通過相關特征的學習，能將圖形的性質與一類圖形建立聯系，但不能在不同類圖形之間建立聯系。例如，學生在學習了射線的特征后，能根據射線的特征辨別某條線是不是屬于射線，但此時還不能對線段、射線和直線的關系與區別做出認識。在具體教學中，讓學生經歷觀察光線、金箍棒等環節后，可以讓學生嘗試著動手將這樣的線畫出來。這里要說明的是，學生在畫的過程中必然伴隨著一個思考的過程，可以使頭腦中零散的、模糊的想法變得有關聯、清晰起來，從而加深對圖形性質的理解。

學生在探索圖形性質時，具有偏向于明顯要素，而容易忽略隱含要素這一心理特點。具體表現在探索線段時，容易感知“兩個端點”與“直的”兩個要素，而容易忽略線段的“有限長”這一隱含要素。同樣，對于直線、射線的學習，學生容易感知“有無端點”“直”等要素，對于“向一端無限延長”和“向兩端無限延長”這些要素的感知存在困難。針對這種心理特點，我們在教學時應突出“有限長”“無限長”這一重點。為達成這一目的，對于線段可以讓學生開展畫一畫、量一量、說一說、比一比等活動，在活動和交流中體會線段的“有限長”。在認識射線、直線的“無限長”時，可充分利用學生的生成資源，就如有的學生在畫射線（直線）時，畫得很長，一直畫到本子的邊緣。這時教師便可問：“這位同學畫這么長是想要表達什么呢？”（無限延長）

另外，處在此水平階段的學生往往傾向于用日常用語來描述幾何概念，一般來說，他們尚不能用精確的語言來刻畫數學概念。例如，學生在描述光線時，會說“一直射向天空，射得很遠很遠”，用這種生活語言來描述射線的無限長這一特點。對于這種情況，教師首先要允許并鼓勵學生用自己的語言描述，但不能停留在這個水平上，待學生用自己的語言描述后，教師要說出精確的數學語言以便逐步引導學生掌握精確的語言。同時這一心理特點也啟示我們，在概念的形成過程中，不能一步到位，也就是說不能直接出示定義概念，而是有一個概念的生成過程，是逐步形成或者說生成的。這一點，也符合皮亞杰的觀點：學生學習幾何，先有具體概念，再有定義概念。所以，我們在出示射線、直線的定義概念時，先出示其具體概念。具體來講，可以先出示射線、直線的圖形，然后指出：像這樣的圖形，在數學上，我們把它叫作射線（直線）。用這種具體直觀的描述性語言，學生容易理解。

講到出示圖形，這里又不得不面對一個重要的問題：在探索圖形性質特征時，我們為了讓學生更好地進行探索，往往給出的圖形都是標準的圖形或者說標準位置的圖形。但要指出的是，我們不能只停留于對標準圖形的認識，還要適當地變換方位，通過變式圖形與標準圖形的比較，來突出標準圖形的本質特征，從而正確地掌握圖形的基礎特征。事實上，只有通過各種變式圖形認識了圖形的本質特征，才能通過圖形的性質與一類圖形建立聯系。

三、在想象與推理中把握關系（水平3）

1. 關于水平3（抽象、關聯）的解讀。

在這個水平階段的學生已能形成抽象的定義，區分概念的必要條件和充分條件。處于這階段的學生能注意到不同圖形性質之間的聯系，并能進行一些非正式的推理。

2. 體現出“偏重于單個要素”的心理特點。

幾何圖形分為單個要素和要素之間關系兩個方面。已有相關研究表明：小學生對幾何圖形的單個要素觀察起來比較容易，而對要素與要素之間的關系感知就比較困難。

3. 對教學的啟示。

對幾何知識的學習，除了圖形特征外，圖形關系的學習也是非常重要的內容。圖形的關系具體分為同一圖形各個要素之間的關系和不同圖形之間的關系。而同一圖形各個要素之間的關系往往反映了圖形的本質特征；圖形與圖形之間的關系有利于學生整體把握幾何知識，形成完整的認知結構。所以，圖形的學習，應針對學生偏重于單個要素的心理特點，通過引導學生應用想象和推理來掌握關系。關于線段的三個要素（兩個端點、直的、有限長），學生認識相對比較容易，而關于“兩個端點”與“有限長”的關系卻認識不到，需要教師的引導。同樣，射線“只有一個端點”和“只能向一端無限延長”這兩個要素的關系也不能很好理解；對于直線“無端點”和“可以向兩端無限延長”這兩者之間的關系理解起來同樣存在困難。而這種關系恰恰體現了數學的本質，因為正是有端點才使線段不能向兩端無限延長，進而是有限長的；同樣，射線只有一個端點，射線才能向無端點的一方無限延長；直線沒有端點才可以向兩端無限延長。這里又引發我們思考這樣一個問題：在教學中，怎樣才能突出射線和直線的無限長這一關鍵特征。前文所講的僅讓學生來畫一畫是遠遠不夠的，還要把學生的思維引向數學的本質——端點的作用與能否無限延長。這里就有一個非正式的推理和想象的過程，也就是說可以在想象和推理中來把握各要素之間的關系。另外，也可以通過線段的有限長（端點的作用）來理解無限長。當學生真正理解了什么是有限長及其表達方式（兩個端點），也就自然而然理解了無限長及其表達方式。

就圖形與圖形之間的關系來講，本課的三線聯系也是非常重要的學習目標。三線的聯系是射線和線段都是直線的一部分。通過兩個環節可以引導學生很好地建構這一關系。環節1：以線段為基礎，讓學生在線段的基礎上分別變形出射線和直線，進而適機總結出射線和直線的抽象定義。（把線段的一端無限延長，就得到一條射線；把線段的兩端無限延長，就得到一條直線）環節2：讓學生在直線上畫一條射線和線段，接著動態演示線段的端點和射線的端點在直線上移動，而線段和射線始終在直線上。通過這兩個環節的學習，學生能很好地體驗到三線的聯系。

（作者單位：江蘇省溧陽市文化小學）