矩陣教學(xué)方法的探究

李瑜鳳 趙琳

[摘 要] 結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，通過實(shí)例闡述了如何通過背景知識、實(shí)際應(yīng)用以及數(shù)學(xué)軟件來提高矩陣教學(xué)的趣味性、有效性和實(shí)用性，并由此來加深學(xué)生對矩陣概念的理解和增強(qiáng)應(yīng)用矩陣的意識。

[關(guān) 鍵 詞] 矩陣；教學(xué)方法；實(shí)際應(yīng)用

[中圖分類號] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）28-0163-01

線性代數(shù)是經(jīng)濟(jì)、管理、理工等應(yīng)用型學(xué)科學(xué)生必修的一門重要課程。[1]學(xué)生普遍反映，雖然刻苦努力的學(xué)完了這門課程，但實(shí)在想不出這門課除了反復(fù)的計算和告訴他們?nèi)绾谓饩€性方程組外，還能有什么別的用途。因此，如何引進(jìn)更有效的教學(xué)方式幫助學(xué)生理解線性代數(shù)的基本理論知識及運(yùn)算方法，并能靈活地應(yīng)用到實(shí)踐中去，是我們在教學(xué)中一直思考的問題。

矩陣的概念及基本運(yùn)算貫穿于整個線性代數(shù)的知識體系。因此，要十分重視這部分內(nèi)容的教學(xué)。下面結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，舉例說明我們對改進(jìn)線性代數(shù)矩陣部分教學(xué)的幾點(diǎn)想法。

一、加強(qiáng)背景知識的介紹

我們在教學(xué)中對矩陣的歷史及發(fā)展進(jìn)行追溯，可以避免單一的計算，還有利于拓寬他們的知識面，提高他們的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。

因此，在講授矩陣時，可對其理論發(fā)展作如下介紹：

“矩陣”萌芽于中國古代，我國的《九章算術(shù)》中記載了它的最早雛形——長方陣。這種長方陣，只是以矩陣的排列形式解決實(shí)際問題，并沒有建立起獨(dú)立完善的矩陣?yán)碚摗Ｓ鴶?shù)學(xué)家西爾維斯特最早使用“矩陣”一詞，并極大地促進(jìn)了矩陣的發(fā)展。隨后出現(xiàn)了矩陣概念的定義、運(yùn)算的定性與求法等零散的矩陣知識，但是仍沒有將矩陣?yán)碚撓到y(tǒng)化。直到凱萊在研究線性變換時，矩陣才作為獨(dú)立理論被提出并加以探討。后期矩陣?yán)碚摰玫窖杆侔l(fā)展，到19世紀(jì)末矩陣?yán)碚擉w系已基本形成。到20世紀(jì)得到進(jìn)一步的發(fā)展，現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個領(lǐng)域。此外，在矩陣?yán)碚摪l(fā)展史上作出突出貢獻(xiàn)的還有關(guān)孝和、弗羅伯紐斯等。[2]這些背景知識可以豐富教學(xué)的內(nèi)容，使矩陣這個概念更加飽滿生動。

二、注重趣味性案例教學(xué)

俗話說，興趣是最好的老師。在教學(xué)中引入有趣的案例，能夠有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

例如：在學(xué)生掌握了矩陣的逆之后，可以給學(xué)生列舉密碼學(xué)中一些密碼的加密與解密過程，[3]一方面能夠開闊學(xué)生視野，同時可以加深他們對該知識點(diǎn)的理解。

假設(shè)我們要送出的消息“REQUEST SUPPORT”首先把每個字母A，B，C，…，Z映射到數(shù)1，2，3，…，26。例如，數(shù)1表示A，數(shù)11表示K；另外，用0表示空格，27表示句號等。于是要送出的消息可表示為：

18 5 17 21 5 19 20 0 19 21 16 16 15 18 20

把這個消息按列寫成3×5矩陣，即

M=18 5 17 21 519 20 0 19 2116 16 15 18 20

假如消息的密碼為密碼矩陣是A3×3，那么當(dāng)加密后的消息通過通信渠道以乘積AM的形式輸出時，接收者收到的矩陣為C=AM，之后接收者通過計算乘積A-1C來譯出消息，然后依次變換矩陣A-1C的第1列、第2列……的元素，這樣矩陣就會變回到原來的信息。

三、借助數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行矩陣運(yùn)算

當(dāng)今社會計算機(jī)技術(shù)高度發(fā)達(dá)，我們的教育也需要突破傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，將數(shù)學(xué)與計算機(jī)有效結(jié)合起來。例如，用Excel軟件可以計算矩陣行列式的值，只需將矩陣的元素輸入到某等行等列區(qū)域中，然后選中該區(qū)域并輸入公式“=MDETERM（區(qū)域）”，結(jié)果就會返回該行列式的值。進(jìn)而這個結(jié)果可以被用來求解多元線性方程組。再如，利用專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件（如Mathmatics、Matlab、Maple）將數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)建模與計算機(jī)應(yīng)用相結(jié)合。比如，借助Matlab軟件作矩陣乘法、行列式、秩、逆的運(yùn)算，只需輸入矩陣并編輯如下命令：A*B、det（B）、rank（A）、inv（B），然后按回車即可輸出結(jié)果。此外，在該軟件中還可以通過編寫程序來解決更復(fù)雜的實(shí)際問題，具體用法可以參見《MATLAB軟件與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)實(shí)驗》一書。[4]

從上面的舉例中不難發(fā)現(xiàn)：運(yùn)用計算機(jī)軟件進(jìn)行矩陣運(yùn)算，不僅簡單快捷，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的動手和思考的能力。進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生運(yùn)用學(xué)過的知識去解決問題和探索新知的能力。

四、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用矩陣相關(guān)知識的意識

矩陣作為線性代數(shù)的一個重要工具，在經(jīng)濟(jì)分析、計算機(jī)應(yīng)用、工程管理等方面也有著廣泛的應(yīng)用。因此，我們可以結(jié)合學(xué)生專業(yè)特點(diǎn)向?qū)W生介紹矩陣的應(yīng)用。

比如，在經(jīng)濟(jì)管理中經(jīng)常會遇到成本核算、利潤問題、最優(yōu)化問題，工程管理中有調(diào)運(yùn)問題，利用計算機(jī)作三維圖形變換、算法設(shè)計等，這些都是以矩陣為其理論和算法的一部分。我們在教學(xué)過程中就可以針對相關(guān)知識點(diǎn)介紹矩陣的應(yīng)用，為他們學(xué)習(xí)后續(xù)應(yīng)用課程做一個鋪墊，同時可以引導(dǎo)他們主動應(yīng)用矩陣知識，從而為他們將來從事實(shí)際工作和繼續(xù)深造奠定基礎(chǔ)。這也正與培養(yǎng)職業(yè)型、應(yīng)用型人才的目標(biāo)相契合。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007：29-71.

[2]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]候風(fēng)波.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2013.

[4]朱旭，李換琴，籍萬新.MATLAB軟件與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)實(shí)驗[M].西安交通大學(xué)出版社，2008.