應用于無線電能傳輸的Litz線平面矩形螺旋線圈高頻電阻計算

鄧其軍　劉姜濤　陳　誠　蔣　燕　周　洪

(1.武漢大學自動化系　武漢　430072 2.湖北第二師范學院物理與機電工程學院　武漢　430205)

應用于無線電能傳輸的Litz線平面矩形螺旋線圈高頻電阻計算

鄧其軍1劉姜濤2陳誠1蔣燕1周洪1

(1.武漢大學自動化系武漢430072 2.湖北第二師范學院物理與機電工程學院武漢430205)

摘要在外部磁場的影響下，導線中的高頻電流呈不均勻分布，致使其導電面積遠小于橫截面積，從而引起額外的電阻，稱之為高頻電阻。高頻電阻中的感生電阻與磁場的平方呈正比。應用畢奧-薩伐定律對Litz線平面矩形螺旋線圈中的磁場進行分析，以計算線圈中的高頻電阻，進而分析其最大品質因數及最優運行頻率。對幾個線圈原型的測量表明，該分析方法較好地預測了線圈在不同頻率下的電阻及最優運行頻率。使用兩個外邊長460 mm×208 mm、內邊長312 mm×64 mm的矩形線圈所制作的無線能量傳輸系統，距離500 mm時，在稍低于預測的最優頻率時獲得的最大DC-DC效率為58.7%，接收端功率為50 W。

關鍵詞：鄰近效應高頻電阻畢奧-薩伐定律Litz線無線電能傳輸

0引言

在無線電能傳輸等高頻應用領域，電感線圈常使用Litz線來繞制以降低趨膚效應[1-4]。對于無線電能傳輸系統而言，更高的品質因數，意味著更高的效率[5-7]。線圈的品質因數與運行頻率呈正比，與電阻呈反比。但過高的運行頻率會加劇導線中的紊流并引起高頻電阻的上升，反而會降低線圈的品質因數。為此，需要對線圈電阻與頻率的關系進行分析，以尋求最大品質因數下最優的運行頻率。

趨膚效應和鄰近效應是引起線圈高頻電阻的主要原因。前者表現為高頻電流只在導線的表面通過，而導線中心的電流密度很小；后者表現為導線內的電流受外部磁場的影響而呈不均勻分布。相應的電阻稱為導通電阻和感生電阻。對于單根的圓導體，通常使用貝塞爾函數來表達其高頻條件下的電流密度，進而計算高頻電阻[1-3]。導通電阻與導線的直徑和頻率有關，本文只引用現有結論進行計算；而感生電阻除與導線的直徑和頻率有關外，還與所處的磁場強度的平方呈正比[1-4，8-14]。因此，感生電阻的計算轉換為對導線所處位置磁場強度的計算。

平面矩形螺旋線圈占用空間較小，易于制造，且具有比相同最大尺寸的圓螺旋線圈(矩形線圈的最大邊長等于圓螺旋線圈的最大直徑)更大的電感。因此，本文以平面矩形螺旋線圈為例來計算高頻電阻。

對于平面圓螺旋線圈的電磁場，文獻[2]使用麥克斯韋方程組計算。該方法比較復雜，且只對圓線圈有效，無法應用于矩形線圈。文獻[3]使用有限元仿真的方法計算電磁場，但只考慮了Litz線上下兩個表面的電磁場，精度不夠高。上述兩種方法都認為同一圈圓形線匝沿導線軸線方向的磁場是不變的，因此每圈只需計算一次。但由于矩形線圈的不對稱性，沿導線軸向方向不同位置的磁場各不相同，使用有限元方法計算的工作量巨大。文獻[14]使用迭代方法計算外部磁場以計算高頻電阻，但其只考慮了Litz線束內部內絕緣導線間的鄰近效應，而忽略了線匝間鄰近效應。

本文提出使用畢奧-薩伐定律對Litz線平面矩形螺旋線圈的磁場進行分析，進而計算其感生電阻。一個3圈的平面矩形螺旋線圈的尺寸定義如圖1a所示。在忽略邊緣效應的條件下，可簡化為圖1b所示。后續分析均基于圖1b。

圖1　平面矩形螺旋線圈及其簡化模型Fig.1　Planar rectangular solenoid coiland its simplified model

1高頻電阻的計算

高頻電阻可表示為[1-3]

RAC=Rcond+Rindu

(1)

式中，Rcond及Rindu分別為導通電阻及感生電阻，Ω。

1.1導通電阻的計算

導通電阻Rcond為[1-3]

(2)

式中，2wj、2hj分別為第j圈(1≤j≤Nt，Nt為線圈的總圈數)的寬度和高度，m；Rcond-u，l為單位長度Litz線的導通電阻，Ω/m；ξ為與趨膚深度δ相關的量，m，如式(3)和式(4)所示；Φcond(ξr0)如式(5)所示；n0、r0分別為組成Litz線的單股外絕緣細銅線的股數和半徑，m；σ為電導率，對于銅σ約為5.8×10-7S/m。

(3)

式中，μ0為自由空間磁導率，μ0= 4π×10-7H/m；μr為材料的相對磁導率，對于銅μr=1；ω為角頻率，rad/s。

(4)

(5)

式中，ber、bei′、bei、ber′為開爾文函數。

1.2感生電阻的計算

Litz線圈中單位長度的單股圓截面細線的感生電阻為[1]

(6)

式中，H為當線圈中通過1A幅值的正弦電流(即每股細絕緣線中流過1/n0A)時產生的磁場強度的幅值，A/m。

(7)

式中，ber2為開爾文函數。

在理想情況下，一定長度的細銅線經過了Litz線橫截面的所有位置，故可認為每股線的磁場強度、電流和消耗的功率都相同[1]。其中，式(6)中的平方磁場強度可用橫截面處按面積平均的平方磁場來代替。

Litz線中的每股細銅導線，沿其軸向位置各處的磁場并不相同。因此，需要沿軸向長度對式(6)求定積分的方法計算每股導線的感生電阻。同時考慮到n0股線的電阻是單根線的1/n0，從而整根Litz線的感生電阻為

(8)

對于半徑為rb的Litz線，軸向位置為y處的橫截面上各點的磁場強度并不相等。但根據前述的每股外絕緣細銅線經過了Litz橫截面的所有位置的假設，可計算其按面積平均的平方磁場強度為

(9)

(10)

1.3感生電阻的電流不均勻系數

理論上，組成Litz線的每股外絕緣細導線的電流相同。但實際中，當細導線的股數較多時，每股線的電流逐漸變得不相同，并導致比1.2節所述的更大的紊流及感生電阻。參考文獻[15，16]，認為這是因為接頭處的趨膚效應導致在接頭表面的細銅線電流密度比接頭內部的大，但仍可認為感生電阻與磁場強度呈正比。

另外，線圈附近的材料，特別是線圈的支撐托盤的制作材料，也對其感生電阻有很大影響。支撐托盤使用相對磁導率較大的材料制作，比使用磁導率小的材料制作時，線圈具有更大的高頻電阻。

上述因素對感生電阻的影響可以用一個感生電阻的電流不均勻系數kindu來表示。從而式(8)可修改為

(11)

對于不同股數及環境的Litz線，可以通過實驗的方法來測定該系數。

2磁場強度分析

在分析第j圈(1 ≤j≤Nt)的邊AB處的磁場時，將圖1b轉換成圖2(每圈的電流方向都相同)，并作如下假設：

1)每圈都分成4條邊，即兩個寬度的邊(AB、CD)和兩個高度的邊(DA、BC)來分別考慮。

2)AB邊垂直于軸向，有橫截面積，電流均勻分布于該橫截面，需要分別計算其橫截面上各點的磁場。

3)第j圈的其余3條邊及其他圈所有的邊是沒有橫截面積的，所有的電流都集中于中心線，即視為所謂的“細絲電流”。

圖2　用于計算第j圈磁場時的矩形線圈模型Fig.2　Coil model for magnetic field calculation in the jthturn

過j圈上部軸向位置y處作一橫截面，其左視圖如圖3所示，其中Hi(AB)_j(y,r,φ)是第i圈的邊AB在單位幅值電流條件下對第j圈在y處的橫截面上的點P(r，φ)產生的磁場。

參考文獻[2，3]使用麥克斯韋方程組計算電磁場，但只能應用于圓線圈而不能應用于矩形線圈。為此，本文使用畢奧-薩伐定律來分析各條邊在P點產生的磁場，然后將該磁場矢量按3個方向累加得到P點各方向的磁場分量。

將第i圈的邊AB視為長直導線，當AB中流過單位幅值的正弦電流時，在P點產生的磁場強度(如圖4所示，A/m)可用畢奧-薩伐定律計算，如式(12)所示。

(12)

式中，θ1、θ2分別為直線AP、BP與細絲電流AB的夾角，rad；ρ為P到AB的距離，m。

(13)

式中，r、φ如圖3所示。

圖4　用于計算長直導線AB在P點的磁場強度Fig.4　Diagram for field calculation of P due to line AB

將Hi(AB)_j(l1,r,φ)分解到x、y、z三個方向，得到

(14)

集成式(12)～式(14)得到

(15)

特別地，當i=j時，第j圈內部流過AB的電流在其自身引起的磁場及3個分量可表示為[2，3]

(16)

同理，可得到第i圈的另外3條邊BC、CD、DA流過單位幅值電流時在P點產生的磁場強度在3個方向的分量分別為式(17)～式(19)。

(17)

3.1.2 穿刺部位的暴露 鎖骨下靜脈穿刺患者取仰臥位，頭偏向對側，肩放平。肩下墊一棉墊，使兩肩后展，鎖骨略向前，充分暴露穿刺部位。頸內靜脈穿刺患者采用15～20°頭低足高仰臥位，兩肩之間墊一薄枕，頭后仰并轉向對側。采用頭低位可使靜脈充分充盈，靜脈內壓增高，容易穿刺，亦可避免產生腦內靜脈空氣栓塞。

(18)

(19)

據此，可計算所有的邊在P點產生的磁場分解到3個方向的分量分別為

(20)

將式(20)代入式(10)，即可得到P點的平方磁場。

3線圈最大品質因數

對于無線電能傳輸系統而言，線圈的品質因數定義為

(21)

式中，ω、L分別為線圈中正弦波電流的角頻率和電感。通常情況下，線圈電感L隨頻率變化很小可以忽略不計，則通過求解

(22)

即可得到最大品質因數Qmax及相應的最優角頻率ωopti。但由式(1)、式(2)、式(5)～式(7)可知，分析電阻時Φindu(ξr0)及Φcond(ξr0)的計算公式比較復雜，難以求導。為此，需要對其進行簡化。當ξr0<1時，即

(23)

式(5)和式(7)中所有Kelvin函數的高次項均可忽略不計，從而得到

(24)

集成式(1)、式(2)、式(8)和式(24)，可將式(21)簡化為

(25)

將式(25)代入式(22)并求解，可得最優角頻率及最大品質因數分別為

(26)

4實驗驗證

為驗證上述高頻電阻計算方法，制造了4種矩形平面螺旋線圈，并對其高頻電阻進行測量。4種線圈的參數如表1所示。線圈Ⅰ和Ⅳ所使用的Litz線為1類圓線(Round Type 1)；Ⅱ和Ⅲ為2類圓線(Round Type 2)，繞制結構為5×5×42[17]。其中線圈Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ布置在透明膠帶上面，沒有使用托盤支撐；線圈Ⅲ使用5 mm厚度的拼接木板作為托盤，并使用2 mm邊長的正方形截面細木條制作走線槽以保證圈與圈之間的間距均勻。線圈Ⅲ如圖5所示。

表1　線圈參數

圖5　矩形平面螺旋線圈Fig.5　A planar rectangular solenoid coil

4.1磁場強度仿真計算

根據上述方法，使用Matlab編寫了磁場及電阻計算的仿真代碼。圖6是根據式(9)計算在y=0(即寬邊中點)位置時，線圈Ⅱ各圈的平均平方磁場強度。同時，處于內邊緣(如第1圈)及外邊緣(如第15圈)的圈的平方磁場較大，而處于中間位置(如第10圈左右)的圈的平方磁場較小。這是因為兩邊的圈在中間圈附近所產生的電磁場能夠相互抵消一部分。例如，圖2中第1圈的AB邊及第Nt圈的AB邊在第j圈的AB邊沿軸線處產生的電磁場方向分別為向下(z軸的負方向)、向上(z軸的正方向)，剛好能夠抵消一部分。

圖6　線圈Ⅱ邊長中點的平方磁場強度Fig.6　Squared field strength at center of width of coil Ⅱ

4.2感生電阻的電流不均勻系數的測量與計算

線圈放在不同位置，所測得的高頻電阻差異很大。例如，將線圈Ⅱ分別放在紙盒子上和高密度板制作的桌面上，在1 MHz時測得的電阻分別為615 mΩ和861 mΩ(本文的電阻測量均使用一臺Agilent E4980A精密阻抗測量儀進行)。考慮幾種線圈的實際使用場景，測量電阻時，線圈Ⅰ、Ⅱ和Ⅳ放置于紙箱上來進行；線圈Ⅲ則通過木支架豎直放置于桌面上；另將線圈Ⅱ放置于高密度板桌面上作對比測量。

通過測量線圈在某個頻率的電阻，并減去根據式(2)計算得到的導通電阻，即得到其實際的感生電阻。該感生電阻除以式(8)計算得到的值，即可求得感生電阻的電流不均勻系數kindu。在較低頻率(小于100 kHz)時，導線的趨膚深度遠大于表1所示的Litz線的半徑，從而其高頻電阻基本上等于直流電阻，即其感生電阻分量接近0。因此，為減小誤差，在關注的頻率范圍內(本文為1 kHz～1 MHz)，選取了兩個較高的頻率點，即300 kHz和700 kHz來測量線圈的電阻以計算kindu。對于線圈Ⅰ，在這兩個頻率時測量得到的電阻分別為850 mΩ、1258 mΩ；依式(2)計算得到的導通電阻分別為736 mΩ、738 mΩ；依式(8)計算得到的感生電阻分別為72 mΩ、384 mΩ，從而計算其平均的感生電阻系數為

(27)

同理可對線圈Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ及線圈Ⅱ置于高密板桌面上進行測量，并計算得到其感生電阻系數分別為2.30、3.36、1.38、3.10、。線圈Ⅱ的kindu比線圈Ⅰ大，是因為其Litz線的股數較多；而線圈Ⅲ比線圈Ⅱ的kindu大，是因為拼接木板、走線槽及使用了木頭膠水以固定細木條等因素的影響。線圈Ⅱ放置于高密度板桌面上比放置于紙箱上時的kindu大一些，是因為桌面PVC貼紙造成線圈寄生電容增大的影響。比較線圈Ⅰ和線圈Ⅳ的測量結果可知，在相同的使用環境下，使用相同規格的Litz線制作的不同尺寸的線圈，其感生電阻不均勻系數非常接近。

4.3電阻及品質因數的測量

當Litz線內部的絕緣細銅導線半徑r0=0.05 mm時，ω為

(28)

即角頻率低于5.5 MHz時，式(24)成立。同理可計算r0=0.025 mm時，式(24)成立的條件是角頻率低于22 MHz。仍使用Agilent E4980A精密阻抗測量儀，測量線圈從1 kHz～1 MHz(每隔1 dB測量一次)的電阻及品質因數。電阻實測值及仿真預測值按對數坐標系顯示于圖7，品質因數實測值及仿真預測值顯示于圖8(4個線圈的電感在1 kHz時的實測值分別為77 μH、78 μH、107 μH、44 μH)。

由圖7可見，預測電阻值與實測電阻值具有很高的吻合度。就最大品質因數而言，依式(26)計算得到前3個線圈的最優頻率分別為891 kHz、541 kHz、374 kHz；對應的最大品質因數分別為272、1 132、844。實測的最優頻率分別為1 MHz、600 kHz、400 kHz；對應的最大品質因數分別為285、1 170、899。可見線圈Ⅰ的實測最優頻率稍微超出了式(24)限定的范圍，從而使用式(26)預測其最大品質因數和最優角頻率會有一定誤差；而線圈Ⅱ和Ⅲ的最優角頻率遠低于式(24)限定的范圍，故預測的最優頻率和最大品質因數與實測值較接近。

圖7　線圈的實測電阻與預測電阻 Fig.7　Measuring resistance and predicted one for coils

圖8　線圈的實測品質因數與預測品質因數 Fig.8　Measuring quality factor and predicted one for

圖7b和圖7d的比較表明，對于相同的線圈，當使用環境不同時(如線圈托盤或支架材料不同)，其電流不均勻系數也不同，但仍能根據式(1)及式(11)較準確地預測其不同頻率下的電阻。

4.4線圈寄生電容對電阻測量的影響

文獻[18]表明，真實的線圈是一個包括有寄生電容的RLC電路。當使用LCR儀器測量時，儀器顯示的Rs值其實是該RLC電路的阻抗的實部，且真實電阻R0與測量值r關系為[18]

(29)

式中，ω0和C分別為線圈的自諧振頻率和寄生電容。當運行頻率遠小于諧振頻率時，寄生電容對測量結果的影響可以忽略不計。寄生電感通過測量線圈的自諧振頻率(用LCR阻抗分析器測量線圈的電感值，當該值由正值轉為負值時的頻率)及線圈在低頻時的電感值來計算。使用MicroTest 6620型阻抗分析儀，測得表1所示4個線圈及線圈Ⅱ放置于高密度板桌面時的自諧振頻率分別為7.69 MHz、7.70 MHz、5.52 MHz、8.96 MHz、6.46 MHz。由于已測得4個線圈在低頻時的電感分別為77 μH、78 μH、107 μH、44 μH，可根據式(29)計算其寄生電容分別為5.6 pF、5.5 pF、7.8 pF、7.2 pF、7.8 pF。由于寄生電容值很小，式(29)中計算r/R0時，其分母的第二項可忽略不計。最終對于4個線圈的5種使用場景，在1 MHz時，用式(29)計算r/R0的值分別為1.03、1.03、1.07、1.03、1.05。這表明，寄生電容對電阻測量值的影響較小。因此，將Agilent E4980A測得的值作為其真實電阻值是可行的。

4.5無線電能傳輸系統原型樣機

在發送端和接收端，分別使用一個相同尺寸的線圈(規格如表1中的的線圈Ⅲ)作為能量發送與接收線圈，兩個線圈距離500 mm。整個系統如圖9所示。發射端的逆變器采用D類全橋方式，由4個BSB056N10NN3型號的MOSFET組成，占空比為0.45。該型號MOSFET的導通電阻為5.6 mΩ，其損耗與線圈相比可忽略不計。

圖9　無線電能傳輸系統原型機Fig.9　Prototype of the wireless power transfer system

通過調整串連諧振電容的容值來調節系統的諧振頻率，從而比較系統在不同運行頻率下的效率。同時，使用Agilent E4980A測量發射端與接收端的諧振頻率，并使用小容量的電容對電容值進行微調，以保證兩端有相同的諧振頻率。

接收端經全橋整流器后，并聯5個額定電壓12 V、額定功率10 W的燈泡作為負載。對于不同的運行頻率，均通過調整逆變器輸入直流電壓使5個并聯的燈泡的電壓達到12 V。

系統在7個典型運行頻率下的DC-DC效率(即燈泡的功率與輸入逆變器的功率之比)測量結果如表2所示。由表2可見，系統在頻率305 kHz時，實測的最高效率為58.7%。該頻率比預測的最大效率時的頻率(374 kHz)要低一些。這是因為，對于本無線電能傳輸系統所使用的S-S型(串-串型)結構，在電感一定的情況下，降低運行頻率能夠增大串連電容。而容值較大的電容的寄生電阻較小，從而有利于系統效率的提升。因此，實際的運行頻率比預測的最大品質因數對應的頻率小一些。

表2　系統在不同串聯諧振電容(運行頻率)下的效率

5結論

應用畢奧-薩伐定律對Litz線平面矩形螺旋線圈中的磁場進行分析，并結合半理論半實驗方法測量感生電阻電流不均勻系數，進而對線圈的感生電阻及總電阻進行計算，在1 kHz～1 MHz頻率范圍內，所得預測值與實測值具有較高的吻合度。該方法能夠進一步預測出線圈的最大品質因數及相應的最優運行頻率。當無線電能傳輸系統在稍低于該頻率下運行時，能夠獲得最大的系統效率，從而為確定無線電能傳輸系統最佳運行頻率提供參考。另外，相同規格的Litz線所制作的不同尺寸的線圈，在相同的使用環境下，具有相同的感生電阻電流不均勻系數。因此能夠使用本方法來預測相同Litz線制作的不同尺寸線圈的高頻電阻及其品質因數，從而為線圈的設計提供依據。

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High Frequency Resistance in Litz-Wire Planar Rectangular Solenoid Coils for Wireless Power Transfer

Deng Qijun1Liu Jiangtao2Chen Cheng1Jiang Yan1Zhou Hong1

(1.Department of AutomationWuhan UniversityWuhan430072China 2.School of Physics and Electrical EngineeringHubei University of EducationWuhan430205China)

AbstractThe high frequency current is un-uniform in the wire due to external magnetic field.As a result,the conductive area of the wire is far smaller than its cross-section,and the excess resistance,namely the frequency-dependent resistance,is induced.The high frequency resistance is proportional to the square of the magnetic field the wire exposed to.The paper employees the Biot-Savart law to analyze the magnetic field distribution of the planar rectangular solenoid coils for evaluating the frequency-dependent resistance.The maximum quality factor of the coil and the corresponding optimal operation frequency are derivate based on the analyses of the field and resistance.A few coils are manufactured and their high frequency resistances are measured.The measurements show that the proposed method predicts the resistance under various frequencies and the optimal operation frequency precisely.Two coils,whose outer and inner dimensions are 460 mm×208 mm and 312 mm×64 mm,are employed to build a wireless power transfer system.Under the frequency slightly lower than the predicted optimal one,the system obtains the maximum DC-DC efficiency of 58.7% and receives 50 watts power at the distance of 500 mm.

Keywords：Proximity-effect，high frequency，the Biot-Savart law，Liz-wire，wireless power transfer

收稿日期2015-04-19改稿日期2016-01-05

作者簡介E-mail：dqj@whu.edu.cn(通信作者) E-mail：liu_jiangtao@whu.edu.cn

中圖分類號：TM724

國家科技支撐計劃資助項目(2013BAA01B01)。

鄧其軍男，1975年生，博士，副教授，研究方向為無線電能傳輸、諧振電力變換、電力信息化。

劉姜濤女，1979年生，博士，副教授，研究方向為無線電能傳輸、電力變壓器有源降噪等。