修正的譜共軛梯度算法在圖像恢復中的應用

崔　青，朱志斌，王　碩

(桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林　541004)

修正的譜共軛梯度算法在圖像恢復中的應用

崔青，朱志斌，王碩

(桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林541004)

摘要：為了求解反問題中大規模的無約束優化問題，基于經典的共軛梯度算法，提出了一種修正的譜共軛梯度算法。在Wolfe搜索下，證明了該算法的收斂性。數值實驗表明了該算法在圖像恢復中的有效性和可行性。

關鍵詞：譜共軛梯度法；Wolfe搜索；收斂性；圖像恢復

反問題是一個關于如何將觀測和測量結果轉化為物體或系統的信息的廣義框架，是在數學與物理學中最重要和被研究最多的問題之一，其廣泛出現在諸如計算機視覺、自然語言處理、統計學、醫學成像(如計算機斷層成像)中。

在反問題中，由于其不適定性，通常會將積分方程正則化。所謂正則化，即用一族與原不適定問題相“鄰近”的適定問題的解去逼近原問題的解。而如何建立有效的正則化方法是反問題領域中不適定問題研究的重點。通常的正則化方法有TSVD正則化、Tikhonov正則化、全變差正則化等。而在正則化的實現過程中，需要利用一般的優化方法，如最速下降法、最小二乘法、牛頓法、共軛梯度法去求解正則解。

當今,圖像恢復已經成為反問題研究的一個熱點。它是利用圖像退化的先驗信息建立圖像退化模型，比較準確地反演圖像原始信息的一種圖像處理技術，是人們獲取圖像信息、理解圖像不可缺少的一個復雜過程，也是對圖像進一步處理的基礎。為此，提出了一種修正的譜共軛梯度法以獲得更好的圖像恢復質量。

1相關知識

圖像去模糊模型為[1]

其中：v(x′,y′)為真實圖像；k(x-x′,y-y′)為模糊核，也就是點擴散函數；u(x,y)為模糊圖像。

基于正則化的方法，建立圖像恢復的目標函數，并將合適的先驗條件融入到目標函數中，通過最優化處理獲得期望的解。

一般解決圖像去模糊問題，考慮數據模型

其中：v、u、η分別為原始圖像、模糊圖像和噪聲；K為模糊矩陣。由于恢復過程是一個病態問題，用Tikhonov正則化去逼近u=Kv+η，即

考慮非約束優化問題

minf(x),x∈Rn,

(1)

則求解問題的標準共軛梯度法的迭代公式為：

(2)

(3)

其中：gk為f(x)在點xk的梯度；dk為搜索方向；βk為標量；αk>0為由線搜索計算的步長因子。常用的線搜索有精確線搜索、Armijo線搜索、Wolfe線搜索等。βk有以下幾種形式[2-4]:

自2018年1月1日到6月30日，李凌共審結各類刑事案件175件，其中含刑庭帶到速裁庭已審結的39件疑難復雜案件，平均審理天數為40.5天。速調速裁庭新收的已審結的121件刑事案件,平均審理天數僅為28.9天，當庭宣判率高達60%以上,部分適用簡易程序審理的案件6天內審結，大大縮短了案件的審理周期，提高了結案率。

其中：‖·‖為Euclidean范數；yk-1=gk-gk-1；sk-1=xk-xk-1。

文獻[5-6]利用Wolfe線搜索

(4)

證明了DY方法的全局收斂性。在DY方法的基礎上進行修正，提出了一個修正的譜共軛梯度算法

(5)

搜索方向為：

(6)

對任一線索搜

(7)

2算法及全局收斂性

2.1修正的譜共軛梯度算法

2)若‖g0‖≤ε，，則停止迭代，輸出x*=x0；否則，進入步驟3)。

3)令xk+1=xk+αkdk，由式(5)、(6)計算dk。

4)由Wolfe準則確定步長αk。

5)令k∶=k+1，轉步驟2)。

2.2修正的譜共軛梯度算法的收斂性

為了保證算法的收斂性，對目標函數作基本假設。

假設1[7]1)水平集Ω={x∈Rn|f(x)≤f(x0)}x有界；

2)函數f(x)在Ω的某一領域D內是連續可微的，且其梯度g(x)是Lipschitz連續的，即存在常數L，使得

從假設1可看出，存在正數B,γ>0，使得

引理1[8-9]若假設1成立，任一共軛梯度法的迭代形式xk+1=xk+αkdk，且αk滿足Wolfe條件(4)，則

將式(7)代入，有

那么，

所以，

可得

這與引理1矛盾，因此

3數值實驗

通過Matlab編程進行數值實驗，以驗證修正的譜共軛梯度算法的有效性和穩定性。應用Tikhonnv正則化，考慮圖像去模糊問題

在數值測試中，用512 px×512 px的cell圖像。由Matlab函數產生帶有噪聲的模糊圖像。在恢復過程中，采用reflective邊界條件。模糊矩陣為BTTB+BTHB+BHTB+BHHB。在Wolfe線搜索中，取ρ=0.35，σ=0.8，得到3幅圖像，分別為原始圖像、噪聲及模糊圖像和恢復圖像，如圖1～3所示。

圖1　原始圖像Fig.1　Original image

圖2　噪聲及模糊圖像Fig.2　Noisy and blurred image

圖3　恢復圖像Fig.3　The restored image

數值實驗結果表明，提出的修正的譜共軛梯度算法對圖像的恢復是有效的。

4結束語

在傳統共軛梯度算法基礎上，對DY共軛梯度算法進行修正，從而達到預想的結果。該算法比修正前的DY共軛梯度算法在圖像處理方面具有較大的優勢。當然，此算法也可應用于其他方面。

參考文獻:

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編輯：梁王歡

A modified spectral conjugate gradient method and its applications in image restoration

CUI Qing, ZHU Zhibin, WANG Shuo

(School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

Abstract：Based on the classic conjugate gradient method, a modified spectral conjugate gradient method is proposed for the large-scale unconstrained optimization problem in the inverse problem. The algorithm is convergent under the Wolfe searching. Numerical experiments show that the proposed algorithm is effective and feasible in image restoration.

Key words：spectral conjugate gradient method; Wolfe searching; convergence; image restoration

收稿日期：2016-02-04

基金項目：國家自然科學基金(11361018)；廣西自然科學基金(2014GXNSFFA118001)；桂林市科學研究與技術開發計劃(20140127-2)

通信作者：朱志斌(1974-)，男，湖南雙峰人，教授，博士，研究方向為最優化理論與算法。E-mail:zhuzb@guet.edu.cn

中圖分類號：O224

文獻標志碼：A

文章編號：1673-808X(2016)02-0148-03

引文格式： 崔青，朱志斌，王碩.修正的譜共軛梯度算法在圖像恢復中的應用[J].桂林電子科技大學學報,2016,36(2):148-150.