數(shù)形結(jié)合，提升解題策略

林雅聞

解析幾何的核心思想就是數(shù)形結(jié)合.利用平面直角坐標(biāo)系，幾何對(duì)象、幾何概念可以表示為代數(shù)形式，幾何目標(biāo)可以通過(guò)代數(shù)運(yùn)算、化簡(jiǎn)得到；反過(guò)來(lái)，數(shù)、式可以借用幾何直觀解釋，啟發(fā)人們得出新的結(jié)論.面對(duì)學(xué)生在解析幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中普遍感到繁、難的現(xiàn)狀，不妨充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想方法的作用.

1.問(wèn)題呈現(xiàn)

高二學(xué)生學(xué)完橢圓、雙曲線后的一次統(tǒng)練中有一道題，題目如下：

（1）求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓上有一點(diǎn)C，使四邊形AOBC恰好為平行四邊形，求直線l的斜率.

此題是常規(guī)題，考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬中檔題.第二小題解題思路清晰，利用平行四邊形對(duì)角線平分的性質(zhì)，用直線l的斜率表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可.然而學(xué)生解決這類問(wèn)題的水平遠(yuǎn)低于教學(xué)期望.

2.學(xué)情分析

學(xué)生剛學(xué)了用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，解題還處在模仿階段.若思路不清，則只會(huì)機(jī)械地聯(lián)立方程組、運(yùn)用韋達(dá)定理，造成“只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林”的結(jié)果.本題只能用順推法解題，方向單一.學(xué)生知識(shí)體系不夠強(qiáng)大，沒(méi)有解題的大局觀，找不到未知與已知之間的聯(lián)系，所以造成無(wú)從下手、解題受阻的現(xiàn)象.

3.講評(píng)實(shí)錄

3.1數(shù)形結(jié)合、重轉(zhuǎn)化

師：誰(shuí)來(lái)講講自己在考場(chǎng)上的解題思路？

生1：我只知道把直線和橢圓方程聯(lián)立方程組，寫出韋達(dá)定理，然后一點(diǎn)思路都沒(méi)了.

生2：設(shè)而不求！因?yàn)閨OA|=|BC|，我就算這兩個(gè)長(zhǎng)度，結(jié)果花了20多分鐘，唉！

師：第2小題的條件是什么？問(wèn)題是什么？

生3：條件是四邊形AOBC是平行四邊形，問(wèn)題是求直線的斜率.

師：條件只提供了“形”方面的定性描述，所求的是斜率這個(gè)數(shù)量.平行四邊形有哪些性質(zhì)，能不能把條件中的“形”，用“數(shù)”的形式表示出來(lái)？

4.教學(xué)反思

4.1滲透數(shù)形結(jié)合，提升解題策略

解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，該思想方法的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行代數(shù)釋意與幾何釋意的互補(bǔ)，實(shí)現(xiàn)“形”與“數(shù)”的語(yǔ)義轉(zhuǎn)換.將“數(shù)”解釋為“形”，利用“形”的知識(shí)解決“數(shù)”的問(wèn)題，即“以形助數(shù)”；將“形”解釋為“數(shù)”，利用“數(shù)”的知識(shí)解決“形”的問(wèn)題，即“以數(shù)助形”.其中“以數(shù)助形”是解決解析幾何綜合題的常用方法，在運(yùn)用過(guò)程中需遵循三個(gè)原則：等價(jià)性原則、數(shù)形互補(bǔ)原則、求解簡(jiǎn)單化原則.

在圓錐曲線教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué).學(xué)生的問(wèn)題在統(tǒng)練中充分暴露的時(shí)候是滲透思想方法教學(xué)的最佳契機(jī).教師引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，明確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的三個(gè)原則，并且正面地、直截了當(dāng)?shù)攸c(diǎn)明數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的要領(lǐng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的積極性，感悟到數(shù)學(xué)方法的魅力.

4.2解題教學(xué)注重過(guò)程

解題的目的不是只為了得到答案，而是要讓學(xué)生從中學(xué)到知識(shí)，促進(jìn)基本技能的掌握.所以解題教學(xué)不是對(duì)題型、套解法，因引導(dǎo)學(xué)充分暴露自己的思維過(guò)程，并加以優(yōu)化，讓學(xué)生自己解決問(wèn)題、得出結(jié)論.教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，先考慮：怎樣才能想到這些解答方法？是什么促使學(xué)生想出這樣的解答方法？在教學(xué)過(guò)程中做到有的放矢，揭示解法“來(lái)龍去脈”，總結(jié)提煉出解決問(wèn)題的方法策略，使枯燥的習(xí)題講解變得生動(dòng)具體、豐滿充實(shí)，使學(xué)生知其然更知其所以然.

參考文獻(xiàn)：

[1]錢珮玲，邵光華.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京師范大學(xué)出版社，1997：50.