一道高考試題的解法探究與錯解剖析

王炳哲

2009年全國數學（Ⅰ）試卷理科21題（文科22題）是一道主要考查解析幾何基本思想與基本方法的壓軸題。從試題本身來看，其命題意圖是考查學生數形結合、轉化的數學能力，以及方程思想，函數最值方法的靈活運用的能力。試題對理科同學而言難度適中，對文科考生相對要難一些（滿分12分，平均得分理科約為2.39分，文科約為0.81分），但該題對學生的審題能力、思維能力、運算能力等都起到了很好的考查作用。試題入手容易，但隨著運算量、思維含量的加大要深入下去有一定的難度。

1 解法探究

2.2思想方法方面的錯誤

本題考查學生數形結合、轉化的數學能力，以及方程數學思想。這些方法與思想如果考生運用自如，可以起到事半功倍的作用。但從高考答卷中可以看出，考生在這些方面出現問題較多，主要問題有：

1）一些考生不能充分利用數形結合的思想，通過觀察圖形，四個交點問題可以轉化成兩個交點和三個交點情況來解決；在解決兩對角線交點問題時，如果通過圖形的對稱性來解決，直接設出點P的縱坐標為0，就好求多了，而通過這一點來做的廖廖無幾；

2）在求解面積最值時，有些考生沒有想到換元的思想解決，用所求的結果直接求導，不僅導致式子繁難，而且計算很容易出錯，從而造成考生大量的丟分與失分。

2.3 運算方面的錯誤

對于本題來說，第一問的計算量不大，但是不少考生在計算過程中出現的錯誤是五花八門：1）在將y2=x代入（x-4）2+y2=r2過程中化簡錯誤，考生化簡成x2-9x+16-r2=0，x2-3x+16-r2=0，這樣后面的求解都不對了；2）在？駐>0過程中求解不正確，加減號顛倒，去括號后漏乘系數等等計算錯誤。

2.4 粗心方面的錯誤

3教學啟示

圓錐曲線是高中數學主干內容之一，也是歷年高考的重點內容，它以考察學生的思維能力為主，兼顧考察運算能力和邏輯思維能力，因此，對解析幾何的備考與復習應該注意以下幾個方面：

3.1重視課本基礎知識的復習

學生在答卷中出現以上各種問題，都反映出考生對課本上的基礎知識掌握不牢，不能靈活運用。扎實的基礎體現在對概念、定義、定理、法則、公式的透徹理解，對數學語言（文字語言、圖形語言、符號語言）的準確表達與運用，對性質和習題的靈活變通上。惟有扎實的基礎，才會有知識網絡的建立和融合，數學思想方法才會豐富多彩，各種能力的提高才會能得以實現；這就要求我們在平時的教與學中，一定要重視知識形成過程和發展過程的學習，重視公式的正用、逆用和變形應用，重視定理的推導與應用，重視定義的理解和應用，重視課本例題、習題中數學思想方法的挖掘和應用。

3.2要重視知識發生、發展的過程

平時教學中要注意培養學生的思維能力，加強數形結合思想及轉化與化歸，換元等數學思想的訓練，不但重視知識結果，更要重視知識發生，發展的過程，從而提高學生的思維層次和分析問題解決問題的能力。在解析幾何的教學中重視對學生數學思想，思維能力的培養，從而提高學生思維廣度及思維深度。

3.3加強運算能力的訓練

從考生解析幾何綜合題答卷情況可以看出，一些解題思路是正確的，一些方法也是合理的，但由于學生運算能力較弱，不能根據法則、公式進行正確運算、變形和處理數據，不能根據問題的條件，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，造成大量丟分，很是遺憾。因此，教師在課堂教學中在通過對典型例題的合理分析培養學生的思維能力，通過適當的練習促進學生思維能力的提高的同時，注重學生運算能力的培養。教師在高三復習中，可從以下幾方面入手來培養學生的運算能力：

1）牢固掌握基礎知識.在高考中重點強調的是：在運算過程中使用的概念、公式、性質、定理、公理及法則要準確無誤，最終才能保證運算結果的準確無誤。

2）課堂上不能只分析題目的思路，也應有完整與完善的求解過程的示范.否則學生的自我練習也容易出現只看不做、不算、不求甚解，或者似是而非的解題，易養成不良的解題習慣。

3）督促學生完善錯題本，應有錯解、正解、錯誤原因分析，改進方法、注意事項等方面的內容。