車輛轉向梯形建模及優化設計

劉燕斌 陳晉榮 趙陳闖

摘 要：汽車在運動的過程中，由于側向力的作用和輪胎彈性側偏的影響，轉向系的內外車輪很難滿足阿克曼轉角關系，本文基于MATLAB的優化工具箱，通過對轉向車輪幾何運動的分析，推導出理論和實際內、外輪轉向角之間的關系式，建立某一時刻下的實際轉角與理論轉角之差的數學表達式，并以此為優化目標，在相應的約束條件下，計算出車輛最佳的轉向梯形參數。

關鍵詞：轉向系；MATLAB；優化；轉向梯形

轉向系是用來保持或改變汽車行駛方向的機構，轉向性能的好壞，對汽車的操縱穩定性有顯著的影響，在轉向系的設計中，無論采用的是整體式轉向梯形還是斷開式轉向梯形，都應該滿足汽車在轉彎時，保證全部車輪繞一個瞬時轉向中心行駛，使在不同圓周上運動的車輪，做無滑動的純滾動運動。同時，為達到總體布置要求的最小轉彎直徑，轉向輪應滿足有足夠大的轉角。[ 1 ]

在傳統的設計中，通常采用的是圖解法和解析法進行設計，然而圖解法的設計誤差較大，而解析法的計算量大，這種方法不僅增加了研發成本，而且設計的精度也很難達到用戶要求。

優化設計是20世紀60年代開始形成并迅速發展的一門新興學科，它是以數學規劃法為理論基礎，以電子計算機為計算工具，尋求在滿足規定的工作條件、載荷和工藝要求，并在強度、剛度、工藝、壽命、尺寸、范圍以及其他一些技術要求的限制條件下，目標函數最優值的一種現代化設計方法。[ 2 ]

本文運用MATLAB優化工具箱相應的優化函數，以影響轉向梯形對應的參數為設計變量，建立某一時刻下的實際轉角與理論轉角之差的數學表達式，并以此為優化目標，在相應的約束條件下，通過迭代運算，計算出車輛最佳的轉向梯形參數，從而使外側車輪實際轉角和理論轉角誤差最小。

1整體式轉向梯形的數學建模

1.1阿克曼理論以及阿克曼轉向特性

汽車在直線行駛和轉彎時，每一個車輪的軸線都應相較于后軸延長線上的某一點（轉向中心），這樣才能保證輪胎與地面間處于純滾動而無滑動的現象。

阿克曼理論轉向特性的模型做個兩個基本假設：1）忽略前輪定位角的影響，并且行駛系的各個構件均為剛性連接。2）汽車行駛過程中無側向力。其示意圖如圖1所示。

阿克曼理論轉向特性的特點為：1）汽車直線行駛時，四個車輪的軸線都相互平行，而且垂直于汽車的縱向中心面；2）汽車在轉向行駛的過程中，車輪都必須繞一個瞬時中心點做圓周滾動，而且前內輪與前外輪的轉角應滿足下面關系式：[ 3 ]

1.2實際的轉向系內外車輪轉角關系

汽車在實際的運動過程中，由于受到彈性輪胎側偏角的影響，現有的轉向梯形機構僅能近似的滿足1-1所示的阿克曼轉角關系式，所以以圖2所示的轉向梯形機構為例，利用余弦定理推導出轉向梯形在內轉向輪轉過某一角度時實際外側車輪轉角？茲i′的數學表達式：

汽車轉向梯形的實際運動簡圖如圖二所示，其中α為內側車輪偏轉的角度，β為外側車輪相應的轉向角， ？酌0為梯形底角的布置角，那么90o-？酌i為轉向梯形底角，m為轉向臂在水平面的投影長度，b為轉向橫拉桿的長度，？酌為轉向傳動角。為了計算方便，做輔助線E1C，連接E1B，設E1B的長度為N。

由1-6式可知，當汽車的前輪距M已知時，影響外轉向輪的轉角的因素為轉向梯形的底角90o-？酌0，和梯形臂長度m，因此在設計過程中，常選擇m和？酌0為設計變量進行優化設計。

2 整體式轉向梯形的機構優化分析

2.1 設計變量

由1-4公式可以看出，影響β大小的因素為m和？酌0，因此，在優化過程中，優化變量設為X：

2.2 目標函數

汽車在轉向運動時，為了避免路面對汽車行駛的附加阻力輪胎的快速磨損，要求轉向系統能保證汽車在轉彎時所有的車輪均作純滾動。顯然這只有在所有車輪的軸線都交于一點時才能實現，因此要求內側車輪轉動一個角度時，外側轉向輪的理論和實際轉角誤差最小，所以目標函數可以表示為：

2.3 約束條件

2.3.1滿足機構傳力性能要求

由圖可知，轉向梯形在工作的過程中，可以簡化為平面四連桿機構，由機械原理可知，為了評價四連桿機構的傳力性能的好壞，我們常用傳動角作為其評價指標。

在機構的運動過程中，傳動角？酌的大小是變化的，為了保證機構有良好的傳力性能，傳動角？酌不宜過小，通常？酌？芏40o， 對于那些受力很小或不常使用的操縱機構，則可以允許傳動角小些，只要不發生自鎖即可。[ 4 ]

由分析可得，當內側車輪的偏角最大時，轉向梯形的傳動角最小，如圖2所示，根據幾何關系，傳動角的表達式為：

在△E1F1B中以及△AF1B中，由余弦定理可得：

2.3.2轉向梯形的布置角和臂長的確定

3.2 計算實例

以某型汽車轉向前橋為例，已知數據：L=4430mm，M=2150mm，m=2360mm。根據以上理論可在matlab中編寫以下程序進行優化設計。

3.3優化結果

運行主函數，可以得到以下優化結果和圖解，如圖3所示。

從圖3中可以看出，在轉角0-35o的范圍內，轉向梯形決定的實際轉向曲線與理論阿克曼曲線總體是重合的，說明優化的數學模型是可行的，從優化的結果可以看出，外側車輪的實際和理論誤差最大為0.44o，這在工作的過程中是可以接受的，最終設計的優化變量的最優解為？酌0=20o，m=322.5mm但在實際的設計過程中，還需要對優化的結果進行圓整，同時還要考慮到總體布置的要求和工藝的限值。

4 總結

整體式轉向梯形的優化設計屬于非線性優化求解的問題，本文通過對整體式轉向梯形的數學建模，找出轉向輪內外車輪的轉角關系，當內側車輪偏轉一個角度時，以理論外側車輪與實際外側車輪轉角誤差為目標函數，利用Matlab工具箱的fmincon函數求目標函數的最小值，找出設計變量的最優解。通過優化設計發現，當梯形的布置角為0=20o時，轉向梯形臂長m=322mm時，此時能使汽車內外車輪滑移量最小，在滾動的過程中盡可能的做純滾動運動，減小了輪胎的磨損，從而使汽車有良好的轉向特性。

參考文獻：

[1] 王望予.汽車設計第四版.機械工業出版社，2009，2.

[2] 潘公宇.車輛優化設計理論與實踐.北京大學出版社，2013，7.

[3] 陳家瑞.汽車構造.第四版.人民交通出版社，2009，2.

[4] 孫恒.機械原理.第七版.人民交通出版社，2006，5.

[5] 蘇金明.MATLAB工程數學.電子工業出版社，2005，8.

作者簡介：劉燕斌（1991—），男，長安大學汽車學院碩士研究生，車輛工程專業。