求解矩陣方程AXB+CYD=E最佳逼近對稱解的迭代算法

肖憲偉,彭振赟,杜丹丹

(桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林　541004)

求解矩陣方程AXB+CYD=E最佳逼近對稱解的迭代算法

肖憲偉,彭振赟,杜丹丹

(桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林541004)

摘要：為了求解約束矩陣方程AXB+CYD=E的最佳逼近對稱解，基于交替方向法和相關矩陣理論，提出了2種迭代算法，并與共軛梯度算法、LSQR算法進行了數值比較，數值實驗表明2種迭代算法是有效的。

關鍵詞：矩陣方程；迭代算法；交替方向法；最佳逼近

約束矩陣方程問題廣泛應用于自動控制、有限元、線性最優控制、電學、振動理論等，是當今計算數學領域的熱門研究，并取得了一系列的成果[1-4]。約束矩陣方程AXB+CYD=E的求解問題被廣泛研究[5-7]。Liao等[8]利用標準相關分解(CCD)和廣義奇異值分解(GSVD)研究了極小范數最小二乘解，袁仕芳等[9]利用矩陣的Kronecker積、拉直算子和Moor-Penrose廣義逆求解對稱極小范數最小二乘問題解，劉大瑾等[10]基于共軛梯度法(CG)提出了一種求解中心對稱解及其最佳逼近的迭代算法，Sheng等[11]提出2類迭代算法分別求解對稱和反對稱解。

問題1給定實對稱矩陣X0∈Rn×n與Y0∈Rp×p，實矩陣A∈Rm×n，B∈Rn×q，C∈Rm×p，D∈Rp×q，E∈Rm×q，求實對稱矩陣X、Y滿足：

其中‖A‖為矩陣A的Frobenius范數。

為求解大型約束矩陣方程AXB+CYD=E的最佳逼近對稱解，基于交替方向法的基本思想，提出了求解問題1的2種迭代算法，數值實驗表明2種迭代算法是有效的。

1交替方向法

交替方向法(ADM)常適用于可分離凸規劃問題，其一般形式為：

(1)

其中：A∈Rm×s，B∈Rm×t，c∈Rm，f1、f2為凸函數。其拉格朗日函數和增廣拉格朗日函數分別為：

其中：拉格朗日乘子λ∈Rm，罰參數α>0。ADM迭代步驟為：

λk+1=λk-α(Axk+1+Byk+1-c),k=0,1,2,…。其中y0、λ0為任意的初始向量。

設(x*,y*,λ*)為拉格朗日函數L(x,y,λ)的一個鞍點，對于任意(x,y,λ)，有

令?f1(x)和?f2(y)分別為凸函數f1(x)和f2(y)的次微分算子，則求拉格朗日函數L(x,y,λ)的一個鞍點等價于求點(x*,y*,λ*)滿足式(1)的一階最優性條件：

定理1[12]令α>0，對任意初始點，由ADM產生的點列(xk,yk,λk)是有界的，并且點列(xk,yk)收斂于式(1)的一個最優解。

2求解問題1的迭代算法

問題1等價于如下2類約束最優問題：

(2)

其中：實矩陣P∈Rm×n，Q∈Rm×p。

(3)

其中實矩陣P′∈Rn×q，Q′∈Rp×q。

式(2)、(3)對應的增廣拉格朗日函數分別為：

其中：〈A,B〉=tr(ATB)=Σaijbij為矩陣空間Rm×n的內積；矩陣M、M′、N、N′、H、H′為拉格朗日乘子；α1,α2>0，β1,β2>0，γ1,γ2>0為罰參數。求解式(2)、(3)的ADM迭代形式分別為：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

同理，

式(18)中，S為列滿秩矩陣，其奇異值分解(SVD)為：

其中：Σ=diag(σ1,σ2,…,σn)，σi>0，U=(U1,U2)∈R(m+n)×(m+n),U1∈R(m+n)×n,V∈Rn×n為正交矩陣。則

(19)

相似的，

(20)

同理，

(21)

(22)

(23)

(24)

對于Qk+1、Q′k+1，通過適當的變形，

(25)

(26)

則求解問題1的迭代方法可描述為算法1和算法2。

算法1迭代法求解式(2)。

1)輸入矩陣A、B、C、D、E、X0、Y0，容限值ε>0。選取初始矩陣Y0、M0、N0和罰參數α1,β1,γ1>0，令k←0。

2)滿足終止準則，運行終止。

3)采用式(19)、(21)、(23)、(25)計算Xk+1、Yk+1、Pk+1和Qk+1，通過式(8)、(9)、(10)更新Mk+1、Nk+1和Hk+1。

4)令k←k+1，轉步驟2)。

算法2迭代法求解式(3)。

1)輸入矩陣A、B、C、D、E、X0、Y0，容限值ε>0。選取初始矩陣Y′0、M′0、N′0和罰參數α2,β2,γ2>0，令k←0。

2)滿足終止準則，運行終止。

4)令k←k+1，轉步驟2)。

鑒于算法1和算法2的相似性，現僅給出算法1的收斂性條件。

約束最優問題(2)的目標函數是嚴格凸函數，約束集

為閉凸集，則(X*,Y*)為式(2)的唯一解，當且僅當存在矩陣P*、Q*、M*、N*、H*滿足最優解條件：

此外，(X*,Y*,P*,Q*,M*,N*,H*)滿足約束最優問題(2)的拉格朗日函數

的一個鞍點，則對任意點列(Xk+1,Yk+1,Pk+1,Qk+1)，

3數值實驗

表1　4種算法的迭代步數與迭代時間

4結束語

基于交替方向法的基本思想和相關矩陣理論，提出了2種求解矩陣方程AXB+CYD=E的最佳逼近對稱解的迭代算法，給出了算法的收斂性條件。數值實驗表明，算法1和算法2是有效的，且在大型矩陣方程的求解問題上，2種算法相比CG算法和LSQR算法具有更好的收斂效果。

參考文獻:

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[2]LIAN A P,BAI Z Z.Least-squares solution of AXB=D over symmetric positive semidefinite matrices X[J].Journal of Computational Mathematics,2003,21(2):175-182.

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[8]LIAO A P,BAI Z Z,LEI Y.Best approximate solution of matrix equation AXB+CYD=E[J].SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications,2006,27(3):675-688.

[9]袁仕芳，廖安平，雷淵.矩陣方程 AXB+CYD=E對稱極小范數最小二乘解[J].計算數學,2007,29(2):204-216.

[10]劉大瑾,周海林,袁東錦. AXB+CYD=E的中心對稱解及其最佳逼近解的迭代算法[J].揚州大學學報(自然科學版),2008,11(3):9-13.

[11]SHENG X P,CHEN G L.An iterative method for the symmetric and skew symmetric solutions of a linear matrix equation AXB+CYD=E[J].Applied Mathematics and Computation,2010,233(11),3030-3040.

[12]BERTSEKA D P,TSITSIKLIS J N.Parallel and Distributed Computation:Numerical Methods[M].Englewood Cliffs, NJ：Prentice Hall,1989:253-260.

[13]孫繼廣.實對稱矩陣的兩類逆特征值問題[J].計算數學,1988,10(3):282-290.

編輯：曹壽平

Iteration algorithms for optimal approximation symmetric solution of matrix equationAXB+CYD=E

XIAO Xianwei, PENG Zhenyun, DU Dandan

(School of Mathematic and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

Abstract：In order to solve optimal approximation symmetric solution of the constrained matrix equation AXB+CYD=E, two iteration algorithms are proposed by alternating direction method and the relevant matrix decomposition theory. Numerical comparison with CG algorithm and LSQR algorithm are also given. Numerical experiments show that two iteration algorithms are effective .

Key words：matrix equation; iteration algorithm; alternating direction method; optimal approximation

收稿日期：2015-11-15

基金項目：國家自然科學基金(11261014)

通信作者：彭振赟(1963-)，男，湖南邵東人，教授，博士，研究方向為數值代數。E-mail：yunzhenp@163.com

中圖分類號：O241.7

文獻標志碼：A

文章編號：1673-808X(2016)02-0164-05

引文格式： 肖憲偉,彭振赟,杜丹丹.求解矩陣方程AXB+CYD=E最佳逼近對稱解的迭代算法[J].桂林電子科技大學學報，2016,36(2):164-168.