基于多元t-copula模型的未決賠款準備金

胡曉偉，　劉　燕

(鄭州大學 數學與統計學院　河南 鄭州 450001)

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基于多元t-copula模型的未決賠款準備金

胡曉偉，劉燕

(鄭州大學 數學與統計學院河南 鄭州 450001)

摘要：在非壽險精算領域中，單業務準備金的估計是研究的重點，而在非壽險公司對所有業務的總準備金水平進行評估時，不同業務之間存在著一定的相關性，將單業務的準備金進行簡單的相加得到的總準備金往往大于實際理賠金額.因此，利用多元t-copula模型，從理論到實際數據等方面研究不同業務間的相關性，從而得出準備金的估計值，并通過風險邊際的下降來說明在總準備金的估計中研究不同業務間的相關問題的必要性.

關鍵詞：多元未決賠款準備金； t-copula模型； 相關性； 風險價值度

0引言

準備金的計提和管理是保險公司風險管理中非常重要的部分.非壽險公司的不同業務之間既非完全獨立也非完全相關，將單業務的準備金進行簡單的相加得到的總準備金往往會大于實際理賠金額.文獻[1]指出，當各業務的理賠變量之間存在相關性時，對總的理賠變量的均方誤差的估計也會更加復雜.因此，人們開始著重于研究多元未決賠款準備金.一種思路是將一元鏈梯法擴展到多元的情況[2]，文獻[3]在多元線性模型的基礎上提出多元加法準備金模型，文獻[4]給出其均方誤差的計算.另一種研究思路是利用copula連接函數，將關于單個業務的賠款變量的一維模型作為邊緣分布，再通過copula函數建立一個關于多業務賠款變量的多維聯合分布模型，從而考察總的業務組合的未決賠款準備金問題.文獻[5]利用正態copula在邊緣分布是正態分布的假設下,研究了多個流量三角形之間的相關結構，并對總的準備金預測值進行了隨機模擬.文獻[6]利用t-copula研究了多個保險業務的總賠款之間的相關性，通過模擬的方法從理論上驗證了多業務的賠款之間存在相關性會對總賠款額的風險價值產生影響.文獻[7]從理論上研究了基于a-stable分布的copula方法及其在CDO定價中的應用.文獻[8]用“D藤copula”來描述相關性關系的GAMLSS模型以及準備金的評估，同時還刻畫了不同業務線之間的尾部相依性.文獻[9]基于Copula-Kernel模型研究了保險公司的綜合風險經濟資本度量與配置.

本文利用文獻[5]中多元正態copula模型的研究方法，同時為了更好地復合市場的“尖峰、厚尾”的特性，提出多元t-copula模型，利用不同業務的損失流量三角形，從理論和實際數據等方面研究不同業務間的相關性，并且計算出準備金的估計值，通過變異系數的大小可以判斷出模型的穩定性，以及通過風險邊際的下降來說明在總準備金的估計中研究不同業務間的相關性的必要性.

1copula模型

增量賠款的流量三角形的觀測數據是按照歷年t=i+j-1(t=1,2,…,n)的順序發生的，可獲得第m個子業務的流量三角形的增量賠款觀測值Dm={xmij,1≤t≤n,t=i+j-1}，即流量三角形上三角數據，而未測增量賠款集合為(Dm)C={xmij,n+1≤t≤2n-1,t=i+j-1}，即流量三角形下三角數據，如表1.

表1　第m個子業務的流量三角形

利用copula理論構建多元未決賠款準備金模型，需要考慮兩個因素，邊際分布和copula函數形式.

首先，假定第m個子業務的邊際分布函數為Fm，則Fm(xmij)=ymij，m=1,2,…,M，ymij是流量三角形元素xmij的邊際分布函數值.

其次，需要利用copula函數C來構造M個業務的增量賠款X=(X1,X2,…,XM)的聯合分布，記為FX，即

FX(X1,X2,…,XM)=C(F1(X1),F2(X2),…,FM(XM))=C(Y1,Y2,…,YM),

其中：Xm=(xmij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,n);Ym=(ymij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,n).

2多元t-copula

2.1模型構造

對增量賠款xmij構造一個多元t-copula模型，即

(1)

其中:tp(·)是自由度為p的學生t分布函數，Σ是M×M維協方差矩陣，它的主對角線元素為1;tp,Σ表示自由度為p的多元t分布的聯合分布函數.

(2)

其中“°”表示函數的復合運算.

通過(2)式的變換，可以將增量賠款的觀測數據Xm一一對應的變換為服從t分布的變量Zm，將變換出的流量三角形的數據中的各個元素按照其對應的事故年i和進展年j記為zmij.

2.2因子分析

利用因子分析的思想，對變換后的變量zmij進行因子分析[10]，即

(3)

(4)

第m個流量三角形在同一個日歷年t=i+j-1有共同因子βmt，它是由自由度p和不同的流量三角形的相關系數矩陣Σ決定的，而εmij是獨立同分布的標準正態分布的隨機變量，且各εmij與βmt互相獨立，即

ε={εmij,m=1,2,…,M;i=1,2,…,n;j=1,2,…,n}～N(0,It).

其中It表示單位矩陣.

那么Kronecker乘積P?Q是一個mg×nf的矩陣，具體表示為

故向量Zt是服從均值為0、協方差矩陣如下的多元t分布：

(5)

2.3模型估計

對于基于copula的多元準備金的隨機模型，一般采用兩階段極大似然估計法.

第一步，利用常規的參數估計的方法估計邊際分布的參數，如矩估計法和極大似然估計法，利用相關軟件可以直接對邊際分布模型進行擬合.

(6)

第二步，利用選擇的copula函數，估計copula模型的有關參數，如公因子權重am，特殊因子權重bm，共同因子βmt以及相關系數矩陣Σ.

對式(3)兩邊求均值，有

(7)

用式(3)減去式(7)，得

即

由此可以推出因子權重的估計量分別為:

進而得出

2.4準備金預測

第m個子業務的流量三角形在日歷年t=n+1,n+2,…,2n-1的預期損失模型為:

Fm(xmt)=tp(am1tβmt+bmεmt), βt～N(0,∑), εmt～N(0,It),

其中:t=i+j-1；i=1,2,…,n;j=1,2,…,n；xmt, εmt元素分別為xmij,εmij的2n-t維向量；1t是所有元素均為1的2n-t維向量；It是(2n-t)×(2n-t)維單位矩陣.

(8)

由此可以計算保險業務m的未來預期總的未決賠款及公司全部M個業務的總的未決賠款準備金，其分別為：

利用多次隨機模擬的結果，就可以得出各業務以及公司整體的未決賠款準備金的分布情況.

2.5模型評價

由隨機變量分布特點可知，如果只考慮保險公司準備金總量的期望值，可以直接將各業務的準備金的期望值直接相加，而準備金總量的方差，就必須要考慮各業務之間的協方差,

Var(X)=Var(X1)+Var(X2)+Var(X3)+2cov(X1,X2)+2cov(X1,X3)+2cov(X2,X3).

如果要考慮準備金總量的風險度量值，就不能將各業務準備金的風險度量值簡單直接相加，各業務之間存在相關性，和的風險度量與各風險度量的和并不相等，并且還會存在較大的差異.常用的風險度量的方法有很多，如風險價值度、條件風險價值度、期望損失、條件尾部期望等，在本文將采用風險價值度度量方法.

風險價值度用VaR表示，在一段時間內，有u的把握，損失量不會大于V.u即為置信水平，V就是風險價值度VaR.即對于風險變量X，給定置信水平u∈(0,1)，則相應的風險價值度為

其中FX表示X的累積分布函數，VaR就是風險變量X在概率值為u點上的分位數.

用M(X)表示X的風險邊際

M(X)=VaR[X,u]-E[X],

根據文獻[11]對風險厭惡函數和風險價值度量方法的研究，基于VaR計算的風險邊際M可以表示為：

M(X)=cov{X,φ°F(X)}=σXσφρX,ρX=cor{X,φ°F(X)},φ(v)=I{v=u},

其中：I{·}表示0-1示性函數，σX,σφ分別表示X和φ°F(X)的標準差，ρX表示它們的相關系數.

3實例分析

3.1實際數據

本文研究使用的數據是文獻[12]中我國某財產保險公司2010年起10個季度的增量賠款數據，數據包含3個保險產品的流量三角形，即M=3.這3種保險業務分別是機動車輛保險、企業財產保險和責任保險，其中機動車輛保險屬于長尾業務，企業財產保險和責任保險都屬于短尾業務.表2是對本文數據結構的直觀展示，單位為元，表2中每個元素對應一個保險業務m在給定事故年i和進展年j的增量賠款額，每個事故年的3行元素對應的保險業務分別為：機動車輛保險、企業財產保險、責任保險.例如，表2內25 644表示機動車輛保險在第一事故年、進展年為1中的增量賠款，951 988表示企業財產保險在第一事故年、進展年為1中的增量賠款，45 263表示責任保險在第一事故年、進展年為1中的增量賠款.

本文分析和處理數據所用的軟件為R和Excel.

表2　3個保險業務的增量賠款

3.2擬合邊緣分布

分別畫出3個保險業務的增量賠款額的直方圖，結果如圖1所示：

從圖1中可以看出，增量賠款的直方圖與正態分布相差很遠，假定對其所有數據求對數，可以看出其直方圖近似服從正態分布，所以假設邊際分布服從對數正態分布.為了避免待估參數過多造成過擬合，對增量賠款的均值只考慮列效應，即進展年j的效應.

建立對數正態模型，即

對參數μmj、σmj的估計結果如表3所示.

圖1　3個保險業務的增量賠款額及其對數

保險業務m進展年j1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 μ^110.5311.3011.2110.8310.849.909.469.107.869.60μ^214.2613.0711.3510.8510.209.938.618.116.864.61μ^310.7611.4911.2811.1011.3010.6710.2110.229.499.94σ^10.630.420.90.490.370.370.350.060.620σ^20.320.130.310.410.470.331.001.500.970σ^30.050.360.630.630.340.190.090.100.550

3.3模型的估計與預測

表4　3個保險業務的t分布的偽樣本

由因子權重和公因子的估計式：

表5　因子權重估計結果

從表5可以看出共同度am最大的業務是責任保險，特殊方差bm最大的業務是機動車輛保險.

從表7可以看到，各業務之間都有一定的正相關或負相關性，說明將各業務的準備金的方差和風險邊際進行簡單的相加勢必會對總的結果造成低估或高估.所以，考慮業務間的相關性是十分必要的.

表6　公因子的估計結果

表7　多元t-copula模型的相關系數矩陣

利用未決賠款準備金的預測和評估方法，以及xmt的模擬值：

可以得到準備金的期望、方差和風險邊際，模擬次數為10 000次，如表8.

表8　未決賠款準備金的預測

4結束語

在評估非壽險保險公司整體業務的準備金總量水平時，需要考慮各業務間的相關性，利用copula連接函數，將關于單個業務的賠款變量的一維模型作為邊緣分布，通過copula函數建立一個關于多業務賠款變量的多維聯合分布模型.

在文中，利用文獻[5]中多元正態copula模型的研究方法，建立了多元t-copula模型，利用因子分析以及求均值的方法對所有參數進行了估計，計算出各業務間的相關系數矩陣，再利用多次隨機模擬的結果，得出各業務以及公司整體的未決準備金的分布情況.通過變異系數的大小判斷出多元t-copula模型比較穩定，并且使用風險邊際的下降比例說明在總準備金的估計中研究不同業務間的相關問題的必要性.

文中的不足之處就是t分布只有一個參數自由度p，可能在一些情況下對多變的市場情況模擬效果不理想，可以選擇更加復雜的混合分布，來符合金融市場的“尖峰、厚尾、偏斜”的特性，例如在金融市場經常用到的雙t因子copula模型、穩定因子copula模型、混合copula模型等.

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(責任編輯：方惠敏)

The Reserving for Outstanding Losses Based on Multivariatet-copula Model

HU Xiaowei,LIU Yan

(DepartmentofMathematicsandStatistics,Zhengzhouuniversity,Zhengzhou450001,China)

Abstract:In the non-life insurance actuarial field, people focus on the study of the single business reserve estimates rather than on the evaluation total reserve of all the business’s level.There is a certain relationship among different business. simple summing reserves of all single businesses The total reserves by greater than the actual amount of claims tended to be.The tolal reserves estimates were drawn after using multivariate t-copulas model in exploring the correlation among different types of businesses.The finding of the deline of marginal risk showed that,it was necessary to explore the correlation among different types of businesses in the study of total reserve estimates.

Key words:multivariate reserving for outstanding losses；t-copula model；correlation；VaR

收稿日期:2015-09-24

基金項目:國家自然科學基金資助項目(10901143)．

作者簡介:胡曉偉(1991—)，女，河南南陽人，碩士研究生，主要從事金融工程與保險精算研究，E-mail:1051162848@qq.com；通訊作者：劉燕(1978—)，女，河南開封人，副教授，博士，主要從事金融工程與保險精算研究，E-mail:liuyan@zzu.edu.cn．

中圖分類號：F840

文獻標志碼：A

文章編號：1671-6841(2016)01-0001-09

DOI:10.3969/j.issn.1671-6841.201509027

引用本文：胡曉偉，劉燕.基于多元t-copula模型的未決賠款準備金[J].鄭州大學學報(理學版),2016,48(1):1—9.