運用建模思想解決數學難題

張成

《小學數學課程標準》提出發展模型思想也是小學數學的學習目標之一，教師要注重學生運用自己已有的經驗來抽象出數學問題，并建立數學模型，嘗試通過數學模型解決問題。在數學課程中，模型思想已經成了學生必須掌握的一種思想，教師在教學中要注意在潛移默化中讓學生運用建模思想解決各種數學難題。

一、建立模型，提取共性

專家劉振航在《數學模型》中提出數學建模就是從生活中各種雜亂無章的現象里抽象出一定的數學關系，組建成一個數學模型，也就是說，建立模型必須要在各種生活現象中抽取出共性來。教師在教學的過程中可以組織學生圍繞各種生活現象和問題情境抽象出一定共性，并嘗試建立模型。

例如在指導學生掌握平行的幾何概念的時候，教師就可以讓學生先從生活中觀察到的現象中抽象出平行的概念，讓學生通過感知火車鐵軌、雙杠、五線譜等事物，在觀察中感知平行的概念。但是只是單純觀察還無法讓學生從中抽取共性，建立模型，教師還要給學生一些啟發，讓學生提高認知，將關注的焦點從單純的兩條直線上升到注意兩條直線之間的距離。教師可以讓學生嘗試建立模型，并圍繞模型思索一些問題，如兩條直線在什么時候永遠不會相交，嘗試量一下兩條平行線之間的距離，觀察一下這些垂線之間有什么關系。同時再將問題回歸到社會生活中，讓學生思考，如在生活中，鐵軌是平行的，那么人們又是通過什么方法確保鐵軌之間一定是平行的呢？在思考這些問題的過程中，學生所建立的數學模型會越來越清晰，他們可以從模型中提取共性，那就是當兩條直線沒有任何公共點的時候，它們是平行的，在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。

小學低年級學生接觸的數學模型是類似線段圖這樣的直觀模型，而高年級之后也會接觸符號類的抽象數學模型，教師不僅要指導學生如何提取共性，建立模型，還要培養學生養成建模的習慣，深度地提高數學模型的認知。

二、調整模型，嘗試推理

學者史寧中認為數學發展過程中所依賴的本質有三個，那就是抽象、推理和模型。在指導學生運用建模思想解決數學問題的過程中，僅建立模型是不夠的，教師還要指導學生學會在推理的過程中調整模型，提高他們的合情推理能力。

在學習小數乘法的問題時，教師可以讓學生嘗試模擬超市購物的真實場景，在游戲活動的過程中逐漸建立數學模型，并在推理中調整數學模型。在活動的時候，學生可以根據討論設定每種商品的價格和購物的總價，并設定參與購物活動的基本規則，然后便可以在設立模型的基礎上嘗試參與到這個活動中來。在進行活動的過程中，學生可能會發現自己事先設定的模型有問題，例如在設定購物的總價時出現了問題，總價太大，超過了全部商品價格的總和。教師要讓學生在設立模型的過程中收集大量的信息，然后根據具體情況來刪除一些無用的信息，并添加一些有用的信息，將數學模型進行合理調整，并嘗試運用自己設立的數學模型進行計算。這樣的學習方式使數學模型的設定外延得以擴大，也能讓學生更好地感受到數學模型在生活中的實際用途，讓學生養成實事求是的嚴肅態度，同時也對學生發揚創新精神有所促進。

教師可以培養學生養成觀察事物的良好習慣，并嘗試通過簡單猜想的方式調整自己設定的數學模型，從而更好地提高自己的建模能力。

三、應用模型，培養能力

學者吳長江提出數學建模能力是對各種問題進行數學化，創建相應數學模型，并最終解決問題的能力，在小學數學教學中，教師要提高學生的數學建模能力，就要讓學生嘗試應用模型解決各種難題。小學生要學習如何運用公式、圖表、法則等來解決實際問題，提高自己的數學求解能力。

教師要讓學生明白，建立了數學模型之后是要用來解決各種實際問題的，他們要嘗試運用各種變式來解決現實問題。例如“雞兔同籠”是一個十分典型的問題，很多小學的應用題都可以轉化為“雞兔同籠”類的問題，學生可以嘗試用假設法、方程法、抬腿法等各種方法來解決這個問題，更重要的是要學會解決這個問題的基本思路，這樣才能將其抽象為數學模型，并運用其規律解決現實生活中的其他數學問題。例如，教師可以讓學生嘗試參考“雞兔同籠”的問題進行其變式的練習，嘗試解決：“在一個班級中，一共有46個同學一起去參加游藝場的活動，大家選擇了海盜船的游戲，大家一共乘坐12艘海盜船，其中大海盜船每一艘坐5個人，小海盜船每一艘坐3個人，問大海盜船和小海盜船一共有多少艘？”要解決這個問題就要熟悉數學模型，然后嘗試運用該數學模型解決此問題。這樣的練習對于提高學生應用數學模型的能力有很大幫助。

運用建立的數學模型解決數學問題，可以有效地培養學生的實際能力，讓學生在聯想、類比等思維活動中提高自己的數學能力，發展自己的邏輯思維能力。

柏拉圖說過：“數學是一切知識中的最高形式。”現代數學要求人們能夠在實踐中提煉出數學問題，抽象出數學模型，并以之來解決各種現實問題。在小學數學日常教學中將這種建模思想滲透進去，讓學生逐步提高自己的推理能力，嘗試用自己學過的知識解決現實問題。

【作者單位：淮安市徐溜鎮中心小學江蘇】