試析初中數學教學中學生推理能力的培養

周艷

數學家波利亞說過：“數學可以看作是一門證明的科學，但這只是一個方面，完成了數學理論，用最終形式表示出來，像是僅僅由證明構成的純粹證明性。”隨著教育改革的全面推進，新教材糾正了舊教材那種過分強調推理的嚴謹性，以及渲染邏輯推理的重要性，而是提出了新的觀點“合理推理”是新教材的一大特色。推理能力包括合情推理能力和演繹推理能力，合情推理是數學家喬治·波利亞對歸納推理、類比推理等或然性推理（即推理的結論不一定成立的推理）的特稱。歸納推理（這里指不完全歸納）是特殊到一般的推理，而類比推理則是由兩個或兩類思考對象在某些屬性上的相同或相似，推出它在另一屬性上也相同或相似的一種推理。本文就新形勢下的初中數學教學中學生推理能力的培養做了探索。

一、歸納推理

歸納推理是從特殊到一般的推理，是一種很常用的合情推理。具體過程：歸納（不完全）——猜想——完全歸納（數學歸納法證明）。在合情推理中的歸納推理卻是針對無限個研究對象和無限種特殊情況，人們不可能窮盡所有的特殊情況，而只能通過有限種特殊情況的觀察預測或猜測一般情況下的一般結論。

我在教學完全平方公式時，通過觀察容易得到：（a+b）2=a2+2ab+b2再應用多項式的乘法法則來驗證（a+b）2=a2+2ab+b2的正確性，再經過觀察思考、課件演示再次驗證公式，從而歸納出完全平方和公式。將猜想變為公式，然后觀察并熟記公式特征。在整個過程中老師只是在提出問題和引導學生解決問題，學生的自主性得到了充分的體現，課堂氣氛平等融洽。

在平時的教學中，例如，研究函數的圖象和性質時，首先讓學生做出圖象，通過觀察、探索、猜想、驗證、歸納的教學，從而提高學生的合情推理能力。通過觀察或實際操作獲得感性材料，再將這些感性材料進行整理，找出共同的特征，逐步抽象出數學概念和規律，培養學生抽象概括的能力。

二、類比推理

類比推理是一種橫向思維，它通過對兩個類似系統的研究，由一個系統的性質猜測另外一個系統的性質。

在教學中，我們類比分數的性質學習分式的性質，類比等式的性質學習不等式的性質，類比研究一次函數的圖象、性質學習反比例函數、二次函數的圖象、性質。

在初中數學教學過程中，有意識地加強學生的類比推理能力的培養，對于新的數學體系的學習和深入研究，對于預測和猜想某些新的結果，以及對于培養學生的創造性思維，都是非常重要的。要培養學生的演繹推理能力要做到以下三個方面：

首先，要求學生要有扎實的基礎，這是我們進行演繹推理必須具備的要素。就數學來講，要熟練掌握書本知識，要熟練到隨口而出的地步。

其次，要培養學生的邏輯推理能力。讓學生掌握推理的基本方法和基本步驟，在此基礎上逐步引導學生逐步掌握演繹推理。

再次，就是通過具有代表性和典型性的例題讓學生自己動手，讓他們熟練掌握演繹推理的步驟和上下連貫性。

在數與代數的教學中，學生獲得了概念、性質時，讓學生掌握概念、熟練性質，并應用此進行計算和證明。要注意學生語言表達的準確性、嚴謹性。

在歷年中考中出現的題，都是讓學生以合情推理做出猜想，以演繹推理做出計算或證明的過程，以考查學生的數學推理能力。推理能力的培養“應貫穿于整個數學學習過程中”。

三、在新知識形成的教學中，培養學生的推理能力

學生獲得數學結論應當經歷合情推理——演繹推理的過程。合情推理是根據已有的知識和經驗，在某種情境和過程中推出可能性結論的推理。“合情推理”的實質是“發現”，因而關注合情推理能力的培養有助于發展學生的創新精神。由合情推理得到的猜想常常需要證實，這就要通過演繹推理給出證明或舉出反例。

我們注意了合情推理和邏輯推理的相互結合，在結論的探索過程中，采用了合情推理，而結論的證明則采用了邏輯推理。

四、在數學教學的過程之中，培養學生的推理能力

能力的發展絕不等同于知識與技能的獲得。能力的形成是一個緩慢的過程，有其自身的特點和規律，它不是學生“懂”了，也不是學生“會”了，而是學生自己“悟”出了道理、規律和思考的方法等。這種“悟”只有在數學活動中才能得以進行，因而教學活動必須給學生提供探索交流的空間，組織、引導學生“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程”，并把推理能力的培養有機地融合在這樣的“過程”之中。教師在引導學生思考的過程中，學生從對具體的算式中的觀察、比較中，通過合情推理（歸納）提出猜想，進而用數學符號表達——若a×a=m，則（a-1）（a+1）=m-1，然而用多項式的乘法法則證明是正確的。

總之，我們要在數學教學的過程中，著力培養和提高學生的推理能力。按照課程的要求，培養學生“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例；能清晰、有條理地表達自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據；在與他人交流的過程中，能運用數學語言合乎邏輯地進行討論和疑”。由于數學學科結構嚴謹、邏輯性強，它是發展推理能力的最好學科。數學推理能力則是數學能力發展水平的重要標準。因此，在教學中，必須充分挖掘教材中有利于發展學生推理能力的潛在因素，根據學生的年齡特征和認知結構，有意識地給學生提供推理的機會，創造推理的良好氛圍，為學生推理思維的形成創造良好的條件。無論是在知識的形成過程中，還是在知識的應用過程中都應注意培養學生的推理能力，只有持之以恒，必能使學生的推理能力得到提高。

（作者單位：山東省日照市北京路中學）