復矢量空間及矢量除法討論

夏海軍 張錚 李俊史 金威

【摘要】本文簡要介紹了矢量、復數和復矢量的發展歷史；證明了復矢量集符合線性空間，相關的基本法則成立；通過對矢量數乘、除的討論，否定了以往以矢量點積、叉積逆運算定義矢量除法的思路；將復數的乘、除法則引入復矢量空間，定義復矢量除法，并結合物理問題，將矢量除法轉化為復數除法.本文從全新的角度提出了矢量除法的新法則.

【關鍵詞】復數；矢量；復矢量；復數除法；矢量除法

一、緒論

（一）關于矢量

矢量是數學和物理學中的基本概念之一，指同時具有大小和方向的一類抽象的幾何對象.矢量最初起源于約公元前350年古希臘哲學家、科學家亞里士多德的研究.1687年牛頓在《自然哲學的數學原理》中提出三大運動定律，其中的推論之一提到：“當兩個力同時作用于一個物體時，這個物體將沿著平行四邊形的對角線運動，所需時間等于兩個力分別沿兩邊所用時間之和.”這個推論從作用效果上說明了力的合成和分解定理.從18世紀末到19世紀初，歐拉在力矩研究、拉普拉斯在動量矩研究以及泊松在坐標系及射影研究中，都使用了矢量的方法.

矢量思想的孕育不僅有明確的力學背景，而且和位置幾何有著直接關系.1840年格拉斯曼在《潮汐理論》中歷史上首次建立了矢量分析系統，同時代德國數學家麥比烏斯在《重心計算》中也給出了一個與矢量系統類似的空間分析系統，在《幾何加法和乘法》中給出了矢量的矢量積、數量積與混合積的概念.

（二）關于復數

提到矢量，就不能不提及復數.最早有關復數方根的文獻出于公元1世紀希臘數學家海倫，16世紀意大利米蘭學者卡當在《重要的藝術》一書中公布了三次方程的一般解法，首次把負數的平方根寫到公式中.17世紀的代數學比幾何學占有更重要的地位，出現了大量新的數學概念如導數、積分等，虛數的概念也是在這一時期由法國數學家笛卡爾在《幾何學》中提出的.18世紀經過法國數學家達朗貝爾、棣莫弗以及瑞士數學大師歐拉的一系列工作，復數漸漸被接受，復數研究也日漸深入.1799年挪威-丹麥測量學家、數學家卡斯帕爾·維塞爾在丹麥皇家科學與文學會上發表的論文中，提出用復數表示平面上的點的方法，明確地給出復數的幾何意義，并利用復數的運算來定義平面向量的運算.這一基本數學思想和方式沿用至今.

（三）關于復矢量—復數與矢量的有機結合

19世紀哈密爾頓發明了四元數，對矢量的發展帶來重要的影響，并被廣泛應用于物理學的各個方面.之后，麥克斯韋在1864年的論文《電磁場的動力學理論》中大量使用矢量分析.19世紀80年代，美國數學家吉布斯和英國數學家海維塞德在各自研究的基礎上，特別是在物理學研究中，獨立開創了三維矢量分析體系，與四元數的正式分裂，建立了現代矢量理論.