有限字長對滑動窗DFT穩定性的影響研究

劉華吾　胡海兵　邢　巖

(南京航空航天大學自動化學院 江蘇省新能源發電與電能變換重點實驗室　南京　210016)

有限字長對滑動窗DFT穩定性的影響研究

劉華吾胡海兵邢巖

(南京航空航天大學自動化學院 江蘇省新能源發電與電能變換重點實驗室南京210016)

摘要滑動窗離散傅里葉變換(DFT)具體數字實現過程中，有限字長效應引入的誤差會被累積和放大，易造成系統發散和不穩定。針對該問題和現象，應用隨機信號的統計特性，詳細分析了信號量化噪聲、旋轉因子量化誤差及數學運算舍入誤差對滑動窗DFT穩定性的影響，并指出舍入誤差所引入的直流分量是導致系統不穩定的根本原因。仿真和實驗均驗證了理論分析的正確性。為了解決此不穩定問題，提出兩種通過交換運算次序來消除誤差累積和放大的解決方案，實驗和仿真結果驗證了這兩種方法的有效性。

關鍵詞：有限字長效應滑動窗DFT穩定性舍入誤差

0引言

離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)是數字信號處理中的重要工具[1-4]。傳統的傅里葉變換或快速傅里葉變換(FFT)運算量大，很難滿足實時性要求較高的應用場合[5，6]。近年來提出的迭代形式DFT即滑動窗DFT[7，8]，由于其運算量小及實時性好等優點，得到了廣泛關注，被應用于實時頻譜分析、繼電保護和電力系統諧波提取等領域[9-14]。

實際數字系統中，有限字長效應引入的信號抽樣誤差、濾波器系數量化誤差、計算舍入誤差等會給系統的精度和穩定性帶來不良影響。滑動窗DFT的極點分布在離散域的單位圓上，是一個臨界穩定系統，文獻[7，14]指出，旋轉因子系數的量化誤差可能會將系統極點移出單位圓，致使系統不穩定，但文中沒有考慮其他誤差對系統穩定性的影響。文獻[15]指出，滑動窗DFT大量乘法的舍入誤差會在系統中無衰減傳播和累積，文中應用隨機信號的方差特征分析誤差的放大效應，沒有考慮誤差正負的相互抵消因素。文獻[16]詳細描述了浮點數實現滑動窗DFT的不穩定現象，但未給出清晰的理論解釋。

針對上述穩定性問題，現有文獻提出了許多解決措施。引入衰減因子法[7，17]將滑動窗DFT的極點強行移至單位圓內，對誤差的傳播形成衰減和阻尼，這種方法簡單可靠，但會引入額外運算量且易導致輸出失真。基于Goertzel算法的改進DFT[15]和并行DFT[16，18，19]迭代形式的DFT并行運算，在每個變換周期結束后，用非迭代DFT的輸出更新迭代DFT的數據，避免誤差的累積。該方法輸出結果準確可靠，但實現結構復雜、運算量大。優化DFT法[16，20]通過優化算法運算順序避免誤差的累積和放大，具有結構簡單和運算量少的優點，但需要占用2倍的存儲空間[21，22]，不適合需要同時提取多個頻譜的應用場合。

本文首先給出了滑動窗DFT的數學表達式，指出具體數字實現過程中有限字長效應引入的誤差，提出了一種穩定性分析模型，全面詳細分析了各種誤差對系統穩定性的影響，得出舍入誤差引入的直流分量是導致不穩定現象的原因的結論，并進行了詳細的仿真和實驗對比，驗證了理論分析的正確性。最后，針對此穩定性問題，基于優化算法運算順序的思想，提出了兩種簡潔有效的解決措施，并進行了仿真和實驗驗證。

1滑動窗DFT

用采樣頻率N/T0采樣輸入信號x(t)，生成離散序列{x(n)}，從中選取N點作為樣本。設第n-1次樣本序列為{x(n-N)，x(n-N+1)，…，x(n-1)}，其m次諧波設為Xm(n-1)。一個采樣周期之后，第n次的樣本序列在上次的樣本中移除x(n-N)，加入x(n)，生成{x(n-N+1)，x(n-N+2)，…，x(n)}，該新樣本的m次諧波為Xm(n)。則Xm(n-1)和Xm(n)有以下關系[23]

Xm(n)=Xm(n-1)+[x(n)-x(n-N)]ejω0(n-1)m

(1)

(2)

θm(n)=∠Xm(n)

(3)

式(1)～式(3)即是滑動窗DFT的計算公式，以提取基波頻譜為例，實現框圖如圖1所示。

圖1　滑動窗DFT實現框圖Fig.1　Block diagram of recursive DFT

理論上，若輸入是周期信號且頻率等于1/T0(本文T0=1/50 s)，則x(n)-x(n-N)=0；X1(n)保持上個采樣周期的值不變。當輸入信號頻率波動Δf而DFT采樣頻率保持不變時，x(n)-x(n-N)≠0，DFT輸出X1(n)也會有相應的脈動，但系統穩定，不會隨時間推進而發散[24]。

然而具體數字實現過程中，有限字長的效應會引入各種誤差，包括模擬信號抽樣產生的量化噪聲、旋轉因子的量化誤差、數學運算的舍入誤差[25]。這些誤差在離散系統中傳遞，經滑動窗DFT無限次迭代后，易被累積和放大，最終導致系統輸出發散和不穩定。

2有限字長對滑動窗DFT的穩定性影響

為分析滑動窗DFT的穩定性問題，可將圖1的實現框圖簡化為圖2所示的分析模型。

圖2　滑動窗DFT的簡化模型Fig.2　Simplified analysis model of the sliding DFT

圖2中M表示運算

vq(n)=[x(n)-x(n-N)]ejω0(n-1)

(4)

式(4)對應的離散域傳遞函數是一個有限脈沖響應(FIR)系統，無輸出到輸入的反饋，不會累積和放大誤差，也不會導致系統輸出不穩定。而圖2中的數據累加部分包含輸出到輸入的反饋，本質是一個積分器，對直流分量有無窮大增益。這意味著，如果輸入vq(n)含有直流分量，則會被無限累積和放大而導致輸出發散。可見，滑動窗DFT的迭代形式是其實際數字過程中存在穩定性問題的前提。相反的，如果系統輸出不穩定，必然是由于vq(n)含有直流分量。因而下文將圍繞是否會在vq(n)引入直流分量，對有限字長效應引入的各種誤差展開詳細分析。

滑動窗DFT可采用定點數或浮點數實現，穩定性分析方法類似，本文針對定點數場合。由圖1可知，滑動窗DFT提取頻譜的實部和虛部對稱，選取實部的運算過程作為研究對象，考慮數字實現過程中所有可能的誤差，可得到如圖3所示的穩定性分析模型。模型被劃分為信號量化、梳狀濾波器、旋轉因子相乘、數據舍入和累加等五部分，其中es(n)表示信號抽樣的量化噪聲，eR(n)表示旋轉因子的量化誤差，ev(n)表示乘法運算的舍入誤差。

圖3　滑動窗DFT的穩定性分析模型Fig.3　Analysis model of the practically implemented sliding DFT

2.1信號量化

滑動窗DFT的輸入vs(t)經采樣量化成離散序列vt(n)，實際的采樣量化過程可等效成理想的抽樣疊加量化噪聲[25]

vt(n)=vs(n)+es(n)

(5)

式中，vs(n)為理想抽樣結果；es(n)為量化噪聲，是一個平穩隨機序列[25，26]，其統計均值μes=μ(和時間無關的常數)。

量化噪聲es(n)經過梳狀濾波器、旋轉因子相乘和數據舍入等模塊最終傳遞到vq(n)，它對系統穩定性的影響在2.5節論述。

2.2梳狀濾波器

梳狀濾波器離散域傳遞函數為

H1(z)=1-z-N

(6)

其頻率響應為

H1(ejω)=1-e-jNω

(7)

易知，當ω=kω0=2kπ/N(k=0，±1，…，±N-1)時，H1(ejω)=0，這表明梳狀濾波器完全濾除直流分量和頻率為ω0及其整數倍諧波。

信號量化模塊的輸出vt(n)，經梳狀濾波器后為vr(n)

vr(n)=vt(n)h1(n)=[vs(n)+es(n)]h1(n)

=vs(n)h1(n)+es(n)h1(n)

=vrs(n)+vrv(n)

(8)式中，h1(n)=δ(n)-δ(n-N)，表示H1(z)的單位序列響應；vrs(n)是輸入確定信號vs(n)經梳狀濾波器的響應輸出，由梳狀濾波器的特性知，vrs(n)不含有直流分量和頻率為ω0及其整數倍諧波分量；vrv(n)是一個隨機信號，由量化噪聲es(n)經梳狀濾波器的輸出，其統計平均值[25]

(9)

式(9)表明隨機信號vrv(n)的統計均值為零，和量化噪聲es(n)的統計數字特征μ無關。

2.3旋轉因子相乘

定點數表示旋轉因子時，需要先定標(乘以2Q，然后取整)，定標取整引入的量化誤差記為eR(n)，如圖3所示。eR(n)是一個平穩的隨機序列[25，26]，統計均值E[eR(k)]=ε(常數)。

vr(n)經旋轉因子相乘后的vp(n)為

vp(n)=vr(n){2Qcos[ω0(n-1)]+2QeR(n)]}

(10)

2.4數據舍入和累加

旋轉因子相乘后的舍入誤差記為ev(n)。由圖3可知，最終累加部分的輸入vq(n)為

(11)

結合式(8)和式(10)，將式(11)展開得

vq(n)=y1(n)+y2(n)+y3(n)+y4(n)+y5(n)

(12)

式中

y1(n)=vrs(n)cos[ω0(n-1)]

y2(n)=vrs(n)eR(n)

y3(n)=vrv(n)cos[ω0(n-1)]

y4(n)=vrv(n)eR(n)

y5(n)=ev(n)

(13)

式中，y1(n)是確定信號；y2(n)～y5(n)是隨機信號，表示旋轉因子量化誤差、抽樣量化噪聲和數字運算舍入誤差等對滑動窗DFT的穩定性影響。

2.5穩定性分析

y1(n)是確定信號，2.2節指出vrs(n)不含頻率為ω0分量，則乘積vrs(n)cos[ω0(n-1)]必然沒有直流分量(詳細數學證明見附錄A)，不影響系統穩定性。

隨機信號y2(n)～y5(n)的直流分量通常用統計均值表示[25]。

y2(n)的統計均值為

E[y2(n)]=E[vrs(n)eR(n)]=vrs(n)E[eR(n)]

=εvrs(n)

(14)

由于vrs(n)是無直流分量的確定信號，因而y2(n)不會影響系統的穩定性(詳細分析見附錄B)。

y3(n)的統計均值為

E[y3(n)]=E{vrv(n)cos[ω0(n-1)]}

=cos[ω0(n-1)]E[vrv(n)]

=μrvcos[ω0(n-1)]

(15)

由式(9)知μrv=0，因而E[y3(n)]=0，從而y3(n)無直流分量，不影響系統的穩定性。

y4(n)的統計均值為

E[y4(n)]=E[vrv(n)eR(n)]

(16)

考慮到隨機信號vrv(n)和eR(n)不相關，有

E[y4(n)]=E[vrv(n)]E[eR(n)]=μrvE[eR(n)]=0

(17)

可見，y4(n)同樣無直流分量，不影響系統的穩定性。

y5(n)是乘法運算的舍入誤差，其統計均值和舍入方式有關。直接截尾和四舍五入是兩種最常用的舍入方式，直接截尾法將尾數直接舍去，實現最簡單。四舍五入法根據尾數的最高位數字來決定是否進位，實現相對復雜。

y5(n)的實際統計均值與抽樣樣本大小、隨機實驗次數以及數值的波動范圍等有關。這和y3(n)、y4(n)不同，由式(5)～式(17)可知，y3(n)、y4(n)的統計均值直接由vrv(n)的統計特征決定；梳狀濾波器完全濾除直流分量的特性保證了vrv(n)的統計均值μrv=0(式(9))而和隨機過程無關。

采用直接截尾法時，雖然無法準確求取其統計均值，但每次舍入時均將尾數直接舍去，y5(n)<0恒成立，從而

E[y5(n)]<0

(18)

這說明直接截尾法的舍入誤差會引入負的直流分量，必然導致系統不穩定。

采用四舍五入法時，每次舍入的尾數可正可負，當抽樣樣本無限大、隨機實驗次數無限多、乘法運算的數值均勻分布時，y5(n)的統計均值趨于零。這些條件在實際系統中顯然很難保證。相反的，很可能在一段時間內E[y5(n)]>0，而在另一段時間內E[y5(n)]<0。y5(n)統計均值的這種正負波動將致使滑動窗DFT輸出頻譜的實虛部往+∞或-∞方向發散，引起誤差累積和放大，易導致輸出不可靠。

總結上述分析，得到以下結論：

1)輸入信號波動、A-D量化噪聲和旋轉因子系數量化誤差不影響系統穩定性。

2)直接截尾法會引入負直流偏置，必然導致系統輸出的頻譜實虛部往-∞方向發散。

3)四舍五入法引入的誤差，在實際系統中很難保證其統計均值為零，易導致系統輸出不可靠。

2.6穩定性問題的仿真和實驗驗證

為驗證上文分析的正確性，搭建了仿真模型和實驗平臺，對滑動窗DFT進行詳細仿真和實驗。

圖4為Matlab/Simulink中的仿真模型。量化系數取214/5，輸入信號疊加白噪聲，模擬實際采樣電路和A-D量化引入的噪聲，量化模塊的步長取5/2-14。計算過程采用Q14定標，旋轉因子定標值采用直接尾數截斷法。計算模塊尾數的舍入，為對比研究，分別采用四舍五入或直接截尾法。

圖4　滑動窗DFT Matlab仿真模型Fig.4　Matlab simulation model of the sliding DFT

搭建了實驗平臺，平臺采用現場可編程門陣列(FPGA，EP4CE15F17C8)作為控制器，任意函數發生器(DG4072)作為信號輸入源。輸入信號通過14bit-A-D(ADS7945)輸入至FPGA，A-D的基準由芯片(AD586)生成。FPGA計算結果經16bit-D-A(DAC8501)轉換成模擬量，輸出至示波器。實驗中滑動窗DFT實現架構和圖4仿真模型一致。

仿真和實驗中，用滑動窗DFT提取輸入信號的基波頻譜，DFT變換點數N為128，采樣頻率為6 400 Hz。

1)實例一：頻率49.5 Hz正弦波輸入，旋轉因子乘法運算尾數舍入采用直接截尾法。

仿真中，輸入信號為頻率49.5 Hz的正弦波

vs(t)=sin(49.5·2πt)

(19)

實驗中，由信號發生器生成幅值1 V、頻率49.5 Hz的正弦波，經A-D量化后輸入至滑動窗DFT。

圖5為系統運行初始的仿真和實驗結果，其中A和θ分別表示DFT輸出的幅值和相角。

圖5　滑動窗DFT的仿真和實驗結果(實例一)Fig.5　Simulation and experimental results of the recursive DFT under conditions of the first case

從圖5中可明顯看出，DFT輸出的幅值迅速發散，相角也隨之明顯畸變。頻譜的實虛部含有幅值保持不變的交流分量和往-∞發散的直流分量。交流分量由輸入信號為0.5 Hz的頻率偏差引起，不影響系統穩定性。直流分量由舍入誤差引入，經DFT輸出累積部分迭代后，迅速累積和放大，致使系統發散。

2)實例二：頻率49.5 Hz正弦波輸入，旋轉因子乘法運算尾數舍入采用四舍五入法。

在該實例中，滑動窗DFT的輸入和實例一保持一致，僅將舍入方式改成四舍五入法。

仿真模型和實驗平臺運行10 s、1 h和20 h結果分別如圖6a～圖6f所示。可以看出，仿真和實驗剛開始時，DFT輸出的幅值和相角是準確可靠的，但隨著時間的推進，幅值A上疊加的低頻脈動被逐漸放大，只是發散的速度非常緩慢。實驗20 h后，低頻脈動的幅值約0.1 V，比仿真的結果大，這是由于實驗和仿真中A-D采樣量化噪聲的不一致造成的。此外，受四舍五入引入的舍去誤差統計均值的正負波動影響，該低頻脈動不是一直被放大，存在被縮小的時候，因文章篇幅限制，此處略去相應的實驗和仿真波形。總而言之，即便采用較為復雜的四舍五入舍入方式，滑動窗DFT輸出依然不可靠。

圖6　滑動窗DFT的仿真和實驗結果(實例二)Fig.6　Simulation and experimental results of the recursive DFT under conditions of the second case

3解決方法

3.1改進DFT法

從圖7可看出，改進DFT法的實現簡潔方便，不會引入額外的存儲空間和運算量，僅會使數據累加部分的加法運算位寬擴大Q位。

圖7　改進DFT法Fig.7　Modified DFT technique

3.2改進并行DFT法

圖2分析指出，滑動窗DFT穩定的前提是數據累加部分的輸入不含直流分量。3.1節提出的改進DFT法的核心是通過交換運算次序將“直流分量的產生源——數據舍入”移至DFT最終輸出，避免其進入數據累加部分。此方法適合定點數運算，但在浮點數計算場合，由于無法直接和方便地控制數據舍入，其不再適用。在這種情況下，本文采用另外一種思路：濾除直流分量。

為濾除直流分量，保證系統穩定性，最直接的方法是在數據累加部分之前插入額外的低阻濾波器，但這會增加運算量且可能影響DFT提取頻譜的精度。而從對圖3的分析可知，滑動窗DFT中已存在可以完全濾除直流分量的梳狀濾波器，因而無須再引入額外濾波器，僅須調整運算次序，將其移至數據累加部分之前，如圖8所示。

圖8　優化并行DFT法Fig.8　Optimized parallel DFT technique

優化并行DFT法中，梳狀濾波器緊挨數據累加部分，相比于滑動窗DFT的傳統實現方式(見圖1或圖3)，其不僅可剔除輸入信號、A-D采樣量化等引入的直流偏置，還可以濾除數據舍入引入的直流分量，從而無直流偏置進入數據累加部分，保證系統穩定性。

優化并行DFT法可靠有效，其僅將梳狀濾波器移至數據累加之前，相比于改進DFT法，無須對數據舍入部分作特別處理，因此適用于定點數和浮點數運算場合。然而，這種方法占用2N存儲空間，且當需要同時提取多次頻譜時，占用的存儲空間將會成倍數增加，因而需要進一步優化該方法。

圖8所示優化并行DFT法對應的數學表達式為

X1(n)=X1(n-1)+vt(n)ejω0(n-1)-vt(n-N)ejω0(n-1-N)

(20)

考慮到

ejω0(n-1-N)=ejω0(n-1)-2π=ejω0(n-1)

(21)

因而，式(20)可簡化為

X1(n)=X1(n-1)+vt(n)ejω0(n-1)-vt(n-N)ejω0(n-1)

(22)

式(22)對應的具體實現框圖如圖9所示。改進并行DFT法和圖8所示的優化并行DFT法等價，只是前者利用旋轉因子的周期對稱性質，進一步優化了具體實現過程。此外，該算法雖然額外增加了兩次乘法和一次減法，但僅占用N存儲空間，且存儲空間不會隨提取頻譜次數的增加而增加。因而該方法特別適用于存儲資源有限或需要同時提取多個頻譜的應用場合。

圖9　改進并行DFT法Fig.9　Modified parallel DFT technique

3.3實驗驗證

為驗證本文提出的兩種算法的可行性，進行了實驗研究。考慮到圖7所示的改進DFT法僅適用于定點數計算，而圖9的改進并行DFT法適用于定點數和浮點數，因此本文驗證滑動窗DFT的3種具體實現方式如下：

1)采用定點數運算和直接截尾的舍入方式，實現改進DFT法。

2)采用定點數運算和直接截尾的舍入方式，實現改進并行DFT法。

3)運用FPGA中的自帶浮點數運算IP核，采用單精度(single)型計算方式，實現改進并行DFT法。

實驗研究主要分為兩部分：第一部分以信號發生器作為信號輸入源，第二部分將本文提出的算法應用于有源濾波器(APF)中。

1)以信號發生器作為信號輸入源

該部分的實驗平臺和2.6節的一致，如圖10所示，以Altera公司的FPGA(EP4CE15F17C8)作為核心控制單元，任意函數發生器(DG4072)作為信號輸入源。

圖10　基于信號發生器的實驗平臺Fig.10　Experimental setup based on signal generator

信號發生器輸出1 V/49.5 Hz正弦波，在FPGA中分別采用上述滑動窗DFT的3種實現方式，提取50 Hz基波，驗證算法的可靠性。平臺運行約20 h后，3種算法的實驗波形一致，如圖11所示，其中vs為輸入信號，vf為DFT提取的基波時域信號，A和θ分別為DFT輸出的幅值和相角。從圖中可看出，輸入信號頻率偏差、舍入和量化誤差等因素均未導致DFT輸出發散，系統穩定可靠。

圖11　滑動窗DFT運行20 h的實驗結果Fig.11　20 h-post simulation and experimental results of the recursive DFT

2)并聯型選擇性APF實驗研究

該部分實驗將滑動窗DFT應用到實驗室20 A單相并聯型選擇性APF的樣機平臺上，如圖12所示。實驗平臺采用FPGA作為核心控制器，主電路開關器件為F4-50R06W1E3。FPGA控制器利用滑動窗DFT提取非線性負載中的各次諧波，然后控制APF輸出相應的電流以抵消電網中的諧波，提高電能質量。APF電流的控制采用比例諧振調節器(PR)，以實現無靜差諧波基準跟蹤。

圖12　APF實驗平臺Fig.12　APF experimental setup

將上述滑動窗DFT的3種實現方式(定點數運算的改進DFT法，定點數和浮點數運算的改進并行DFT法)分別在實驗平臺上驗證。3種實現方式下APF輸出波形均一致，如圖13所示。圖中，iL為非線性負載的諧波波形，iC為APF輸出電流波形，iS為電網電流波形。圖13a中，APF僅補償3次諧波的波形，電網電流中3次諧波成分從補償前的5.32 A降到0.05 A；圖13b為APF補償3～21次諧波的波形，電網電流THD從補償前的55.96%降到6.03%。圖13說明了本文提出的方法能夠準確提取諧波，驗證了算法的可行性。

圖13　APF實驗結果Fig.13　APF experimental results

為進一步驗證算法的穩定性，以同時補償3～21次諧波為例，將滑動窗DFT的3種實現方式下的APF分別進行了約10 h的拷機實驗，拷機過程中APF能夠穩定運行，系統最終輸出和圖13所示保持一致，說明了算法的可靠性。

以上實驗結果表明，采用本文提出的改進DFT法和改進并行DFT法，能夠準確提取諧波頻譜，有效避免有限字長效應引起的穩定性問題，保證系統可靠輸出，從而驗證了算法的可行性和有效性。

4結論

深入分析了有限字長效應對滑動窗DFT穩定性的影響。理論分析和仿真實驗表明，乘法運算的舍入誤差會在系統數據累加部分引入直流分量，導致輸出發散，而輸入信號量化噪聲和旋轉因子系數量化誤差等均不會影響系統穩定性。

針對滑動窗DFT的不穩定問題，基于優化運算順序的思想，提出了改進DFT法和改進并行DFT法，前者占用資源最少，適用于定點數運算，后者適用于浮點或定點數運算。此外，這兩種方法均不會占用額外存儲空間，適用于需要同時提取多個頻譜的應用場合。

附錄

附錄 A：證明y1(n)=vrs(n)cos[ω0(n-1)]不含直流分量。

由三角函數性質可知

y1(n)=vrs(n)cos[ω0(n-1)]

(A1)

設vrs(n)和y1(n)對應的傅里葉變換分別為Vrs(jω)和Y1(jω)，則由式(A1)知

(A2)

從而y1(n)的直流分量

(A3)

本文中2.2節已經指出，vrs(n)不含頻率為ω0及其整數倍諧波分量，即Vrs(j0)=Vrs(-j0)=0，從而Y1(j0)=0，表明y1(n)無直流分量。

附錄 B：證明隨機信號y2(n)=vrs(n)eR(n)不影響滑動窗DFT的穩定性。

設y2(n)經滑動窗DFT的累加部分后輸出為R2(n)，則

(B1)

本文中第2節指出，輸出累加部分僅對直流分量增益無窮大，因而可通過分析R2(n)的直流分量來評估y2(n)對系統穩定性的影響。

隨機信號y2(n)的統計均值

(B2)

式中，ε是一個常數，表示eR(n)的統計均值。考慮到vrs(n)是一個無直流分量的確定信號，∑vrs(k)和E[R2(n)]必然是一個有界值，不會隨時間推進(n變大)而發散，故而y2(n)不影響系統穩定性。

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Research of Finite-Word-Length Effects on the Stability of the Sliding DFT

Liu HuawuHu HaibingXing Yan

(Jiangsu Key Laboratory of New Energy Generation and Power Conversion Nanjing University of Aeronautics and AstronauticsNanjing210016China)

AbstractThe sliding discrete Fourier transform(DFT)can experience instability issues due to the accumulation and amplification of the errors introduced by the finite-word-length effects in real practical discrete systems.In this paper,the quantization noise of A-D,the quantization error of the twiddle factors,and the rounding error of arithmetic operations are taken into consideration to analyze their influences on the stability of the sliding DFT based on the statistical properites of random signals.Based on the detailed analysis,it is revealed that the rounding error of arithmetic operations is the key reason to cause the unstable phenomenon.Both simulation and experimental results validate the theoretical analysis of instability issue of the sliding DFT.To deal with this instability problem,two methods are proposed to eliminate the error accumulation and amplification through swapping the calculation sequences of the sliding DFT.Extensive simulations and experiments are provided to verify the effectiveness of the proposed solutions.

Keywords：Finite-word-length effects，sliding DFT，stability，rounding errors

收稿日期2015-04-02改稿日期2015-07-20

作者簡介E-mail：liuhuawu@nuaa.edu.cn(通信作者) E-mail：huhaibing@nuaa.edu.cn

中圖分類號：TM935

江蘇省產學研聯合創新資金前瞻性研究項目資助(BY2014003-12)。

劉華吾男，1989年生，博士研究生，研究方向為電力電子與電力傳動。

胡海兵男，1973年生，教授，研究方向為電力電子數字控制裝置及電力電子系統集成。