數學科普與數學教研

彭翕成

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數學科普與數學教研

彭翕成

有觀點認為，科普書籍是可有可無的課外讀物，看看更好，開闊眼界；沒時間，不看也沒關系。還有觀點認為，科普書籍是給中小學生看的，主要是以激發學習興趣為目的；中小學老師沒必要看，學不到東西。

對以上兩種看法，筆者認為都有待商榷。以筆者十多年的研究經驗來看，若對數學科普加以重視，精選一些材料，數學科普能對數學教學起到積極的促進作用，不單是學生學習數學，對老師更深刻地認識數學、講好數學也有幫助。

一、教材PK科普書籍

平時教學，最為重要的資料就是教材。那么教材和科普書籍有何差別？先來看一個具體案例。

例1函數教學。

關于函數性質的整理，教材（或教輔）常出現這樣的表格（如圖1），而科普書籍中則可能如圖2所示。前者規范而死板，后者隨意而活潑。

圖1

圖2

彭翕成讀者QQ群：306162497，博客：http: //blog.sina.com.cn/pxc417。

通過對比，我們容易看出教材和科普書籍的差別。教材是很多專家（包括數學家、數學教育家、教研員、一線教師等）集體智慧的結晶，以課程標準為依據，反復修改，千錘百煉而成。科普書籍則常常是科普作家的個人作品（也有少量是集體創作的，如《十萬個為什么》），無需依賴大綱、課標，也沒人審查，寫作時可天馬行空，自由發揮。教材因為要經過相關部門的嚴格審查，聽取各方面人士的不同意見，每一處都要字斟句酌，所以最后呈現出來的是一個極為規范的面孔，換一個角度而言，就是顯得有點死板。科普書籍因為沒受到什么束縛，顯得隨意，給人的感覺是更活潑，更有生氣。

筆者也參與過一些教材的編寫，深知其難，并不是教材編寫者寫不出精彩有趣的內容，而是顧慮太多，難以發揮。中學老師若看看教材編委們的其他一些書籍，你會從那些書籍里看到不一樣的暢所欲言的編委。基于教材和科普書籍各自的特點，老師們教學應以教材為基準，因為教材的規范性是其他書籍所不具備的。適當加入科普書籍中的有趣素材，能調動學生的學習興趣，調節課堂氣氛，真正做到“用教材教”而不是“教教材”。

二、教材融合科普：我的科普觀

傳統的科普書籍作為課外讀物出現，大多選取一些趣味故事，怎么有趣怎么來，借以激發學生的學習興趣，出發點是好的。很多科學家談起自己中學時期時，也會提及當時看了某本課外書，很有意思，于是發憤圖強，走上了科研之路。但考慮到當前教育的現狀，科普的創作，或者說科普素材的選用，還得作一些調整，因為有些趣味故事可能與課堂上學的數學有較遠的差距。

筆者認為，數學科普不應僅僅定位為課外讀物，應該發揮更大的作用，可嘗試將數學科普和課堂內的知識結合，除了讓學生喜歡上數學，還能切切實實提高學生的成績。有人將科普總結為四句話：立足于科，著眼于普，給人以趣，授人以技。科學是基礎，普及是目的，趣味是手段，授技是關鍵。只講趣味，不講扎實內容，不就成聽相聲了么？有時我也反思，科普就是以趣味性見長，一定要它擔負教育的責任，擔負得起么？就像郭德綱所說，聽相聲就是得一樂，非得有什么教育意義么？但我還是想試一試。

大家對牛頓蘋果砸頭、高斯倒序相加的故事一定很熟悉。這就是科普資料反復宣傳的結果。但仔細分析，我們發現這兩個故事雖然都是名人軼事，但對學習而言，意義不同。我們很難從蘋果砸頭中學習到什么，而聽過1+2+3+…+100的故事之后，倒序相加的思想就在其中了。很多小學生都會計算前n個自然數相加，并不需要等到高中學了等差數列。

我們不排斥牛頓蘋果砸頭的故事，但我們更需要高斯倒序相加的故事，因為后者與教學聯系更緊密。將數學科普和數學教育相結合，是希望將趣味性和知識性相結合。這種想法由來已久。

不少老師上公開課前來問我，這個知識點有什么趣事么？最好是我一講學生就有興趣的。我知道，他們希望的是“國王與象棋”一類的故事，以此吸引學生。“國王與象棋”，原本是在科普書上的，后被人引進課堂，成為經典。這反映老師們本身有借助科普輔助教學的想法，只是找不到合適的材料。

如果能以中小學知識點為線索，編排一套趣味科普，為中小學數學教學服務，這是一件大好事。筆者在這方面做了一些工作，與人合編了《課本上學不到的數學》（小學、初中），《不等式探秘》等，但還遠遠不夠，甚至連教材上基本的知識點都沒有完全覆蓋。這是一個浩大的工程，需要大家共同努力。那我們可以從哪些方面下手呢？

三、讓數學變有趣，大家一起行動

科普創作并不是高不可攀，遙不可及的。一個優秀的老師，常常會想辦法幫助學生更好地理解，譬如用生活實例，打比方等。這其實就是一種科普。

如果有意進一步走向科普，將科普融入課堂，建議分三步走。

第一步：廣泛閱讀科普書籍，積累可以直接使用的案例。

第二步：通過閱讀，反思，將科普資料上的案例改造，使之能夠進入課堂。

第三步：時刻留心，尋找可以進入課堂的科普素材，自我創作。

簡而言之，就是照搬、改造、創作三階段。

第一步：照搬。因為用于教學的素材并不要求一定是老師原創，適用就好。在目前出版的資料中，已有大量案例可直接用于教學。

例2完全平方公式。

講平方和公式，最經典的莫過于面積證法（圖3）。但這并不排除其他的講述方式。譬如要強調（a+ b）2≠a2+b2，可講述故事：

有一個老人很喜歡小朋友去他家玩，去的人越多他越高興。他還立下一個規矩：每次發給小朋友的糖和來的小朋友個數一樣多。譬如你一個人來，只能得到一個糖。如果帶一個小朋友來，你倆可以各得兩個糖。

第一天，a個男孩一起來，每人得a個糖。他們走之后，來了b個女孩，每人得b個糖。算起來這一天這些小朋友總共得a2+b2個糖。第二天，a個男孩和b個女孩一起來，總共得（a+b）2個糖。

你想想看，這兩天小朋友得的糖是一樣多的嗎？第二天比第一天，每個男孩多得b個糖，因為有b個女孩一起來，于是所有男孩一共多得ab個糖。因為有a個男孩一起來，于是所有女孩一共多得ab個糖。所以（a+b）2=a2+b2+2ab。（對照圖3，可清楚地看到，多出的糖其實對應著兩個長方形的面積）

圖3

例3段子手也要學點數學：函數怎么講？

函數是比較抽象的概念，教學時需要使初學者明白函數是用來刻畫兩個變量之間的相依關系。明白一個變量變化，另一個變量也隨之變化。可嘗試讓學生閱讀。

這是網上流傳的段子，說的是女人沒有自主地位，主要由男人決定其地位。道理上并沒有太大新意，只是俗語“嫁雞隨雞，嫁狗隨狗”的另一說法罷了。“嫁雞隨雞，嫁狗隨狗”原本應作“嫁乞隨乞，嫁叟隨叟”，后來在流傳過程中發生了變化，意為一個女人即使嫁給乞丐和老人也要隨其生活一輩子。宋代筆記作家莊季裕著有《雞肋編》，其中一則是：“杜少陵《新婚別》云‘雞狗亦得將’。世謂諺云‘嫁得雞逐雞飛，嫁得狗逐狗走’之語也。”

而將此與數學相連，所見最早的是1933年出版的《數學的園地》，作者是著名科普作家劉薰宇。劉先生在講函數的時候認為：科學上所用名詞，板著面孔定義，太乏味了。什么是函數，可以這樣講：

戲文中有這樣的故事：某書生娶了富家千金，常被老婆教訓。后來進京趕考當了官，衣錦還鄉。可是他的老婆還是那么神氣。他很納悶，我窮的時候你向我擺架子，現在我當官了，你怎么還向我擺架子？老婆回答很巧妙，虧你還是讀書人，連水漲船高的道理都不懂嗎？

船的地位高低是隨著水的漲落發生變化。用數學語言就是，船的地位是水的漲落的函數。同理，女人是男人的函數。從大的方面講，在家從父，出嫁從夫，夫死從子；從細的方面講，女人一生下來，若父親是官僚政客，她就是千金小姐；若父親挑糞擔水，她就是丫頭。這個地位一直到她嫁人才得以改變。她若嫁的是大官僚，她變成了夫人；嫁的是小官僚，她便是太太；嫁的是教書匠，她便是師母；嫁的是生意人，她便是老板娘；嫁的是x，她便是y；y總隨x改變，自己全然不能做主。這和水漲船高不就是一樣的么？

劉薰宇先生以舊社會婦女沒地位（此處要說明：現在女性地位是很高的），處處要服從男人這個事實，作為從屬關系的例子，把“一個變化另一個也跟著變”的道理說得幽默生動。不管是數學教育工作者還是段子手，遇到這樣的科普材料，他看得進去，也會有所收益。

第二步：改造。由于原來科普創作的初衷并不是完全為教育教學服務，有些科普素材進入課堂還需要加以改造。像“女人是男人的函數”這樣與現代時勢不相符的案例需要加以改造，否則女同學聽了可能會不高興，甚至告狀，認為老師看不起女性。還有些科普資料上的素材存在不科學性，這也是科普不如教材規范之處，需要我們加以辨別。

例4差之毫厘，謬以千里，近似計算要小心。有科普資料介紹費馬大定理的最新進展：存在大于2的整數n，使得an+bn=cn成立。不信，用幾何畫板做計算試試（圖4）。這是不是有圖有真相呢？其實不然，使用精度更高的計算工具，容易發現問題所在（圖5）。事實上，不用計算機，我們也能發現其錯誤。分子是個奇數，分母是個偶數，怎么可能相等？

精度不夠，還會“發現”圓周率是有理數，計算試試：33102π≈103993.0000，多保留幾位小數就會發現：33102π≈103993.000019。

為什么科普資料上有這樣的錯誤？調查發現，相當部分是由于國外流行愚人節，很多人會把一些容易混淆的結論在那一天公布出來，第二天澄清。而有些人只看到那個“愚人”的結果，沒看到澄清，于是以訛傳訛。將這樣有錯的材料譬如本案例用于教學，就可以提醒學生們注意近似結果和精確結果之間也許只相差毫厘，但些許差別會導致根本性質的變化。

圖4

圖5

例5多項式形式的素數公式的背景。

一些資料中有這樣的段落：“是否對一切正整數n，n2+n+41都是素數？當n=1，2，3，…，39時，n2+n+41都是素數。是否可以確定對于一切n，n2+n+41都是素數呢？如果就此下結論，那就犯了以偏概全的錯誤。事實上，402+40+41=412，412+41+41=41×43都是合數。”

編寫者的意圖常常是為了說明使用歸納法要謹慎，不能妄下判斷，從另一角度說明了數學歸納法的重要性和科學性。

假如你看到這個問題，會不會從1到40去試驗呢？絕對不會，至少筆者不會這樣做，太繁瑣了。對于f（x）=x2+x+M，當x=M時是合數是顯然的。對于這樣簡單的推理，一般人都能輕松做到，又怎會一個個去試？所以這樣的材料進入課堂還需要改造加工。

筆者猜測：類似n2+n+41的素數公式流傳甚廣，恐怕這樣的素數公式還是有背景的。查閱史料發現，果然如此。當初歐拉研究類似n2+n+41這樣的式子，并不是一個數一個數那樣驗算的。歐拉超凡的計算能力，敏銳的數學直覺，在數學史上都是有名的。歸納法常常是在問題無法一下子看清，慢慢試探時使用。而對于簡單問題，能夠一次性分析解決不是更好么？有興趣的讀者可參看《談談多項式形式的素數公式》（《數學通訊》2010年第18期）。

第三步：創作。創作并不是遙不可及的事情，在我們身邊就有很多的好素材，適當加工，就可以寫成科普文章，用于課堂。

例6有解還是無解，給出理由來。

網絡上流傳一題：如圖6，添加一條直線，將一個五邊形分成兩個三角形。

此題所謂的標準答案就是劃一條粗線（圖7）。而數學中的直線是沒有寬度的，這個答案讓很多人無法接受。那么此題有沒有其他解呢？

需要注意：不能以自己做不出來就判定問題無解。一個問題有解，我們就要把解求出來，若無解，則需要說明為何無解，是題目條件自相矛盾，還是題目條件不足。譬如證明三角形全等，邊邊角能不能稱為定理？如果說能，給出證明，如果說不能，舉出反例。

此題不按常理出牌，但如果仔細分析，也能作為教學的素材。從角的角度分析，添加一條線，并不會改變內角和，兩個三角形內角和360°，而這已經是540°。矛盾！

圖6

圖7

例7負數運算與六尺巷。

清康熙年間，張英的老家人與鄰居吳家在宅基的問題上發生了爭執，因兩家宅地都是祖上基業，時間又久遠，對于宅界誰也不肯相讓。雙方將官司打到縣衙，又因雙方都是官位顯赫、名門望族，縣官也不敢輕易了斷。于是張家人千里傳書到京城求救。張英收書后批詩一首：“一紙書來只為墻，讓他三尺又何妨。長城萬里今猶在，不見當年秦始皇。”張家人豁然開朗，退讓了三尺。吳家見狀深受感動，也讓出三尺，形成了一個六尺寬的巷子。

此事被傳為佳話，至今不絕。它告訴我們，做人做事要學會忍讓包容。聯系數學則是，A和B原來挨在一起，A往一方向走了3尺，記為+3，B往相反方向走了3尺，記為-3，此時A和B相隔多遠？+3-（-3）=6。

例8兩對父子三個人？

有一個經典謎語：古時候，兩對父子去打獵，每人都獵得一只老虎，回家數一數，總共只有三只虎。為何？（此問題有各種各樣的版本，如：兩對父子一起去照相，相片里只有三個人。）原來的謎底很簡單，就是爺爺、爸爸、兒子。祖孫三代，爺爺和爸爸是一對父子，爸爸和兒子是一對父子。這樣兩對父子就是三個人。

也可從數學角度思考。由于虎與人是一一對應的關系，三只虎對應著三個人。一對父子是兩個人，另一對父子也是兩個人，并在一起，變成了三個人。說明這兩個父子集合有重合因素。

設兩對父子為：父1、子1、父2、子2。父1和子1構成父子1這個集合，父2和子2構成父子2這個集合，兩個集合合并，只有3個元素，說明這兩個集合當中有公共元素。

設父1=父2，則可推出這兩對父子是：一個爸爸+兩兄弟兒子。

設父1=子2，則可推出這兩對父子是：爺爺、爸爸、兒子祖孫三代。

設子1=父2，則可推出這兩對父子是：爺爺、爸爸、兒子祖孫三代。

設子1=子2，這種情況一般不存在，因為一個人不可能有兩個爸爸。如果是養父、岳父之類，就另當別論。這樣分析的話，就可發現傳統解答漏解。而使用集合進行討論，則不重不漏，所有情況都包含在內。這一過程也是數學建模的過程：將非數學問題轉化成數學問題，將數學問題轉化成解方程的問題。這樣一來，“兩對父子三個人”這樣的腦筋急轉彎問題和下面這道考題本質是一樣的：設A=｛2，4，a3-2a2-a+7｝，B=｛-4，a+3，a2-2a+2，a3+a2+3a+7｝，若A∩B=｛2，5｝，則A=___，A∪B=___。

（作者單位：華中師范大學國家數字化學習工程技術研究中心）

作者簡介：邵陽武岡人，工作于華中師范大學，主要從事數學文化傳播和數學教育技術的普及。多次參與國家重大課題的研究并獲獎。參與編寫湘教版數學教材、《十萬個為什么》等。著作十余部，主要有《數學哲學》《繞來繞去的向量法》《仁者無敵面積法》《動態幾何教程》《數學教育技術》《課本上學不到的數學》《師從張景中》《向量、復數與質點》《不等式探秘》等。曾在《數學通訊》等刊物開設專欄，發表文章200余篇。