應用型本科線性代數教學模式的探索與實踐
——MATLAB在解方程組中的應用

孫　健，王翠芳（天津中德應用技術大學基礎課部，天津300350）

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應用型本科線性代數教學模式的探索與實踐
——MATLAB在解方程組中的應用

孫健，王翠芳
（天津中德應用技術大學基礎課部，天津300350）

摘要：結合應用型本科教學的特點，嘗試將MATLAB軟件引入到線性代數課程方程組求解的教學中，激發學生學習熱情，提高學生參與度，達到學有所用，學以致用的目的。

關鍵詞：應用型本科；MATLAB；線性代數；方程組的解

此文為天津中德技術學院（原）2015校級教學改革與建設項目“線性代數精品課程建設的研究與實踐”（ZDJY2015-20）和天津中德職業技術學院（原）2015校級項目“應用型本科院校線性代數課程建設探索”（zdkt2015-019）的研究成果。

2014年教育部頒布了關于地方本科高校轉型發展的指導意見（征求意見稿），標志著中國部分本科高校向應用型本科院校轉型的開始，隨著示范點的不斷增多，作為工程學的核心數學課程線性代數也面臨著教學的調整和改革，改革的方式一般是加入更多的教學輔助工具，思路通常是將數學實驗引入線性代數課程的教學過程，再結合一些數學軟件的使用，讓學生在學習理論知識的同時，掌握一門實用工具，進而體現出應用型本科院校本科生以“應用為驅動，學生為主導”的特點。

在眾多的數學教學軟件中，MATLAB以其理論簡單、方便實用、易于編程等特點受到廣大師生的推崇，特別是近些年來隨著全國大學生數學建模的飛速發展，更是將MATLAB學習熱情推向了高潮。因此將MATLAB引入線性代數的教學中已經成為應用型本高校線性代數教學課程改革的一種趨勢，既能加深學生對理論知識的理解，又突出該學科與數學建模、微分方程、數值優化等課程的聯系，提高學生的參與度，激發學習的熱情，達到“學有所用，學以致用”的教學理念。

一、軟件的相關命令

表1　常用的軟件命令表

二、MATLAB軟件在方程組求解中的應用

（一）MTALAB在齊次方程組求解的應用

解:在MTALAB命令窗口輸入程序:

A=［1 -1 0 2 -2；1 0 1 2 0；1 1 -1 1 -1；1 2 0 0 -2］；

r=rank（A），%求系數矩陣的秩

y=null（A，1r1）%求齊次方程組的基礎解系

output:r=4，y=（6 -2 0 -3 1）T

結果分析:（1）系數矩陣的秩rank（A）=4＜5（未知數的個數），說明該齊次方程組有非零解，并且基礎解系中有一個列向量；（2）通過null（A，'r'）命令得到了該齊次方程組的一個基礎解系。

（二）MTALAB在解非齊次方程組的應用

1.非齊次線性方程組解的存在性定理（1）:若系數矩陣的秩rank（A）≠增廣矩陣的秩rank（B），則該方程組無解。

在MATLAB命令窗口運行以下命令:

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；2 1 -4 2］；%系數矩陣

b=［1；2；-1；0］；%常數列向量

B=［A b］；%增廣矩陣

rank（A），rank（B）%系數矩陣的秩、增廣矩陣的秩

x0=A%求該方程組的一個特解

output:rank（A）=3，rank（B）=4，Warning: Matrix is sin gular to working precision

x0=（NaN Inf Inf Inf）T。

結果分析:rank（A）≠rank（B），故該非齊次線性方程組無解。

2.非齊次線性方程組解的存在性定理（2）:若系數矩陣的秩rank（A）=增廣矩陣的秩rank（B）=未知數個數，則該方程組有唯一解。

借助MATLAB軟件求解，具體程序如下:

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；1 1 -2 -2］；b=［1；2；-1；0］；B=［A b］；rank（A），rank（B）

oupput:rank（A）=4，rank（B）=4

結果分析:由于rank（A）=rank（B）=4（未知數個數），因此說明該方程組有唯一解，下面分別利用兩種方法對該方程組進行求解。

方法1:應用Cramer法則結合命令求解，具體程序:

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；1 1 -2 -2］；b=［1；2；-1；0］；

x1=det（［bA（:，2）（:，3）A（:，4）］/det（A），

x2=det（［A（:，1）bA（:，3）A（:，4）］）/det（A）

x3=det（［A（:，1）A（:，2）bA（:，4）］）/det（A），

x4=det（［A（:，1）A（:，2）A（:，3）b］）/det（A）

output:x1=2 x2=8 x3=3 x4=2

方法2:應用求逆矩陣命令inv（A）求解（X=inv （A）·b）。

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；1 1 -2 -2］；b=［1；2；-1；0］；X=inv（A）·b

方法3:運用左除運算符“”求解.

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；1 1 -2 -2］；b=［1；2；-1；0］；X=A

3.非齊次線性方程組解的存在性定理（3）:若系數矩陣的秩rank（A）=增廣矩陣的秩rank（B）＜未知數個數，則該方程組有無窮多解。

輸入MATLAB命令:

A=［2 -1 -1 1；1 2 -1 -1；5 5 -4 -2；0 5 -1 -3］；b=［1；1；4；1］；B=［A b］；rank（A），rank（B）

output:rank（A）=2，rank（B）=2

從運行結果分析可知，rank（A）=rank（B）=2＜4（未知數個數），說明該線性方程組有無窮多解，下面介紹兩種方法求解該線性方程組。

方法1:調用rref命令將增廣矩陣化為行最簡形求解，程序如下:

A=［2 -1 -1 1；1 2 -1 -1；5 5 -4 -2；0 5 -1 -3］；b=［1；1；4；1］；B=［A b］；C=rref（B）

從運行結果可知，原方程組的等價形式為

通過求解可知該方程組的通解為

方法2:根據非齊次線性方程組解的結構，先運用左除運算符“”求出原方程組的一個特解，再調用null（A，'r'）命令求解對應的齊次方程組的基礎解系，最終得到原方程組的通解，具體命令:

故，該方程組的通解為

通過將MTALAB軟件引入到方程組求解的教學中，一方面可以幫助學生加深對知識的理解；另一方面，改變了傳統的教學方式，讓學生更多參與實際教學，調動學生學習的積極性和興趣，讓學生在學習理論知識的同時了解MTALAB軟件，并能運用MTALAB解決方程組求解問題，進而達到學有所用，學以致用的目的，體現應用型本科“應用為驅動，學生為主導”的特點。

參考文獻：

［1］吳贛昌.線性代數（理工類第四版）［M］.北京：中國人民大學出版社，2011.

［2］陳懷琛，龔杰明.線性代數實踐及MATALB（理工類第四版）［M］.北京：中國人民大學出版社，2015.

［3］陳永勝，劉洋萍.基于MATLAB求解非齊次線性方程組［J］.赤峰學院學報（自然科學版），2009（10）：1-2.

［4］歐陽異能，楊婷. MATLAB在線性代數課程中的應用［J］.數學學習與研究，2014（10）：113-114.

編輯朱榮華

Exploration and Implementation on Teaching Mode of Linear Algebra on Application-oriented Undergraduate

SUN Jian，WANG Cui-fang
（Department of basic courses，Tianjin Sino-German University of Applied Sciences，Tianjin 300350，China）

Abstract：In this paper，we attempt to introduce MATLAB in Linear algebra of the solution of equations with the characteristics of application-oriented undergraduate in order to stimulate student' learning enthusiasm，improve student' participation，Skills to use and learn in order to practice.

Key words:application-oriented undergraduate education；MATLAB；Linear algebra；solution of equations

中圖分類號：G642

文獻標識碼：A

文章編號：2095-8528（2016）03-019-03

收稿日期：2015-11-16

作者簡介：孫健（1983），男，天津市人，講師，碩士，研究方向為偏微分方程、數學教學；王翠芳（1981），女，天津市人，副教授，碩士，研究方向為數學建模、數學教學。