基于數學課堂的“化歸思維”培養

張敏

摘 要：所謂“化歸”就是“轉化和歸結”的簡稱，化歸思想方法是數學問題解決的一般方法，其基本思想是：把一個實際問題通過某種轉化歸結為一個數學問題，把一個較復雜的問題轉化、歸結為一個較簡單的問題，而獲得原問題的解決。其實質是將新知識轉化為已掌握的舊知識，從而進一步理解并解決新問題。本文對化歸思維的培養做了一些探討。

關鍵詞：化歸思想；化歸方法；化歸原則；問題解決

化歸思想不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略。化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而解決問題的一種方法。一般是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題；將難于求解的問題通過變換轉化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題。小學數學解題中應用化歸思想，常常可以將生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗，使問題巧妙得到解決。如何讓學生在解題中體會歸思想，運用化歸思想方法，這就要求教師從身邊的教學做起。

一、找準起點，實施引領

學生已多次運用轉化的策略學習新知識，解決新問題。如，學生在學習平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形面積公式的推導過程時，已經有運用平移、旋轉等方法對平面圖形進行剪拼的經驗積累，在分數加減法、小數乘除法等計算方法的探索過程中也積累了轉化知識，這些經驗的積累為學習化歸思想打下了堅實的基礎。但是，這些轉化的經驗又是零散的、不系統的，還需要進一步感悟和提升。我們要努力讓學生產生“驀然回首”的頓悟和“心有靈犀一點通”的喜悅，從而主動應用轉化的策略解決問題。

二、探究交流，感悟轉化

在教學蘇教版數學六年級下冊第71-72頁“解決問題的策略——轉化”一課時，為了讓學生感悟“轉化”的思想，筆者從以下內容進行設計：

1.互動嘗試：比較下面兩個圖形面積的大小。（圖略）

（1）創設三年級小朋友關于兩個圖形面積大小的爭論情境，引發產生探究欲望。

（2）學生操作，探索比較方法。

（3）交流展示，互動點撥比較方法（平移、旋轉）。

（4）反思追問：為什么剛開始比較不出兩個圖形面積的大小，而現在能一下子準確比較出來了？（點撥板書：復雜—簡單）轉化前后，圖形的什么變了？什么沒變？

【設計意圖：在互動嘗試環節，教師借助教材的例子，創設了爭論情境，疑問驅使學生去思考，自主探究已成為他們的一種需要，在操作中自主找到了平移旋轉這一轉化方法，從而將不規則圖形轉化為規則圖形，又在比較中初步感受“變”與“不變”的辯證統一。】

過渡：同學們，這是多么有智慧的一變呀！你們在保證面積不變的情況下，將這兩個圖形巧妙地進行變形，問題就迎刃而解了。這就是小變化，大智慧呀！

2.簡單運用：漢字趣題。

（1）（課件出示“凸”字）如果將它看作平面圖形，它所有筆畫的總長度，也就是周長怎樣計算比較簡便？相機演示并追問：轉化前后，圖形的什么沒有變？

（2）（課件出示“凹”字）如果這兩個字字號一樣大，它們的周長相等嗎？相機演示。追問：還有其他比較的方法嗎？相機拓展。

（3）追問：不管是轉化成同一種圖形還是同一個字，保證了什么不變？

【設計意圖：通過例1等探究題的操作體驗，學生聯系實際感悟轉化策略的應用，體會無論在過去、現在及將來，學習與生活中的轉化都是解決問題的有效方法。】

三、做好鋪墊，促進生成

“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海。”作為一種學習策略——化歸思想方法的掌握與獲取數學知識、技能一樣，有一個感知、領悟、掌握、應用的過程，這個過程是潛移默化的，長期的、逐步累積的。教學中應結合典型教材，逐步滲透、適時點明，使學生認識化歸的思想和方法。

例： 在教學“除數是小數除法”這一節內容時，筆者是這樣設計教學的：

（1）計算并思考各式之間有什么規律，運用了什么性質 ？

12÷4=（ ），120÷40=（ ），1200÷400=（ ）。

（2）在括號里填上合適的數，除數必須是整數，商不變。

1.2÷0.4=（ ）÷（ ），

3.6÷0.006=（ ）÷（ ）。

通過這組習題，學生重溫了“商不變性質”，為除數是小數的除法轉化成除數是整數的除法奠定了基礎。

四、化繁為簡，策略先行

有些數學問題比較復雜，直接解答過程會比較煩瑣，如果在結構和數量關系相似的情況下，從更加簡單的問題入手，找到解決問題的方法或建立模型，并進行適當檢驗，如果能夠證明這種方法或模型是正確的，那么該問題一般來說便得到解決。下面舉例加以說明。

案例1：把186拆分成兩個自然數的和，怎樣拆分才能使拆分后的兩個自然數的乘積最大？187呢？

分析：此題中的數比較大，如果用枚舉法一個一個地猜測驗證，比較煩瑣。如果從比較小的數開始枚舉，利用不完全歸納法，看看能否找到解決方法。如從10開始，10可以分成：1和9， 2和8， 3和7， 4和6， 5 和5。它們的積分別是：9， 16， 21， 24， 25。可以初步認為拆分成相等的兩個數的乘積最大，如果不確定，還可以再舉一個例子，如12可以分成：1和11， 2和10， 3和9， 4和8， 5和7， 6和6， 它們的積分別是：11， 20， 27， 32， 35， 36。由此可以推斷：把186拆分成93和93， 93和93的乘積最大，乘積為8649。適當地加以檢驗，如92和94的乘積為8648， 90和96的乘積為8640， 都比8649小。

因為187是奇數，無法拆分成相等的兩個數，只能拆分成相差1的兩個數，這時它們的乘積最大。不再舉例驗證。

案例2：你能快速口算85×85，95×95，105×105嗎？

分析：仔細觀察可以看出，此類題有些共同特點，每個算式中的兩個因數相等，并且個位數都是5。如果不知道個位數是5的相等的兩個數的乘積的規律，直接快速口算是有難度的。那么，此類題有什么技巧呢？不妨從簡單的數開始探索，如15×15=225，25×25=625，35×35=1225。通過這幾個算式的因數與相應的積的特點，可以初步發現規律是：個位數是5的相等的兩個數的乘積分為左右兩部分：左邊為因數中5以外的數字乘比它大1的數，右邊為25（5乘5的積）。所以85×85=7225，95×95=9025，105×105=11025，實際驗證也是如此。

很多學生面對一些數學問題，可能知道怎么解答，但是只要想起解答過程非常煩瑣，就會產生退縮情緒，或者在煩瑣的解答過程中出現失誤，這是比較普遍的情況。因此，學會化繁為簡的解題策略，對于提高解決繁難問題的能力大有幫助。

五、化歸在教學中的幾點建議

（一）注重學生對基礎知識、基本技能的理解和掌握。

“知識技能”既是學生發展的基礎性目標，又是落實“數學思考”“問題解決”“情感態度”目標的載體。

為幫助學生真正理解數學知識，教師應注重數學知識與學生生活經驗聯系、與學生學科知識聯系，組織學生開展實驗、操作、嘗試等活動，引導學生進行觀察、分析，抽象概況，運用知識進行判斷。

（二）感悟數學思想，積累數學活動經驗。

數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數學思想。

（三）從化歸思想方法的角度分析教材內容，同時深入教材提煉總結化歸思想。當看到一些材料上面寫著“當作”“看作”這些字眼的，都需要教師去留意做筆記，這是化歸思想的具體體現，那么在教學的時候，就要將新舊知識串聯起來，滲透化不熟悉為熟悉的原則，運用化歸思想來教學生去解決問題。

（四）數學教學更多的為解題教學。波利亞曾經說過“數學教學的首要任務就是加強解題訓練。”解題訓練不是題海戰術，在解題教學中要充分發揮化歸思想方法對發現解題的途徑和轉化的作用，突出化歸思想方法對數學問題解決的指導作用。教師幫助學生挖掘題目的各個側面，能夠舉一反三；培養學生的數學才能和教會他們思考問題的方法與手段，同時引導學生在反思數學題的基礎上進行歸納總結概括。

（五）教師在用化歸思想方法的角度分析教材內容的基礎上，通過滲透階段、突破階段、應用階段三個階段的學習，“一來提高了學生的興趣和關注程度，二來又使其容易理解和掌握相關知識，并且會使化歸思想深深地印在其腦海中，相信會使他們終身受益”。

總之，在小學數學教學中，數學思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑；尤其是化歸思想能不失時機地為學生提供恰當的形象材料，不僅有利于學生順利地、高效率地學好數學知識，更有利于學生學習興趣的培養、智力的開發、能力的增強，為學生今后的數學學習，甚至物理、化學等理科的學習打下堅實的基礎。