平均跟蹤的一些性質

刁素蘭，吳紅英

（1.廣州大學數學與信息科學學院，廣東廣州510006；2.懷化學院數學與計算科學學院，湖南懷化418008）

刁素蘭1，吳紅英2

（1.廣州大學數學與信息科學學院，廣東廣州510006；2.懷化學院數學與計算科學學院，湖南懷化418008）

研究了0.5-平均跟蹤的一些性質.我們證明了：如果f是滿射且有0.5-平均跟蹤性質，則f是鏈傳遞的.如果f是等度連續滿射且有0.5-平均跟蹤性質，則f是拓撲遍歷的.

跟蹤性質；平均偽軌；拓撲遍歷；鏈傳遞

1 引言與預備知識

設（X，f）是一個拓撲動力系統（簡稱動力系統），是指（X，ρ）是一個緊致度量空間，其中ρ表示X上的一個度量，f∶X→X是一個連續滿射.跟蹤性質在動力系統中扮演著重要的角色.1980年，Blank[1，2]引進了平均跟蹤性質的概念并證明了某些攝動雙曲系統具有平均跟蹤性質.自從平均跟蹤的概念問世以來，我們觀察到兩個現象.其一，平均跟蹤性質受到了較多學者的關注[3-7].其二，越來越多新的跟蹤概念出現[6，8-10].

設Z+是非負整數集.設A?Z+，用|A|表示集合A的基數.用d（A）表示集合A的上密度，用d（A）表示集合A的下密度，用d（A）表示集合A的密度.

設x0=x，x1，…，xn=y∈X，δ＞0.對任意的i∈{0，1，…，n-1}，如果ρ（f（xi），xi+1）δ，則稱序列x0，x1，…，xn為映射f的從x到y長度為n的δ-鏈.稱映射f是鏈傳遞的，是指對任意的兩個點x，y∈X和任意的δ＞0，都存在一條從x到y的δ-鏈.

設（X，f）是一個動力系統.U，V?X，記N（U，V）={i∈Z+∶U∩f-i（V）≠?}.稱映射f是傳遞的，是指對任意兩個非空開集U，V?X，有N（U，V）≠?.稱映射f是拓撲遍歷的，是指d（N（U，V））＞0.

這時，也稱點z，ε-平均跟蹤ξ.

定義1.1設（X，f）是一個動力系統，q∈[0，1），稱f具有平均跟蹤性質，是指對任意的ε＞0，存在δ＞0，使得對f的每一條δ-平均偽軌，存在點z∈X，滿足

D.Ahmadi Dastjerdi在[8]引進了遍歷偽軌的d-跟蹤（d-跟蹤）的概念.稱映射f具有d-跟蹤性質（d-跟蹤性質），如果對任意的ε＞0，存在δ＞0，使得映射f的每一條δ-遍歷偽軌都能夠被X中的某點沿著下密度大于0（上密度大于0.5）的時間集ε-跟蹤.

D.AhmadiDastjerdi在[8]中證明了：若映射f有d-跟蹤性質（或d-跟蹤性質），則f是鏈傳遞的.

稱x∈X是f的一個穩定點，如果對任意的ε＞0，存在δ＞0，對每一個y∈B（x，δ）和每一個正整數n，有ρ（fn（x），fn（y））＜ε.稱f是Lyapunov穩定（或等度連續）的，如果X中每一個點都是穩定點.

稱映射f是拓撲遍歷的，如果任意兩個非空開集U，V?X，N（U，V）有正上密度.文[12]證明了：如果f是一個Lyapunov穩定（等度連續）映射且有平均跟蹤性質，則f是拓撲遍歷的.

文[10]引進了平均偽軌的部分跟蹤概念.稱映射f具有q-平均跟蹤性質，如果對任意的ε＞0，存在δ＞0，使得映射f的每一條δ-平均偽軌都能夠被X中的某點沿著下密度大于q的時間集ε-跟蹤.

本文將繼續研究平均偽軌的部分跟蹤性質.本文的主要結果為：如果f是滿射且有0.5-平均跟蹤性質，則f是鏈傳遞的（見定理2.2）.如果f是等度連續滿射且有0.5-平均跟蹤性質，則f是拓撲遍歷的（見定理2.3）.

2 主要結果的證明

我們還需要下面的引理.

引理2.1設A，B?Z+，如果d（A）+d（B）＞1，則d（A∩B）＞0[9].

定理2.2設（X，f）是一個動力系統.如果映射f是滿射且有0.5-平均跟蹤性質，則f是鏈傳遞的.

定理2.3設（X，f）是一個動力系統.如果映射f∶X→X是一個等度連續的滿射，并且具有0.5-平均跟蹤性質，則f是拓撲遍歷.

證明設U，V是X中的兩個非空開集.我們選取x∈U，y∈V，取ε＞0，滿足B（x，ε）?U，B（y，ε）?V.由于f是等度連續的，則對上述ε＞0，存在δ＞0，使得當ρ（f（x，y）＜δ時，對任意n∈Z+，有ρ（fn（x），fn（y））＜ε.

定義序列如下：

令

因此由引理2.1，d（J）x＞0，d（J）y＞0.選取i0∈JX，0≤k0≤N0-1，使得fi（0

z）∈B（f-k（0x），δ）.對任意j∈Jy，且j≥i0+ k0，存在0≤mj≤N0-1，使得f（jz）∈B（f-m（jy），δ）.由于f是等度連續的，因此有

注意到0≤mj≤N0-1，故d（N（U，V））＞0，所以f是拓撲遍歷的.

[1]M.L.Blank.Metric properties of-trajectories ofdynamical systems with stochastic behaviour[J].Ergodic Theory Dynam.Systems，1988（8）：365-378.

[2]M.L.Blank.Deterministic properties of stochastically perturbed dynamical systems（Russian）[J].Teor.Veroyatnost.i Primenen.，1988，33（4）：659-671.

[3]M.Kulczycki，D.Kwietniak and P.Oprocha.On almost specification and average shadowingProperties[J].Fund.Math，2014（224）：241-278.

[4]D.Kwietniak，P.Oprocha.Anote on the average shadowingpropertyfor expansive maps[J].TopologyAppl，2012（159）：19-27.

[5]Y.Niu.The average-shadowingpropertyand strongergodicity[J].J.Math.Anal.Appl，2011（376）：528-534.

[6]P.Oprocha，D.A.Dastjerdi and M.Hosseini.On partial shadowingofcomplete pseudo-orbi-ts[J].J.Math.Anal.Appl，2013（404）：47-56.

[7]J.Park，Y.Zhang.Average shadowingproperties on compact metric spaces[J].Commun.Korean Math.Soc.，2006（21）：355-361.

[8]D.Ahmadi Dastjerdi，M.Hosseini.Sub-shadowings[J].Nonlinear Anal，2010（72）：3759-3766.

[9]A.Fakhari，F.H.Ghane.On shadowing：ordinaryand ergodic[J].J.Math.Anal.Appl，2010（364）：151-155.

[10]汪火云，曾鵬.平均偽軌的部分跟蹤[J].中國科學，2016（3）.

[11]R.Gu.On ergodictyofsystems with the asymptotic average shadowingproperty[J].Comput Math Appl，2008（550）：1137-41.

[12]R.Gu.The average shadowingpropertyand topological ergodicity[J].J.Comput.Appl.Math，2007（206）：796-800.

Some Properties of 0.5-average Shadowing

DIAO Su-lan1，WU Hong-ying2
（1.Department of Mathematics and Information Science，Guangzhou University，Guangzhou，Guangdong 510006；2.Department of Mathematics，Huaihua University，Huaihua，Hunan 418008）

In this paper，the authors studied some properties of the 0.5-average shadowing.We proved that if the map f is a surjection and has 0.5-average shadowing property，then it is chain transitive；If the map f is equicontinuous and has 0.5-average shadowing property，then it is topologically ergodic.

shadowing property；average pseudo-orbit；topologically ergodic；chain transitive

O189.11

A

1671-9743（2016）11-0018-03

2016-06-07

國家自然科學基金資助課題（11471125）；廣州大學數學與信息科學學科群重點學科建設項目.

刁素蘭，1990年生，女，廣東河源人，碩士研究生，研究方向：代數；吳紅英，1974年生，女，湖南張家界人，副教授，研究方向：拓撲學與數值計算.