帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測控制

王　權(quán),　鄒媛媛,　牛玉剛

(華東理工大學(xué)化工過程先進控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點實驗室,上海 200237)

帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測控制

王權(quán),鄒媛媛,牛玉剛

(華東理工大學(xué)化工過程先進控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點實驗室,上海 200237)

摘要：針對存在量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),提出了一種基于事件觸發(fā)機制的預(yù)測控制設(shè)計方法,其中,信號從傳感器傳送到控制器和從控制器傳送到執(zhí)行器時需要被量化。建立了帶有事件發(fā)生器的網(wǎng)絡(luò)化模型,設(shè)計了事件觸發(fā)機制,給出了預(yù)測控制律的設(shè)計方法,分析了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性條件。最后,通過數(shù)值仿真驗證了本文方法的有效性。

關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng); 量化; 預(yù)測控制; 事件觸發(fā)

近年來,隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked Control Systems,NCS)引起了學(xué)術(shù)界和工業(yè)過程領(lǐng)域的廣泛關(guān)注[1-4]。與傳統(tǒng)“點對點”直接相連的控制系統(tǒng)相比,網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)具有成本低、靈活性高、易于安裝和維護等優(yōu)點。然而,網(wǎng)絡(luò)自身的一些局限性也給網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的研究帶來了新的挑戰(zhàn),比如網(wǎng)絡(luò)時滯、數(shù)據(jù)丟包、數(shù)據(jù)量化等都是亟待解決的問題。為了節(jié)約有限的帶寬資源,系統(tǒng)信號通過網(wǎng)絡(luò)傳輸之前通常需要被量化,而由量化產(chǎn)生的量化誤差不可避免地會影響控制系統(tǒng)的性能。

針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的量化問題,目前已有大量研究[5]。文獻[6]介紹了一種靜態(tài)的對數(shù)量化器。文獻[7]指出對數(shù)量化器的量化穩(wěn)定性問題等價于帶有扇形界不確定性的控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題。在此基礎(chǔ)上,文獻[8-9]同時考慮數(shù)據(jù)丟包問題,給出了魯棒預(yù)測控制綜合方法設(shè)計控制器,保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)采用時間觸發(fā)機制,即采樣信號周期性地被傳輸,控制器也是周期性地執(zhí)行控制任務(wù)。這種機制會明顯增加網(wǎng)絡(luò)傳輸負載,造成通信資源的浪費。為了減少網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)傳輸量,即減少不必要的通信資源浪費,文獻[10]提出了事件觸發(fā)機制,即采樣信號只有在滿足事件觸發(fā)條件時才被傳輸,否則就不傳輸,有效地降低了網(wǎng)絡(luò)通信負擔。近幾年,事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)方面的研究已引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注。文獻[11]研究了NCS中事件觸發(fā)通信策略和H控制的聯(lián)合設(shè)計問題,同時考慮了通信時滯和丟包的影響。文獻[12]針對帶有丟包和量化的NCS,提出了基于事件觸發(fā)的控制方法,并給出了最大容許連續(xù)丟包的上界。預(yù)測控制(Model Predictive Control,MPC)作為一類典型的工業(yè)過程控制方法,已被成功應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)[8-9,13-15]。考慮到將事件觸發(fā)機制應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測控制系統(tǒng),文獻[16]對滿足約束并帶有外界擾動的NCS設(shè)計了事件觸發(fā)預(yù)測控制器,在減少通信量和計算量的同時,保證了系統(tǒng)良好的控制性能。文獻[17]針對存在時滯的NCS,研究了基于模型的事件觸發(fā)預(yù)測控制問題,給出了控制器和事件觸發(fā)參數(shù)的聯(lián)合設(shè)計方法。但到目前為止,已有文獻中基于事件觸發(fā)策略的預(yù)測控制方法都沒有考慮量化問題的影響,特別是已有成果并不能簡單地推廣到存在量化信號的情況,因此,開展帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測控制問題的研究十分必要。

為了降低網(wǎng)絡(luò)中的信息通信量,減少通信資源不必要的浪費,同時考慮到網(wǎng)絡(luò)帶寬資源受限問題,本文針對存在狀態(tài)和控制信號量化的離散時間線性系統(tǒng),提出了事件觸發(fā)預(yù)測控制與量化相結(jié)合的一種新方法。首先,分析了經(jīng)過量化的狀態(tài)信號和控制信號的模型,然后建立了帶有事件發(fā)生器和信號量化器的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型,給出了預(yù)測控制方法設(shè)計控制器,并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality,LMI)方法,得到事件觸發(fā)預(yù)測控制閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性條件。

1問題描述

考慮如圖1所示的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),包括被控對象、傳感器、事件發(fā)生器、預(yù)測控制器、執(zhí)行器和量化器。被控對象為離散時間線性時不變系統(tǒng)，如式(1)所示。

(1)

其中:x(k)∈n和u(k)∈m分別為系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入;A和B是已知的系統(tǒng)矩陣。傳感器和控制器、控制器和執(zhí)行器之間分別通過網(wǎng)絡(luò)連接,并且,所有數(shù)據(jù)在通過網(wǎng)絡(luò)傳輸之前需要被量化。

圖1　帶有量化的事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

(2)

量化等級集合定義為

對于系統(tǒng)(1)中的x(k)∈n,量化的狀態(tài)信息可以描述為

利用文獻[7]中的扇形界方法,可以把上式寫成

(3)

其中,

(4)

τfl表示第l個通道的量化器對應(yīng)的量化密度,εl(k)代表不確定性。

根據(jù)式(4),Λf(k)可以表示為

(5)

(6)

本文的主要目標是在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中存在量化的情況下,設(shè)計基于事件觸發(fā)的預(yù)測控制器來減少網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中通信資源的消耗,同時保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2事件觸發(fā)預(yù)測控制

2.1事件觸發(fā)機制

事件發(fā)生器位于傳感器和量化器f之間(如圖1所示),它會根據(jù)事先設(shè)定的事件觸發(fā)條件來決定當前的狀態(tài)信息x(k)是否被傳送到量化器f。如果事件觸發(fā)條件滿足,那么當前時刻的狀態(tài)就被傳送到量化器f,否則不傳送?？紤]如下形式的事件觸發(fā)條件:

(9)

其中:x(k)和x(ki)分別表示當前時刻的狀態(tài)信息和上一個事件觸發(fā)時刻的狀態(tài)信息;μ∈(0,1)是給定的參數(shù);Φ是一個正定對稱矩陣。當滿足事件觸發(fā)條件式(9)時,x(k)被傳送到量化器f,此時,記ki+1=k。

狀態(tài)信息被傳送的時刻記為ki,i=0,1,…,即事件觸發(fā)時刻。假設(shè)第1個事件發(fā)生在k0=0時刻。由事件觸發(fā)條件式(9)可知,只有部分狀態(tài)信息需要被傳送。該傳輸機制減少了網(wǎng)絡(luò)中的信息傳輸量,節(jié)省了網(wǎng)絡(luò)通信資源。特別地,當事件觸發(fā)條件中的參數(shù)μ=0時,事件觸發(fā)機制退化為傳統(tǒng)的時間觸發(fā)機制。

(10)

其中F為預(yù)測控制反饋增益矩陣。在(ki,ki+1)之間,控制律表達式為

(11)

由以上分析可得帶有量化的事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型如下:

(12)

2.2預(yù)測控制律的計算

在事件觸發(fā)時刻ki,考慮如下形式的預(yù)測控制性能指標:

(13)

(14)

根據(jù)模型(1),系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)測方程描述為

(15)

其中

進一步,性能指標式(13)可以寫成如下形式:

(16)

MPC優(yōu)化問題可以描述為

(17)

使得式(14)、式(15)成立。結(jié)合狀態(tài)預(yù)測模型式(15),通過極值必要條件?J(ki)/?U(ki)=0,可求出最優(yōu)解的解析表達式：

(18)

由此可求出即時控制律

(19)

其中,反饋增益

(20)

本文基于事件觸發(fā)的預(yù)測控制方法,只有在事件觸發(fā)時刻才求解MPC優(yōu)化問題得到新的控制律，所以,這種方法減少了控制器的計算量,降低了系統(tǒng)的計算負擔。

2.3穩(wěn)定性分析

本節(jié)將設(shè)計事件觸發(fā)條件式(9)中的參數(shù)Φ,使得閉環(huán)系統(tǒng)式(12)在事件觸發(fā)條件式(9)下是漸近穩(wěn)定的。

定理1考慮本文中提出的帶有量化的事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),對于給定的系統(tǒng)參數(shù)A和B、常值參數(shù)μ∈(0,1)和預(yù)測控制反饋增益F,如果存在合適維數(shù)的對稱正定矩陣P>0和Φ>0,使得下面的線性矩陣不等式成立。

(21)

那么基于事件觸發(fā)條件(式(9))的閉環(huán)系統(tǒng)(式(12))是漸近穩(wěn)定的。

證明首先在兩個事件觸發(fā)時刻之間定義一個狀態(tài)測量差值

(22)

那么閉環(huán)系統(tǒng)(式(12))可重新描述為

(23)

由事件觸發(fā)條件(式(9))可知,當k∈[ki,ki+1)時,沒有事件發(fā)生,即沒有狀態(tài)信息被傳送到量化器f,所以有式(24)成立。

(24)

選取如下Lyapunov 函數(shù)

V(k)=x(k)TPx(k)

其中P是一個對稱正定矩陣。當k∈[ki,ki+1)時,根據(jù)式(23)計算Lyapunov函數(shù)的差值。由式(24)可得

x(k+1)TPx(k+1)-x(k)TPx(k)≤

x(k+1)TPx(k+1)-x(k)TPx(k)-

其中

Ω可以分解為

利用Schur補可得,Ω<0等價于

(25)

由于Λg(ki)∈Ωg,Λf(ki)∈Ωf,因此LMIs(式 (21))成立可保證式(25)成立。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,可得閉環(huán)系統(tǒng)(式(12))在事件觸發(fā)條件(式(9))下漸近穩(wěn)定。證畢。

帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測控制具體算法步驟如下:

離線計算:

(1)給定x(k0)=x(0),Np,Nu,Q和R,根據(jù)式(20)得到預(yù)測控制增益矩陣F。

(2)給定μ,ρf,ρg和ξ0,求解LMIs(式(21)),得到事件觸發(fā)條件(式(9))中的參數(shù)Φ。

在線計算:

(1)在每個采樣時刻k,測量當前狀態(tài)x(k),判斷事件觸發(fā)條件是否成立。如果成立,轉(zhuǎn)到步驟(2),如果不成立,轉(zhuǎn)到步驟(3)。

(3)將u(k)=u(ki)作用到系統(tǒng)上,令k=k+1,重復(fù)步驟(1)。

3仿真實驗

本文采用文獻[14]中小車倒立擺的例子來說明本文給出的帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測控制方法的有效性。其中系統(tǒng)參數(shù)取值如下:

初始狀態(tài)為x0=[0.05-0.100.02]T,預(yù)測控制中的權(quán)矩陣Q=4×I4×4,R=0.01,預(yù)測時域Np=5,控制時域Nu=3。對數(shù)量化器中的參數(shù)ρf=ρg=0.8,ξ0=0.1,則τf=τg=0.111 1,凸多面體的兩個頂點分別為Λf1=1+τf=1.111 1,Λf2=1-τf=0.888 9,Λg1=1+τg=1.111 1,Λg2=1-τg=0.888 9。事件觸發(fā)條件參數(shù)μ=0.2。預(yù)測控制反饋增益為

F=[-4.361 7 -14.395 2 10.188 2 0.581 1]

通過求解LMIs(式(21)),可以得到事件觸發(fā)條件中的參數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和控制信號如圖2和圖3所示,從圖中可以看出本文方法能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖4給出了事件觸發(fā)時刻,其中,幅值為1的時刻代表事件觸發(fā)時刻,幅值為0的時刻代表事件不觸發(fā)時刻。從圖4可以看出,在事件觸發(fā)條件的作用下,70個時刻中只有19個事件觸發(fā)時刻,即只有27.14%的狀態(tài)信息需要被傳送。圖5給出了帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測控制與相同條件下的時間觸發(fā)預(yù)測控制的性能比較圖,從圖中可以看出,時間觸發(fā)與事件觸發(fā)兩者的性能相差不大。所以,在保證性能的前提下,本文帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測控制方法明顯降低了網(wǎng)絡(luò)中的信息通信量,從而減少了通信資源的浪費。

圖2　系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

圖3　控制信號

為了進一步驗證本文帶有量化的事件觸發(fā)預(yù)測控制算法的有效性,將本文方法與文獻[8-9]中僅考慮量化(沒有丟包)情況下的時間觸發(fā)預(yù)測控制算法進行了比較,仿真結(jié)果如圖6所示。可以看到,本文提出的基于事件觸發(fā)的預(yù)測控制策略可以達到與文獻[8-9]方法相近的控制效果,但卻減少了計算量和通信資源。

圖4　事件觸發(fā)時刻

圖5　事件觸發(fā)預(yù)測控制與時間觸發(fā)預(yù)測控制性能指標對比圖

為了說明事件觸發(fā)條件對本文方法的影響,在其他條件保持不變的情況下,分別選取μ=0.2和μ=0.8,其事件觸發(fā)時刻對比圖如圖7所示,其中幅值為1和0的時刻分別代表μ=0.2時的事件觸發(fā)時刻和事件不觸發(fā)時刻；幅值為0.8和0.2的時刻分別代表μ=0.8時的事件觸發(fā)時刻和事件不觸發(fā)時刻。當μ=0.2時,有27.14%的狀態(tài)信息需要被傳送到控制器;當μ=0.8時,只有15.71%的狀態(tài)信息需要被傳送到控制器。參數(shù)μ的變化會影響事件觸發(fā)的次數(shù)。

圖6　本文事件觸發(fā)預(yù)測控制與文獻[8-9]僅考慮量化(沒有丟包)情況下的時間觸發(fā)預(yù)測控制性能指標對比圖

圖7　事件觸發(fā)時刻對比圖

4結(jié)論

本文針對帶有量化信號的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),提出了基于事件觸發(fā)的預(yù)測控制方法,并給出了保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。該方法減少了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)信息通信量,同時有效降低了控制器的在線計算量。在今后的工作中,我們將繼續(xù)考慮系統(tǒng)中存在外界擾動的情況。

參考文獻：

[1]GUPTA R,CHOW M.Networked control system:Overview and research trends[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2010,57(7):2527-2535.

[2]HESPANHA J,NAGHSHTABRIZI P,XU Yonggang.A survey of recent results in networked control systems[J].Proceedings of the IEEE,2007,95(1):138-162.

[3]游科友,謝立華.網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的最新研究綜述[J].自動化學(xué)報,2013,39(2):101-118.

[4]邢江,關(guān)治洪.網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀與展望[J].控制工程,2006,13(4):294-297.

[5]ZHANG Lixian,GAO Huijun,KAYNAK O.Network-induced constraints in networked control systems:A survey[J].IEEE Transactions on Industrial Informatics,2013,9(1):403-416.

[6]ELIA N,MITTER S.Stabilization of linear systems with limited information[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2001,46(9):1384-1400.

[7]FU Minyue,XIE Lihua.The sector bound approach to quantized feedback control[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2006,50(11):1698-1711.

[8]ZOU Yuanyuan,LAM JAMES,NIU Yugang,etal.Constrained predictive control synthesis for quantized systems with Markovian data loss[J].Automatica,2015,55(1):217-225.

[9]TANG Xiaoming,DING Baocang.Model predictive control of linear systems over networks with data quantization and packet losses[J].Automatica,2013,49(5):1333-1339.

[10]?STR?M K,BERNHARDSSON B.Comparison of periodic and event based sampling for first order stochastic systems[C]//Proceedings of the 14th IFAC World Congress.Berlin Heidelberg:Springer,1999,301-306.

[11]PENG Chen,YANG Taicheng.Event-triggered communication andHcontrol co-design for networked control systems[J].Automatica,2013,49(5):1326-1332.

[12]QU Fenglin,GUAN Zhihong,HE Dingxin,etal.Event-triggered control for networked control systems with quantization and packet losses[J].Journal of the Franklin Institute,2015,352(3):974-986.

[13]LIU Guoping.Predictive controller design of networked systems with communication delays and data loss[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems,Ⅱ:Express Briefs,2010,57(6):481-485.

[14]ZOU Yuanyuan,CHEN Tongwen,LI Shaoyuan.Network-based predictive control of multirate systems[J].IET Control Theory and Applications,2010,4(7):1145-1156.

[15]朱宇蒙,李少遠.網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的預(yù)測控制方法設(shè)計[J].控制工程,2013,20(3):426-430.

[16]LEHMANN D,HENRIKSSON E,JOHANSSON K H.Event-triggered model predictive control of discrete-time linear systems subject to disturbances[C]//European Control Conference.Zurich:IEEE,2013:1156-1161.

[17]YIN Xiuxia,DONG Yue,HU Songlin.Model-based event-triggered predictive control for networked systems with communication delays compensation[J].International Journal of Robust and Nonlinear Control,2015,25(18):3572-3595.

Event-Triggered Model Predictive Control with Quantizations

WANG Quan,ZOU Yuan-yuan,NIU Yu-gang

(Key Laboratory of Advanced Control and Optimization for Chemical Processes,Ministry of Education,East China University of Science and Technology,Shanghai 200237,China)

Abstract:This paper investigates the design problem of the event-triggered model predictive control for networked control system (NCS),in which the signals will be quantized when transmitted from the sensor to controller and controller to actuator.The networked model with event generator is established and the event-triggered scheme is designed.And then,a model predictive control method is presented.The stability condition for closed-loop system is derived.Finally,a numerical simulation is given to illustrate the effectiveness of the proposed scheme.

Key words:networked control system; quantization; predictive control; event-triggered

收稿日期：2015-06-05

基金項目：國家自然科學(xué)基金(61273073,61374107);上海市優(yōu)秀技術(shù)帶頭人(14XD1420900);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金

作者簡介：王權(quán)(1990-),女,山東榮成人,碩士生,研究方向為事件觸發(fā)預(yù)測控制。E-mail:quanwang2014@gmail.com 通信聯(lián)系人：鄒媛媛,E-mail:yyzou@ecust.edu.cn

文章編號：1006-3080(2016)02-0240-07

DOI:10.14135/j.cnki.1006-3080.2016.02.014

中圖分類號：TP273

文獻標志碼：A