一類三次Kolmogorov系統(tǒng)的極限環(huán)

吳岱芩，黃文韜,2，吳燕蘭

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林　541004；2.賀州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣西 賀州　542800)

一類三次Kolmogorov系統(tǒng)的極限環(huán)

吳岱芩1，黃文韜1,2，吳燕蘭1

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林541004；2.賀州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣西 賀州542800)

摘要：針對(duì)一類三次Kolmogorov捕食系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)(1，1)的極限環(huán)分支問題，利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica，將實(shí)系統(tǒng)逐步轉(zhuǎn)化為復(fù)系統(tǒng)，計(jì)算伴隨復(fù)系統(tǒng)的前5個(gè)奇點(diǎn)量，利用雅克比行列式推導(dǎo)正平衡點(diǎn)處可分支的極限環(huán)個(gè)數(shù)，得出該系統(tǒng)在一定條件下可分支5個(gè)小振幅極限環(huán)的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：正平衡點(diǎn)；Kolmogorov系統(tǒng)；極限環(huán)；奇點(diǎn)量

生態(tài)學(xué)模型的極限環(huán)在理論和應(yīng)用上是重要而有趣的問題，如下生態(tài)模型

稱為Kolmogorov模型，x、y分別代表2個(gè)種群的密度。該模型描述種群間的捕食與被捕食、相互競爭作用以及互惠共存作用。許多生態(tài)問題都可歸結(jié)為f(x，y)和g(x，y)多項(xiàng)式，從而吸引了許多生物數(shù)學(xué)研究者的關(guān)注。針對(duì)一類三次Kolmogorov系統(tǒng)，張江山等[1]證明了系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與唯一性；Lloyd等[2]證明了系統(tǒng)可分支4個(gè)極限環(huán)；陸征一等[3]得到系統(tǒng)可分支3個(gè)極限環(huán)(其中2個(gè)穩(wěn)定)的結(jié)果；Lloyd等[4]得到系統(tǒng)可分支6個(gè)極限環(huán)；杜超雄等[5]證明了系統(tǒng)可分支5個(gè)極限環(huán)，并給出了系統(tǒng)奇點(diǎn)量均為零的充分條件，但未對(duì)其加以證明。彭躍輝[6]研究一類具有2個(gè)正平衡點(diǎn)的三次Kolmogorov系統(tǒng)，得到可分支6個(gè)極限環(huán)的結(jié)果。為此，研究如下三次Kolmogorov系統(tǒng)：

(1)

其中：b≠1,d≠-1,且a,b,c,d∈R。應(yīng)用奇點(diǎn)量方法[7-8]，計(jì)算正平衡點(diǎn)(1，1)的前5階奇點(diǎn)量，并給出其奇點(diǎn)量表達(dá)式，通過雅克比行列式方法證明系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)(1，1)可分支5個(gè)小振幅極限環(huán)。

1基本定義及引理

考慮一類多項(xiàng)式實(shí)系統(tǒng)：

(2)

其中Xk(x,y),Yk(x,y)是關(guān)于x、y的k次齊次多項(xiàng)式。當(dāng)δ=0時(shí)，系統(tǒng)(2)通過

(3)

變換，可變換為復(fù)系統(tǒng)：

(4)

(5)

其中：z、w、T、aα、bβ為復(fù)變量。

引理1[8]對(duì)系統(tǒng)(4)，可逐項(xiàng)確定形式級(jí)數(shù)，

(6)

使得

其中，c00=1，當(dāng)α<0，或β<0，或α=β>0時(shí)，置cαβ=0，其他情形cαβ由遞推公式

(8)

確定。對(duì)任意正整數(shù)m，μm由遞推公式

(9)

確定，其中μm稱為系統(tǒng)(4)的第m個(gè)奇點(diǎn)量。

由文獻(xiàn)[9]知，系統(tǒng)(2)的首個(gè)非零焦點(diǎn)量v2m+1(2π)與其伴隨復(fù)系統(tǒng)的首個(gè)非零奇點(diǎn)量μm滿足：

(10)

因此，系統(tǒng)(2)焦點(diǎn)量的計(jì)算可以化為系統(tǒng)(4)奇點(diǎn)量的計(jì)算。

2伴隨復(fù)系統(tǒng)的奇點(diǎn)量

系統(tǒng)(1)有正平衡點(diǎn)(1，1)，要討論該平衡點(diǎn)分支問題，可將平衡點(diǎn)平移至原點(diǎn)。因平移變換不會(huì)改變系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，系統(tǒng)在原點(diǎn)的分支情況與正平衡點(diǎn)分支類似。作u=x-1,v=y-1變換，將系統(tǒng)(1)變換為如下系統(tǒng)：

(11)

因此，可研究系統(tǒng)(11)的焦點(diǎn)量與分支情況。若直接計(jì)算系統(tǒng)(11)的焦點(diǎn)量，計(jì)算較復(fù)雜，且不易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。為此，考慮將系統(tǒng)(11)轉(zhuǎn)化為其對(duì)應(yīng)的伴隨復(fù)系統(tǒng)，用與焦點(diǎn)量等價(jià)的奇點(diǎn)量進(jìn)行計(jì)算(焦點(diǎn)量與奇點(diǎn)量的關(guān)系參見文獻(xiàn)[7])。而系統(tǒng)(11)經(jīng)z=u+iv,w=u-iv,T=it變換，化為其伴隨復(fù)系統(tǒng)：

(12)

其中：

再運(yùn)用式(8)、(9)，結(jié)合計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica對(duì)系統(tǒng)(12)進(jìn)行計(jì)算，可得其前5階奇點(diǎn)量表達(dá)式。

定理1復(fù)系統(tǒng)(12)原點(diǎn)的前5階奇點(diǎn)量為μ1、μ2、μ3、μ4、μ5，

情形1，當(dāng)a+b=1,c+d=-1時(shí)，r=-1，F(xiàn)1=4，

情形2，當(dāng)3a+5b=5,3c+5d=-5時(shí)，r=-5/3，F(xiàn)1=2/3，

情形3，當(dāng)a+b≠1,c+d≠-1，3a+5b≠5,3c+5d≠-5時(shí)，

其中：

F1=4+5b-5d-6r+8br-8dr-6r2+

3br2-3dr2,

F2= 179+100b-30b2+30b3+136d+340bd-

30b2d-325d2+30bd2-30d3-105r+352br-

90b2r+30b3r-574dr+340bdr-30b2dr-

727d2r +30bd2r-30d3r-111r2-552dr2-

441d2r2-99r3-198dr3-99d2r3；

F3=-3193759+12337160b+10673660 b2+

468120b3+2862624d+13843380bd+

8743140 b2d+605015 d2+8267260 bd2+

1025560 b2d2-15364620d3+105500d4-

10705230 r-13712192br +10758980 b2r-

38227966dr-824580 bdr+7806900 b2dr-

29121293d2r +4343660bd2r+1025560b2d2r-

6867380d3r+5544425d4r-10527399 r2+

3812472 dr2+41741781d2r2+33239280d3r2+

5837370d4r2+12952179 r344466438dr3+

47108559d2r3+12626520d3r3-2967780d4r3+

1513710 r4+313740dr4-8141040d2r4-

11168460d3r4-4227390d4r4-861165 r5-

3444660dr5-5166990d2r5-3444660d3r5-

861165d4r5；

F4也為b、d、r的表達(dá)式，因其計(jì)算式較復(fù)雜，在此不再列舉。

定理2系統(tǒng)(12)原點(diǎn)的前5個(gè)奇點(diǎn)量都為零的充分必要條件為以下3個(gè)條件之一成立：

1)a=-c≠0,b=-d;

2)a=b-1≠0,c=d+1≠0;

3)a=c=0。

1)若a=c=0,易得μ2=μ3=μ4=μ5=0。

2)若a≠0,c≠0(從a、c的關(guān)系可知只有這2種情況)，將c=a(1+d)/(b-1)代入μ2關(guān)系式，得

由b-1≠0,1+d≠0,a≠0可得(b+d)[a-(b-1)]=0。b=-d時(shí)，a=-c；a=b-1時(shí)，c=d+1。

可通過數(shù)值方法算得F1、F2、F3、F4不可同時(shí)為0(證明見定理3)，必要性得證。

3系統(tǒng)的極限環(huán)分支

定理3若μ1=μ2=μ3=μ4=0，μ5≠0，系統(tǒng)(12)有5階細(xì)奇點(diǎn)，則系統(tǒng)(12)有5階細(xì)奇點(diǎn)的充要條件為：

b≠-d,c≠d+1,a≠0,a+c=bc-ad,

(13)

證明充分性。由a+c=bc-ad,易知μ1≠0；又F1=F2=F3=0，故μ2=μ3=μ4=0，b≠-d,c≠d+1，a≠0,此時(shí)只要證明F1=F2=F3=0的情況下，F(xiàn)4≠0，即證得μ5≠0。這里可用2種方法檢驗(yàn)。

1)Resultant(X，Y，g)是函數(shù)X、Y關(guān)于自變量g的結(jié)式[10]，令h12=Resultant(F1,F2,b)，h13=Resultant(F1,F3,b)，h14=Resultant(F1,F4,b)，n1=Resultant(h12,h13,d)，n2=Resultant(h12,h14,d)，利用Mathematica算符Solve[{n1=0，n2=0}，r]計(jì)算發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)r=-1或r=-5/3時(shí)，n1、n2可同時(shí)為零，而由定理1的情形2、3知，r=-1或r=-5/3時(shí)，μ5=0，這與條件矛盾，故n1、n2不可同時(shí)為零，那么μ2=μ3=μ4=0時(shí)，μ5≠0，充分性得證。

2)可用數(shù)值法求解同時(shí)滿足3個(gè)方程F1(b，d，r)=0，F(xiàn)2(b，d，r)=0，F(xiàn)3(b，d，r)=0的根(b1、d1、r1)(F1、F2、F3的值見定理1)，將所有滿足b1、d1、r1為實(shí)數(shù)的根代入定理1的F4表達(dá)式，均可得F4≠0，充分性得證。

必要性。若μ5≠0，而μ2=μ3=μ4=0，則易得b≠-d,c≠d+1，a≠0，F(xiàn)4≠0，且F1=F2=F3=0；由μ1=0得a+c=bc-ad，故必要性得證。

式(13)實(shí)質(zhì)是系統(tǒng)(1)正平衡點(diǎn)成為5階細(xì)焦點(diǎn)的一個(gè)條件(對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(12)原點(diǎn)成為5階細(xì)奇點(diǎn)條件)，但這種形式的條件不便在極限環(huán)的分析中應(yīng)用，考慮求出未知數(shù)a、b、c、d的具體形式。因?yàn)榉匠探MF1=F2=F3=0的精確符號(hào)解過于繁多，考慮用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica求出其近似解。可采用Mathematica算符NSolve[{F1=0，F(xiàn)2=0，F(xiàn)3=0}，{b，d，r}，50]將近似解精確到50位小數(shù)。有2組解滿足條件，取其中一解：

所以可得a、b、c、d的近似解為：

(14)

定理4設(shè)系統(tǒng)(12)系數(shù)滿足式(14)，系統(tǒng)(1)系數(shù)相應(yīng)確定，則系統(tǒng)(12)經(jīng)過適當(dāng)擾動(dòng)(其線性部分?jǐn)_動(dòng)為(-y+σx,x+σy),σ充分小，高次部分對(duì)系數(shù)進(jìn)行微擾)，在原點(diǎn)的充分小鄰域可分支5個(gè)極限環(huán)，即系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)(1，1)可分支出5個(gè)小振幅極限環(huán)。

證明 由式(10)知，焦點(diǎn)量與奇點(diǎn)量存在v2m+1=iπμm關(guān)系。類似于文獻(xiàn)[11]中的引理2，欲證明系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)鄰域可分支5個(gè)極限環(huán)，只需證明在式(14)成立的條件下，雅克比行列式

(15)

成立。經(jīng)計(jì)算得

故通過微擾，系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)(1，1)處可分支5個(gè)小振幅極限環(huán)。

4結(jié)束語

捕食系統(tǒng)作為數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)中最基本的三大系統(tǒng)之一，對(duì)其相關(guān)問題的研究具有重大實(shí)際意義。討論了一類Kolmogorov捕食系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)處的極限環(huán)分支問題，證得復(fù)系統(tǒng)前5個(gè)奇點(diǎn)量均為零的充要條件，并利用雅克比行列式方法得到原系統(tǒng)在一定條件下可分支5個(gè)小振幅極限環(huán)。但系統(tǒng)的中心問題還有待解決，對(duì)該系統(tǒng)更高次的極限環(huán)分支問題，有待進(jìn)一步研究。

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編輯：翁史振

Limit cycles of a cubic Kolmogorov system

WU Daiqin1, HUANG Wentao1,2, WU Yanlan1

(1.School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China;2.Department of Mathematics, Hezhou University, Hezhou 542800, China)

Abstract：Aiming at bifurcations of limit cycles of a cubic Kolmogorov predator-prey system at the positive equilibrium point (1,1), the real system is translated gradually into a complex system by the computer algebra system Mathematica, then the first five singular point values for the concomitant complex system are calculated, and the numbers of limit cycles at the positive equilibrium point can be deduced by Jacobi determinant. Five small amplitude limit cycles bifurcating from the positive equilibrium point can be concluded in the certain conditions.

Key words：positive equilibrium point; Kolmogorov system; limit cycle; singular point value

收稿日期：2015-11-24

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11261013)

通信作者：黃文韜(1966-)，男，廣西永福人，教授，博士，研究方向?yàn)槲⒎址匠潭ㄐ岳碚摗-mail:huangwentao@163.com

中圖分類號(hào)：O175.12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-808X(2016)02-0160-04

引文格式： 吳岱芩，黃文韜，吳燕蘭.一類三次Kolmogorov系統(tǒng)的極限環(huán)[J].桂林電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2016,36(2):160-163.