論“數形結合”思想在高中解題中的應用

甄琪琪

【摘要】“數形結合”思想是目前高中數學學習過程中經常用到的一種數學思想方法，筆者在高中三年學習期間，發現集合、排列組合以及函數部分屬于這一思想應用較多的領域，故而在老師的指導下，將這些利用到“數形結合”思想的部分做了較為完整的總結.本文以“數形結合”思想在高中解題中的應用為主要話題，筆者通過總結高中數學學習過程中利用到這一思想進行解題的類型，提出了一些自己的看法，希望能對處于高中學習階段、對于數學學習有些困難的同學提供一定的幫助.

【關鍵詞】數形結合思想；高中數學學習；數學解題

一、數形結合思想之我見

筆者認為所謂的“數形結合”思想就是利用幾何圖形與數值之間的關系，來進行數學題目的解答.幾何圖形和數值是構成數學的兩個重要元素，而且二者之間并不是完全獨立的關系.可以說，每一個幾何圖形當中都蘊含著一定的數值關系（比如面積、周長的計算都屬于數值關系的內容），而數值關系又可以通過幾何圖形來進行形象的描述和表達（比如數軸、矢量等等）因此，將二者結合起來，將較為復雜的數學計算問題參考“數”和“形”兩個方面的維度來進行解決，是非常有效、也有助于將復雜問題簡單化的方法.

二、數形結合思想在高中解題中的應用

（一）集合中的應用

筆者在復習集合類的題目時，發現集合部分對于數形結合思想運用較多的主要有以數軸和韋恩圖為主，這對于處理結合部分的子、交、并、補問題具有直觀性和便利性的特點.以這樣一道題目為例：A={x∈N，03或x<1}，求A∩B.在解答這類題目時，筆者首先會在數軸上標出相應的點（這道題中相應的點分別是0，7，3，1），然后根據不等式所表示的方向，在數軸上畫出相應集合所表示的區域，而區域重疊的地方，就是所謂的交集，因為N意味著整數，因此可以得出這道題目的結論A∩B={4，5，6}.筆者認為，基本集合類題目的模型都可以利用數軸的方法來求解，只要能順利分解出數學題目當中的集合模型，實現其與數軸之間的直接轉化，就能夠快速、高效地解決題目，還能保證較高的準確率.

（二）排列組合中的應用

排列組合類利用“數形結合”思想來解決問題的題目，其共同點在于問題的本身就具有一定的圖像性和畫面感.例如這道題目：在圓周上一共8個點，以這8個點做弦，那么圓的內部最多會出現多少個交點？

通過隨意繪圖我們可以發現，一條弦需要兩個圓上的點；三個點最多可以畫出三條弦，但是不會在圓內有交點；四個點最多可以畫出六條弦，圓內只能有一個交點.因此要想使這些弦在圓內造成的交點達到最大值，我們可以將這道題目構建成這樣一個模型，即將四個點分為一組，那么8個點中一共可以劃分出多少個四點組合，那么這就是一道非常普通的排列組合問題，即C48=8×7×6×5/4×3×2×1=70，也就是最多可以有70個交點.這類題目在求解計算的時候其難點在于能否利用數形結合思想將題目構建出排列組合的模型，換言之“數形結合”思想在這類排列組合題目當中的運用目的在于構建模型，而不是解題.

（三）函數極值中的應用

函數當中極值的運用，筆者打算借用一道函數和數列相組合的題目來進行說明.通常意義上，數列當中對于“數形結合”思想的運用，其情況較為復雜，只有先將數列整合成函數的模型，才能進一步地引入圖形來進行題目的求解.而這一類題目中最為常見的就是所謂的求極值.

以這樣一道題目為例：等差數列an的前n項和為Sn，已知a3=15，S13>0，S14<0，請問S1、S2……S13當中究竟哪一項最大？請說出具體原因.這道題目乍一看較為普通的想法是利用a3的值以及等差數列的屬性求出S1～S13的值，但是羅列出相關數據之后就會發現這個方法行不通，換言之就是給出的具體數值有限，沒有辦法求出具體數值來比較大小.在這樣一種情況下，我們可以將這個等差數列的求和公式看作是一個一元二次函數，y=Ax2+Bx（x只取自然數），那么這個函數上就會有兩個點（13，S13）、（14、S14），因為S13>0，S14<0，我們可以確定這個二次函數的圖像必然是開口向下的.我們假設這個函數圖像與x軸的交點分別是（0，0）、（m，0），那么這個二次函數的對稱軸就是m[]2，如果m[]2是整數，那么這個點就是該數列求和的最大值.我們可以確認的是13