由一名學生的質疑引發對分式方程解的思考

梁艷云

【摘要】分式方程的增根與無解是分式方程中常見的、易混淆的兩個概念.每當學習分式方程后，總認為分式方程無解是因為增根，因為有了增根方程才無解，所以解題時往往出錯.究其原因，是學生對這兩個概念沒有徹底理解、掌握.分式方程有增根，指的是解分式方程時，在把分式方程轉化為整式方程的變形過程中，分式方程的兩邊都乘了整式，這個整式通常是各分母的最簡公分母，這樣解出的方程的解是整式方程的解，而不一定是分式方程的解.

【關鍵詞】教學；調查研究；反思

下面是我在教分式方程時由一名學生的質疑引發的思考，它對分式方程的教學具有一定的普遍性.下面我給大家匯報一下，希望對同行們有所啟發.

二.調查研究

（一）調研學生：《一卷通》是我校初二年級統一使用的教輔資料，問題1是筆者選自《一卷通》同步練習P20第13題，因為在教學過程中，筆者都出現分析不嚴謹，從而導致漏解的現象，于是就很想了解學生的答題情況，因此對初二年級作業進行了調查，結果發現95%左右的學生都答錯.

（二）訪談教師：由于筆者在上課時出現分析上的錯誤，于是想了解其他老師對本問題的理解情況，就把問題1拿給本年級的其他幾位老師解答，結果參與的五位老師中有三位與筆者出現同樣的漏解錯誤.

（三）查詢資料：在《一卷通》的單元測試卷P12第13題的參考答案也出現考慮不全面的現象，從而導致了答案錯誤.

三、教學反思

（一）現象：我校是區示范性學校，生源好且師資水平較高，但事實上不論是我校的學生還是老師，或其他編寫教輔資料的老師對這一類問題都出現了錯誤，說明這不是一個個別現象而是一個普遍現象，所以對于這一類問題很值得進一步探討研究.

（二）原因：分式方程是初中數學教學的重點和難點內容之一，解分式方程轉化為整式方程時會導致增根的產生，對學生而言比較抽象，難以理解，就是教師若考慮不仔細、不全面，也很容易出現錯誤.

（三）經驗總結：分式方程有解必須建立在分式有意義的前提下才能成立，若分式無意義，則分式方程的解無從談起.對于可化為一元一次方程的分式方程的解可分下列三種情況考慮：

①分式方程“有根”——整式方程的根就是分式方程的根；

②分式方程“只有增根”——整式方程有根，而分式方程無根；

③分式方程“既無根，也無增根”——整式方程無根，因此分式方程也無根.