三維動態趨勢面模型在地面沉降分析中的應用

李廣春　戴吾蛟,2　曾凡河,2　劉　斌

1　中南大學地球科學與信息物理學院，長沙市麓山南路932號，410083 2　湖南省精密工程測量與形變災害監測重點實驗室，長沙市麓山南路932號， 410083

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三維動態趨勢面模型在地面沉降分析中的應用

李廣春1戴吾蛟1,2曾凡河1,2劉斌1

1中南大學地球科學與信息物理學院，長沙市麓山南路932號，410083 2湖南省精密工程測量與形變災害監測重點實驗室，長沙市麓山南路932號， 410083

摘要：在趨勢面擬合模型的基礎上考慮時間項，建立三維動態趨勢面模型，并通過模擬數據驗證模型的適用性，最后對南沙地區GPS沉降監測網數據進行分析。結果表明，三維動態趨勢面模型可以反映區域沉降的整體時空變化趨勢，并具有良好的時空插值效果。

關鍵詞：動態趨勢面擬合；地面沉降分析；時空插值

趨勢面擬合作為一種空間擬合插值方法已經得到廣泛的應用[1-5]。移動趨勢面和多面函數方法是對常規趨勢面方法的改進，其中移動趨勢面方法需要確定移動區域半徑，并且無法得到統一的模型[6]；多面函數方法依賴于核函數的選取和光滑因子的選定[7]。地面沉降過程是時空上的動態過程，其分析需要同時考慮時間和空間特性。三維動態趨勢面模型是在空間趨勢面擬合的基礎上考慮時間項的趨勢面擬合模型。本文利用此模型對GPS沉降監測數據進行擬合分析。

1三維動態趨勢面

三維動態趨勢面擬合模型是空間位置和時間的多項式函數，其實質是將多項式轉換為多元線性回歸模型，并利用最小二乘法估計參數。趨勢面通常把實際地面沉降分解為趨勢項和剩余項兩個部分[8]。

1.1三維動態趨勢面原理

三維趨勢面擬合在空間趨勢面擬合的基礎上加入時間向量構造三維動態趨勢面，以反映地面沉降的時間和空間變化情況。其多項式形式為：

(1)

式中，αijk(i、j=0,1,…,m;k=0,1,…,p)為多項式的系數，(x,y)為點的平面坐標，t為相應數據的觀測時刻，ε為剩余項。對于沉降面比較簡單的情況，平面坐標的階次可以選用低階；對于較復雜的沉降面，可以選擇較高階，但平面階次的選擇還應考慮平面采樣點的個數。

一般將式(1)作為多元線性回歸模型，利用最小二乘原理求解其系數。但式(1)中，各項的階次不同可能導致各項數值的數量級不同，在參數估計的過程中可能出現病態的情況。對式(1)中的各項進行標準化處理，得：

(2)

式中，Zs為因變量標準化后的向量，Xs(i )為式(1)中各項標準化后的向量，bs為標準化后對應的多元線性回歸系數。

利用最小二乘原理，求標準化后的式(2)的各項系數，使

(3)

求解式(3)，得到式(2)多元回歸的系數：

(4)

1.2模型的顯著性檢驗

趨勢面擬合模型只是一種假設統計模型，因此在求得模型參數后，需要對模型進行統計檢驗，以檢驗模型及模型參數的顯著性。

在線性回歸分析中，模型的整體顯著性檢驗一般是通過構建F統計量：

(5)

對模型的整體性檢驗只能檢驗模型是否顯著。在模型顯著的情況下，并不能保證模型中每個參數都是顯著的，因此，還需要對模型參數進行統計檢驗。構建T統計量：

(6)

2模擬實驗

為分析模型的適用性，生成4×4格網共16個點的動態趨勢面，共500期數據。其中，4個頂點利用二次曲線得到，其余點的數據利用式(7)的反距離平方加權插值得到。對生成的趨勢面加入方差為1的隨機噪聲，得到最終的模擬數據：

(7)

取模擬數據中15個點的前400期數據參與動態趨勢面擬合，另外1個點作為檢核點檢驗模型的空間預測效果。因模擬數據由二次曲線生成，模型的時間階數定為2。由于有15個點的數據參與擬合，因此擬合模型的空間階數最高為4階。通過對2階、3階和4階擬合模型的試算，確定空間階次為3時擬合模型最優。

從圖1可以看出，動態趨勢面擬合模型對模擬數據擬合效果較好。圖2和圖3表明，模型對模擬數據時間和空間的預測曲線基本和模擬數據一致，但兩者還是存在一定的差別，可能是模擬數據中的隨機噪聲對建模過程的影響所致。圖4反映了模擬數據趨勢面的時空變化，圖中點表示模擬數據對應點位。對加入方差為4的隨機噪聲的模擬數據建模結果與噪聲方差為1的模擬數據建模結果進行對比，結果見表1。可以看出，隨機噪聲的大小對模型建立有一定影響，隨機噪聲過大可能造成建模不準確。

3實例分析

對南沙地區GPS地面沉降監測網進行分析。監測網由4個雙頻監測點和7個單頻監測點組成，其中兩個雙頻監測點布設在山頂的巖石及具有深基樁的房頂上，其余監測點布設在地面或未有深基樁的房頂上。

選取監測網中的GD01～GD11共11個監測點2012-08-26～2013-08-26共366期的數據進行分析，其中觀測數據以GD05點為基準解算得到。因GD11點的數據缺失較多，將其作為檢驗點不參與擬合建模，選取其余10個監測點前300期數據參與動態趨勢面擬合。首先利用3倍中誤差法剔除粗差，利用線性插值插補缺失值，對數據進行預處理。建模過程中，以2012-08-01為時間起點，以a為單位，平面坐標以GD05監測點為基準，以km為單位。

共有10個監測點數據參與模型擬合，因此空間階次最高為3。通過對不同時間和空間階次模型的試算，對擬合的殘差中誤差進行對比。由表2可知，空間階次為3、時間階次為1時，模型效果最優。對此模型進行擬合，通過F-檢驗和T-檢驗，得到最終的動態趨勢面模型為：

Z=9.165x-5.619y-16.9xt-5.14yt+

0.357xy+3.728x2t-0.2x3t+

0.755y2t-0.54y3t-1.979x2+

0.631x2yt+5.741xyt-0.009

(8)

通過模型(8)得到對沉降數據的擬合中誤差為5.24 mm。從圖5中GD09點的擬合效果可以看出，模型的擬合曲線處于觀測數據的中間位置，說明擬合效果較好，但由于觀測數據中存在較大的噪聲，使得擬合中誤差較大。在模型的時間預測(外推)中，各監測點的平均預測中誤差為6.35 mm，對GD11點的空間預測中誤差為9.82 mm。從圖6和圖7中預測曲線與實際觀測值的比較可以發現，模型的預測值基本位于觀測數據序列的中間，說明得到的模型基本符合沉降變化的趨勢和規律。預測的統計精度較差，可能與觀測數據質量較差有關。

圖8給出了模型2013-02-25擬合趨勢面的等值線圖。可以看出，各個監測點的觀測數據與擬合趨勢面非常接近，但在監測點控制區域外,趨勢面的變化較大。說明在監測點的內部，動態趨勢面模型可以很好地擬合地表形變趨勢，但其空間外推能力較差。觀測數據中隨機噪聲較大，對所建模型也存在一定的影響。GD01和GD11點的觀測數據與趨勢面差別較大，可能是受觀測數據噪聲的影響，也有可能是區域中存在局部的趨勢特征，通過整體的趨勢擬合無法體現,需要對其局部特征進一步分析。

本文依次給出2012-12-03、2013-03-13、2013-06-21和2013-08-21時間點對應的空間擬合效果圖，見圖9。可以看出，在監測點的控制區域內可以反映時空上的沉降變化趨勢。由于三維動態趨勢面是連續光滑曲面，在監測點的控制區域之外，趨勢面并不能準確反映其沉降趨勢。

4結語

動態趨勢面模型通過尋找地面沉降量與測點坐標和時間的關系，對區域地表形變的整體趨勢進行擬合，得到地面沉降的時空變化趨勢。相對于單點的時間序列分析和趨勢面模型，其同時考慮區域的時空趨勢，建立了統一的模型。但動態趨勢面模型是對區域的整體趨勢進行擬合分析，不能體現區域的局部趨勢特征，而且模型只是得到了區域的整體趨勢部分，對剩余部分是否還存在一定的規律特征需要進一步研究。

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Foundation support:National Key Basic Research Program of China, No. 2013CB733303；Fundamental Research Fund for Central South University,No.2015zzts252.

About the first author:LI Guangchun，postgraduate, majors in deformation monitoring and analysis,E-mail: 284853319@qq.com.

Application of Three-Dimensional Dynamic Trend Surface Fitting Model on Land Subsidence

LIGuangchun1DAIWujiao1,2ZENGFanhe1,2LIUBin1

1School of Geosciences and Info-Physics, Central South University,932 South-Lushan Road,Changsha 410083,China 2Key Laboratory of Precise Engineering Surveying & Deformation Disaster Monitoring of Hunan Province ,932 South-Lushan Road,Changsha 410083,China

Abstract:This article takes time of observation into account on trend surface fitting, as a dynamic trend surface fitting model. The land subsidence data from the GPS monitoring system of Nansha is analyzed using the dynamic trend surface model. Our results indicate that the model could reflect the overall tendency of the settlement and have good spatial interpolation effects.

Key words:dynamic trend surface fitting; land subsidence analysis; spatio-temporal interpolation

收稿日期：2015-06-30

第一作者簡介：李廣春，碩士生，主要從事變形監測與分析研究，E-mail：284853319@qq.com。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.06.009

文章編號：1671-5942(2016)06-0508-05

中圖分類號：P258

文獻標識碼：A

項目來源：國家973計劃(2013CB733303)；中南大學研究生自主探索創新項目(2015zzts252)。