接觸式掃描過程中探針
—樣品赫茲耦合的建模與分析*

陳　偉， 許　斌， 趙世平

(四川大學 制造科學與工程學院，四川 成都 610065)

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接觸式掃描過程中探針
—樣品赫茲耦合的建模與分析*

陳偉， 許斌， 趙世平

(四川大學 制造科學與工程學院，四川 成都 610065)

摘要:隨著微器件測量系統(tǒng)中微測頭尺寸不斷減小和測量精度不斷提高，微納測量中測頭—樣品間的形變誤差對系統(tǒng)不確定度的影響是不能忽略的。為了研究二者間的相互作用和形變問題，根據(jù)材料應力—應變屬性和赫茲理論，建立了微測球與樣品的接觸模型，并以玻璃測頭和光學器件為分析對象，探討了測量力、測球半徑、樣品曲率半徑以及不同材質(zhì)樣品等對形變、形變區(qū)域半寬長度及最大赫茲應力的影響。結(jié)果表明：測球半徑與樣品曲率半徑的作用機理相似，而且相較于探針測球半徑因素，測量力和被測樣品不同曲率半徑因素對探針—樣品間形變的影響更為顯著。

關(guān)鍵詞：接觸式掃描; 赫茲理論; 測量力; 測球半徑; 測量誤差

0引言

隨著精密微細加工技術(shù)和先進制造業(yè)的快速發(fā)展，各種復雜新型微結(jié)構(gòu)不斷出現(xiàn)，微結(jié)構(gòu)表面形貌接觸式測量以觸針式測量最為常見[1,2]。對于接觸式位移傳感器，探頭與樣品間的赫茲耦合和形變將直接影響測量結(jié)果的不確定度，二者耦合作用越強，形變就越大，測量精度越低。影響耦合和形變的因素主要有測量力、探頭半徑、樣品曲率半徑和樣品的彈性模量。Yan Wenyi[3,4]研究了測球—樣品間的相互作用，并通過仿真探究了形變與最大應力的關(guān)系。Jin Fan[5]，Terekhina S[6]，Palade A C[7]通過球面模型研究了形變量、半寬長度、測量力間的相互關(guān)系及接觸區(qū)域赫茲應力的分布。傳感器測量力往往是通過測量結(jié)果與標準樣品的比對或借助力傳感器進行標定，而并未從測球—樣品形變導致測量差角度來進行研究[8]。李志渤、黃強先等人[9]針對三坐標測量機(coordinate measurement machine,CMM)測頭問題，研究了不同材質(zhì)測球?qū)Σ煌瑯悠匪璧淖畲鬁y量力，在測力為10 mN時計算了測球—樣品的形變量，但CMM的測頭直徑通常為mm級，這并不適用于復雜微結(jié)構(gòu)測量。楊盛福等人[10]通仿真驗證了ANSYS仿真解和赫茲解的一致性，馮劍軍等人[11]研究了圓柱—平面間的滑動接觸，仿真中加入摩擦因素，研究了赫茲應力在接觸面上的分布。

本文基于材料的應力—應變屬性和經(jīng)典赫茲接觸理論，分析了測頭—樣品間的相互作用，建立了相應數(shù)學模型，并以玻璃測頭和玻璃光學樣品器件為分析對象，探討了測量力、測球半徑、樣品曲率半徑以及不同材質(zhì)的被測樣品等因素對探針—樣品間的形變、形變區(qū)域半寬長度及最大赫茲應力的影響。

1測頭—樣品間的赫茲耦合模型

每一種材料都有其固有的應力—應變曲線如圖1所示，橫坐標ε為應變量，縱坐標σ為應力值，這是材料的固有屬性，由材料自身性質(zhì)決定[12]。在彈性形變階段應力—應變近似線性關(guān)系,即σ=Eε，式中E為材料彈性模量。當應力超過E's點(彈性極限點)，應力—應變呈非線性關(guān)系，材料發(fā)生塑性形變。接觸式測量過程當測量力小于彈性極限σe，材料發(fā)生彈性形變，當測量力大于σe，材料發(fā)生塑性形變即為有損測量。為了保證整個測量過程中實現(xiàn)無損檢測，通常要求最大測量力應小于σe。

圖1　材料的應力—應變特征曲線[12]Fig 1　Stress-strain characteristic curve of materials[12]

由于加工技術(shù)和加工方法的缺陷，加工工件表面通常存在著隨機分布且大小不等的凸峰和凹谷(以凸峰為主)[13]。形貌測量過程中測頭先與微凸峰相接觸，如圖2(a)所示。測頭—樣品間的接觸就是微凸峰間的接觸，測頭—樣品間的相互作用就是微凸峰間的相互作用。被測樣品表面粗糙度的形狀通常是橢圓體，因其接觸區(qū)域尺寸遠小于探頭和被測工件本身的曲率半徑，因此粗糙度可以近似為球體[14]。因此，“測頭—樣品”的接觸問題可以視為一系列高低不齊的“球體—球體”接觸，具體接觸模型如圖2(b)和圖2(c)所示。

圖2　測球—樣品凸峰接觸時的形變示意圖[14]Fig 2　Deformation diagram of peak contact of probe-sample[14]

由經(jīng)典赫茲接觸理論[15]可知，當測量力F作用于Z軸，在接觸點附近發(fā)生局部形變并形成一個較小的橢圓形接觸面，長半軸在X軸上，短半軸在Y軸上如圖2(d)所示。橢圓形接觸面上各點單位壓力大小與材料的形變量有關(guān)，沿Z軸將產(chǎn)生最大單位壓力。

接觸區(qū)域沿Z軸的最大形變量δ為

(1)

形變區(qū)域橢圓長軸半軸寬度a為

(2)

最大赫茲應力應出現(xiàn)在形變量最大處，最大赫茲應力Qmax為

(3)

當被測樣品為剛性材質(zhì)時，求解過程中只需將式(1)、式(2)、式(3)中R2換成+∞；當探針與凹體接觸時R2變?yōu)?R2。

2形變因素分析

微結(jié)構(gòu)測量中，精密微位移傳感器測量力F通常為零點幾毫牛至數(shù)毫牛，本文選取F<1mN；微探針半徑R1和樣品曲率半徑R2為數(shù)微米。

2.1測量力對形變的影響

接觸式微位移傳感器的測量力是影響測量精度重要因素之一，測量力的大小將直接決定著微結(jié)構(gòu)形貌檢測質(zhì)量的高低，前文已有論述。測頭—樣品間形變量因測量力的不同而不同。測量力對測頭—樣品間的形變量、形變區(qū)域長軸半寬長度、最大赫茲應力的影響如圖3所示。實線表示形變量與測量力的關(guān)系，點畫線表示半寬長度與測量力的關(guān)系，虛線表示最大赫茲應力與測量力的關(guān)系。由圖可知，測頭—樣品間的形變量與測量力呈正相關(guān)，隨著測量力的增大，形變量不斷變大。當測量力F為1mN時，被測樣品曲率半徑R2為1μm，測球半徑R1為5μm時，沿測量力方向最大形變量為1.04μm，長軸半寬長度為29.4μm，而最大形變處的最大赫茲應力為552N/mm2。在測量過程中應根據(jù)形變誤差允許范圍，選取恰當穩(wěn)定的測量力，保證測量的精度和可靠性。

圖3　測量力對形變量、半寬長度、最大赫茲應力的影響Fig 3　Influence of measurement force on deformation quantity,half-width length and the maximum Hertz stress

2.2微探頭半徑對形變的影響

探針測球半徑對測頭—樣品間的形變量、形變區(qū)域長軸半寬長度、最大赫茲應力的影響如圖4所示。實線表示形變量與測球半徑的關(guān)系，點畫線表示半寬長度與測球半徑的關(guān)系，虛線表示最大赫茲應力與測球半徑的關(guān)系。測球半徑與測頭—樣品間的形變量呈負相關(guān)，隨著探頭半徑的增大，形變量不斷減小。測球半徑與長軸半寬長度呈正相關(guān)，隨著探頭半徑的增大，長軸半寬長度隨之增加。最大赫茲應力與形變量呈正相關(guān)，亦即與測球半徑呈正相關(guān)。但同時也應注意到，測球半徑的增加，對于復雜微結(jié)構(gòu)形貌的測量必然會增加某些測量盲區(qū)，所以,不能為了減小測頭—樣品間形變量而盲目地增大測球半徑。

圖4　測球半徑對形變量、半寬長度、最大赫茲應力的影響Fig 4　Influence of probe radius on deformation quantity,half-width length and the maximum Hertz stress

2.3樣品曲率半徑對形變的影響

在整個測量過程中，隨著樣品不同位置曲率半徑的不同而需要不同的測量力，在整個動態(tài)測量過程中需要不停地改變測量力的大小，以便實現(xiàn)最可靠的測量。工件不同位置的曲率半徑對測頭—樣品間的形變量、形變區(qū)域長軸半寬長度、最大赫茲應力的影響如圖5所示。實線表示形變量與樣品曲率半徑的關(guān)系，點畫線表示半寬長度與樣品曲率半徑的關(guān)系，虛線表示最大赫茲應力與樣品曲率半徑的關(guān)系。由圖可知，隨著被測樣品曲率半徑的增加探針—樣品間的形變量逐漸減小，這是因為曲率半徑的增加使得測頭和樣品間的接觸面積增加，二者表面抵抗形變的能力增強。最大赫茲應力與形變量呈正相關(guān)，當形變量隨著被測樣品曲率半徑的增加而減小時，最大赫茲應力也相應地減小。工件不同位置的曲率半徑對形變量、半寬長度的作用機理與探針測球半徑相似，所以,二者對測頭—樣品間的形變量、形變區(qū)域長軸半寬長度、最大赫茲應力的影響和趨勢大致相同。

圖5　工件曲率半徑對形變量、半寬長度、最大赫茲應力的影響Fig 5　Influence of sample radius on deformation quantity,half-width length and the maximum Hertz stress

2.4不同材質(zhì)彈性模量對形變的影響

本文選取了幾種不同材質(zhì)的被測樣品如表1所示，用于研究不同材質(zhì)的彈性模量對于探針—樣品間的形變量、形變區(qū)域長軸半寬長度、最大赫茲應力的影響。

表1　不同材質(zhì)的被測樣品參數(shù)表

被測樣品材質(zhì)彈性模量對測頭—樣品間的形變量、形變區(qū)域長軸半寬長度、最大赫茲應力的影響如圖6所示。由圖可知，隨著被測樣品材質(zhì)彈性模量的增加，測頭—樣品間形變量和形變區(qū)域的半寬長度都逐漸減小，二者趨勢基本一致。當彈性模量小于1.5 GPa，測量力F=0.5 mN，測球半徑R1=5 μm，工件曲率半徑R2=1 μm時，測球—樣品間形變量最小為0.5 μm。實際測量中應根據(jù)不同材質(zhì)的被測樣品選取合適的測量力。如當被測樣品為柔性材質(zhì)時，應選取更小的測量力，以減小測頭—樣品間形變對測量結(jié)果的影響；當被測樣品的彈性模量較大時，可以選取較大的測量力，以保證測量過程中測頭—樣品充分穩(wěn)定接觸。

圖6　工件彈性模量對形變量、半寬長度、最大赫茲應力的影響Fig 6　Influence of workpiece elastic modulus on deformation quantity,half-width length and the maximum Hertz stress

3結(jié)論

本文針對探針測頭—樣品間的赫茲耦合和形變問題，基于材料的應力—應變屬性和經(jīng)典赫茲接觸理論，分析了探針測頭與被測樣品間的相互作用，建立了相應數(shù)學模型，并以玻璃測頭和玻璃光學樣品器件為分析對象，著重探討了測量力、測球半徑、被測樣品不同曲率半徑以及不同材質(zhì)的被測樣品等因素對探針—樣品間的形變、形變區(qū)域半寬長度、最大赫茲應力的影響，分析其內(nèi)在作用原理，尋找最大的影響因素。通過仿真分析可以看出：測球半徑與樣品曲率半徑的作用機理相似，而且相較于探針測球半徑因素而言，測量力和被測樣品不同位置曲率半徑因素對探針—樣品間形變的影響更為顯著。針對不同材質(zhì)的被測樣品，應選取恰當?shù)臏y量力和測頭半徑，以保證最佳的測量效果。

參考文獻:

[1]中國科學院.中國學科發(fā)展戰(zhàn)略:微納電子學[M].北京:科學出版社,2013.

[2]王伯雄,陳非凡,董瑛.微納米測量技術(shù)[M].北京:清華大學出版社,2006.

[3]Yan W,Sun Q,Feng X Q,et al.Analysis of spherical indentation of superelastic shape memory alloys[J].International Journal of Solids and Structures,2007,44(1):1-17.

[4]Yan W,Sun Q,Liu H Y.Spherical indentation hardness of shape memory alloys[J].Materials Science and Engineering:A,2006,425(1/2):278-285.

[5]Jin F,Zhang W,Zhang S,et al.Adhesion between elastic cylinders based on the double-Hertz model[J].International Journal of Solids and Structures,2014,51(14):2706-2712.

[6]Terekhina S,Fouvry S,Salvia M,et al.An indirect method based on fretting tests to characterize the elastic properties of materials:Application to an epoxy resin RTM6 under variable temperature conditions[J].Wear,2010,269(7/8):632-637.

[7]Palade A C,Pillon G P,Cicala E,et al.Subsurface treatment of a contact subjected to a Hertz pressure[J].International Journal of Mechanical Sciences,2013,77:107-112.

[8]王海濤,林玉池,付魯華，等.微小力測量系統(tǒng)的實驗研究[J].傳感器與微系統(tǒng),2009,28(11):8-11.

[9]李志渤,黃強先,趙劍,等.接觸測量中的微探球力變形研究[J].中國機械工程,2014,24(14):1926-1929.

[10] 楊盛福,陳錦江,劉坤.ANSYS在彈性體點接觸分析中的應用[J].機械研究與應用,2007,20(4):107-108.

[11] 馮劍軍,譚援強.基于Hertz理論圓柱和平面之間的滑動接觸分析[J].摩擦學學報,2009,29(4):346-350.

[12] 鄭修麟.材料的力學性能[M].西安:西北工業(yè)大學出版社，2011.

[13] 付移風,潘曉彬,陳福練.便攜式表面粗糙度測量儀的設(shè)計[J].傳感器與微系統(tǒng),2010,29(2):93-97.

[14] 田紅亮，朱大林，方子帆.兩彈塑性接觸粗糙表面的嚴格解析解[J].機械設(shè)計與制造,2010，32(1):225-227.

Modeling and analysis of probe-sample Hertz coupling in contact scanning*

CHEN Wei, XU Bin, ZHAO Shi-ping

(School of Manufacturing Science and Engineering,Sichuan University,Chengdu 610065,China)

Abstract:As the size of probe used for micro-component measurement system is decreased continuously and measurement precision is increased constantly,influence of deformation error between probe and measurement sample on uncertainty of system is becoming an issue that can not be ignored.In order to research interaction between probe and sample and deformation problems,contact model for micro measuring ball and sample is established according to stress-strain properties of materials and Hertz theory,glass probe and optical devices are used as analysis target,effect of measurement force,probe radius,curvature radius of sample and samples with different materials on deformation,half width length of deformation zone and the maximum Hertz stress.Results show that interaction mechanism of curvature radius of measured sample and measuring ball radius is similar, and compared with probe radius factor,effect of measurement force and curvature radius factor of measured sample on deformation between probe and ample is more obvious.

Key words:contact scanning; Hertz theory; measurement force; probe radius; measurement error

DOI:10.13873/J.1000—9787(2016)03—0012—04

收稿日期：2016—01—18

*基金項目：國家自然科學基金資助項目(51405314)；中國物理研究院超精密加工技術(shù)重點實驗室開放基金資助項目(KF15004)；中央高校基本科研業(yè)務費資助項目(2015SCU04A12)

中圖分類號：TH 711

文獻標識碼：A

文章編號：1000—9787(2016)03—0012—04

作者簡介:

陳偉(1989-)，男，四川遂寧人，碩士研究生，主要研究方向為微形貌測量、傳感器設(shè)計及不確定度分析。

許斌，通訊作者，E—mail:bin_xu@scu.edu.cn。