“虛設零點”，巧解導數的兩類問題

石向陽

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“虛設零點”，巧解導數的兩類問題

石向陽

在高考函數壓軸題中，我們經常會遇到導函數具有零點但求解相對比較繁雜甚至無法求解的問題。此時，我們不必正面強求，而是直接設出零點，充分利用其滿足的關系式，謀求一種整體的轉換和過渡，再結合其他條件解決問題，我們稱這種解題技巧為“虛設零點”法。下面，筆者通過對一些高考題的分析，說明“虛設零點”的三大策略在解題中的作用。

一、導函數零點可求，但極值計算偏繁或無法化簡的問題

這種情況，f′（x）=0一般可轉化為二次方程，很容易想當然，用求根公式把零點求出來，代入極值中。但接下來要么計算偏繁，要么無法化簡，復雜的算式讓人無處下手，導致后繼工作無法開展。正所謂“思路簡單，過程煩人”，這時可以運用以下兩個策略化繁為簡。

策略1：反代消參，構造關于零點的單一函數。

如果問題要求解（或求證）的結論與參數無關，我們虛設零點后，一般不要用參數表示零點，而是反過來用零點表示參數，然后把極值函數變成關于零點的單一函數，再次求導就可解決相應函數的單調性、極值、最值、不等式證明等問題。

例1（2014全國高考新課標Ⅱ卷（文））已知函數f（x）=x3-3x2+x+2，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線與x軸交點的橫坐標為-2。證明：當k＜1時，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點。

解：曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點?g（x）=（fx）-kx+2的圖像與x軸只有一個交點。g（x）=x3-3x2+（1-k）x+4，g（′x）=3x2-6x+1-k。

（1）當Δ=36-12（1-k）=24+12k≤0，即k≤-2時，g′（x）≥0，所以g（x）在上為增函數。因為g（-1）=k-1＜0，g（0）=4＞0，所以存在唯一x0∈（-1，0）使得g（x0）=0，所以g（x）的圖像與x軸只有一個交點。

（2）當Δ=36-12（1-k）=24+12k＞0，即-2＜k＜1時，（x）=0有兩個零點x1，x2，設x1＜x2。=1-k＞0，（1）=-2-k＜0，所以0＜x1＜1，1＜x2＜2。

當x∈（-∞，x1）時，（x）＞0，g（x）在（-∞，x1）內為增函數；當x∈（x1，x2）時，（x）＜0，g（x）在（x1，x2）內為減函數；當x∈（x2，+∞）時，（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）內為增函數。g（x）的極小值點是x2。

所以g（x）的圖像與x軸只有一個交點，只需要g（x2）＞0。由得

令x2=t，g（x2）=h（t）=-2t3+3t2+4（1＜t＜2），h′（t）=-6t2+6t=6t（1-t）＜0，故h（t）在（1，2）上為減函數，于是可得h（t）＞h（2）=0，即g（x2）＞0。所以當-2＜k＜1時，g（x）的圖像與x軸只有一個交點。

綜上（1）、（2）可知，當k＜1時，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點。

評析：本題當-2＜k＜1時，轉化為證g（x2）＞0。x2是可以求出的（實際上），但我們證關于k的不等式）＞0，讓人無處下手。于是，我們虛設零點x2，采用“反代”的方法，用零點x2表示參數，有這樣巧妙地回避了繁雜的計算，簡潔而利索，可謂妙哉。

策略2：降次留參，建立含參數的方程（或不等式）。

如果問題要求解（或求證）的結論與參數有關，虛設零點后，利用關系式f′（x）=0（大部分情況可轉化為二次方程），在保留參數的情況下，不斷地把零點的次數降到不可再降為止，再結合其他條件建立含參數的方程（或不等式），就可求出參數的值或參數的范圍。

（1）討論f（x）的單調性；

（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值；

（3）（加編）函數f（x）的圖像與x軸有三個公共點，求a的取值范圍。

解：（1）略。

（2）f′（x）=x2+2x+a，由題設知，x1，x2為方程f′（x）=0的兩個根，故有a＜1，x12=-2x1-a，x22=-2x2-a。因此，同理。因此直線l的方程為，設l與x軸的交點為（x0，0），得。而，由題設知，點（x0，0）在曲線y=f（x）上，故f（x0）=0，解得a=0或或。所以，所求a的值為a=0或或。

（3）函數f（x）的圖像與x軸有三個公共點?f（x）有極大值、極小值且兩個極值異號。

f（x）有極大值、極小值?f′（x）有兩零點?Δ=4-4a ＞0即a＜1。

f（x）兩個極值異號?f（x1）·f（x2）＜0，即，因為x1，x2為方程f′（x） =x2+2x+a=0的兩個根，由韋達定理有x1+x2=-2，x1x2=a，代入化簡得，得。

綜上可知，函數f（x）的圖像與x軸有三個公共點，a的取值范圍為。

評析：對于問題（2），虛設f′（x）零點x1，x2后，找到零點x1，x2與參數a之間的聯系（x12=-2x1-a，x22=-2x2-a），利用它們不斷地把零點的次數降到1次為止，再利用設而不求法求出直線方程，利用直線方程求出與x軸的交點，根據交點在已知曲線上建立含參數a的方程，從而得到參數a的值；對于問題（3），等價轉化為f（x1）·f（x2）＜0，再利用韋達定理轉化純粹的含參數a的不等式，求出了a的取值范圍，這也要歸功于問題（2）的虛設零點及降次留參。

二、導函數零點存在但無法求出的問題

如果f′（x）=0是超越形式（對字母進行了有限次初等超越運算包括無理數次乘方、指數、對數、三角、反三角等運算的解析式，稱為初等超越式，簡稱超越式），我們無法求出導函數零點，這時一律采用“虛設零點”法，通過形式化的合理代換或推理，謀求一種整體的轉換和過渡。這就是本文的第三個策略。

策略３：整體代換，將超越式化簡為普通式。

例3（2015年全國高考新課標I卷（文））設函數f（x）=e2x-alnx。

（1）討論f（x）的導函數f′（x）零點的個數；

當a＞0時，方程g（x）=a有一個根，即f′（x）存在唯一零點；

當a≤0時，方程g（x）=a沒有根，即f′（x）沒有零點。

（2）由（1），可設f′（x）在（0，+∞）的唯一零點為x0，當x∈（0，x0）時，f′（x）＜0；當x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0。故f（x）在（0，x0）單調遞減，在（x0，+∞）單調遞增，所以f（x）min=f（x0）。

綜上所述，“虛設零點”的三大策略，讓我們成功回避復雜的運算，擺脫解決問題過程中的一些技術難點，在求解比較復雜的含參函數的綜合問題中具有很好的應用價值，值得我們關注。

（作者單位：長沙市南雅中學）