一種擺線針輪傳動多齒嚙合接觸特性分析方法

許立新　楊玉虎

1.天津職業(yè)技術師范大學天津市高速切削與精密加工重點實驗室，天津，3002222.天津大學，天津，300072

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一種擺線針輪傳動多齒嚙合接觸特性分析方法

許立新1,2楊玉虎2

1.天津職業(yè)技術師范大學天津市高速切削與精密加工重點實驗室，天津，3002222.天津大學，天津，300072

摘要：為有效地揭示齒廓修形、彈性接觸及負載變化對擺線針輪傳動多齒嚙合接觸動態(tài)特性的影響規(guī)律，基于多體動力學和彈性接觸理論提出了一種可精確預估擺線針齒動態(tài)嚙合對數、確定接觸點位置并獲取接觸載荷的動力學分析方法。首先，建立了擺線針輪系統(tǒng)剛體多體動力學模型；其次，在數值計算的任一時刻，循環(huán)判斷擺線齒廓的離散點與各個針齒之間是否滿足接觸條件，確定最大接觸深度并計算法向接觸載荷；最后，將擺線針齒接觸載荷等效為系統(tǒng)廣義力，建立了含多齒嚙合接觸關系的擺線針輪傳動系統(tǒng)動力學方程。在此基礎上，以某一針擺傳動系統(tǒng)為算例，分析齒廓修形、彈性接觸及負載變化對擺線針輪傳動多齒嚙合接觸動態(tài)特性的影響。研究結果表明，擺線針輪傳動的實際傳力針齒數由齒廓修形和負載特性決定。該方法對于具有不同傳動比的擺線針輪傳動系統(tǒng)，均能高效準確地完成齒廓修形和負載變化條件下的傳力針齒數預估和接觸載荷計算。

關鍵詞：擺線針輪傳動；多齒嚙合；接觸動力學；多體動力學

0引言

擺線針輪傳動具有傳動比大、扭轉剛性大、傳動精度高和傳動效率高等優(yōu)點，廣泛應用于工業(yè)機器人關節(jié)以及精密機床傳動中。經過多年的發(fā)展，國內外市場以擺線傳動為基礎出現(xiàn)了一系列較為成熟的減速器產品，如帝人RV(2K-V)減速器和住友FC系列減速器等。近年來，為進一步提高擺線針輪傳動的各項性能，國內外學者圍繞擺線齒廓修形設計、傳動精度以及動力學等問題開展了廣泛的研究。

擺線齒廓修形在補償加工裝配誤差以及預留潤滑間隙的同時，也對針擺多齒嚙合特性、系統(tǒng)傳動精度、效率以及嚙合剛度產生了影響。何衛(wèi)東等[1]研究了齒廓修形對擺線針輪傳動回差的影響，研究結果表明，在盡可能減小側隙的條件下，采用負等距和負移距修形組合方法，可以優(yōu)化設計出與針齒互為共軛齒形的擺線輪齒廓，提高了系統(tǒng)傳動精度。關天民[2]對采用負移距加正等距修形方法獲得最佳修形齒廓的原理進行了探討，推導出擺線輪最佳修形量的計算公式。關天民等[3]提出了一種擺線“反弓”齒廓的設計方法，分析結果表明反弓齒廓可以有效地減小齒面最大接觸力，從而提高齒面承載能力。Chen等[4]基于二次包絡理論，提出了一種新型擺線齒廓設計方法，該齒廓的主要特點是在某一接觸區(qū)域內可以保證雙接觸線。傳動精度是考核擺線針輪傳動系統(tǒng)性能的一項關鍵指標，針對RV減速器，李充寧等[5]根據傳動中擺線輪與針輪的嚙合關系，得到了實際齒廓的嚙合誤差與傳動精度關系的計算公式；韓林山等[6]綜合考慮系統(tǒng)中各零件的加工誤差、安裝誤差、間隙及齒輪嚙合剛度、軸承剛度等因素的影響，建立了RV減速器的動態(tài)傳動精度計算模型；楊玉虎等[7]基于作用線增量原理，應用誤差分析的傳遞矩陣法，研究了RV減速器中各構件的原始誤差在整個傳動過程中對減速器輸出轉角誤差的影響規(guī)律。在擺線針輪傳動系統(tǒng)動力學研究方面，張大衛(wèi)等[8]基于Hertz公式和石川公式，分別建立了RV減速機擺線針輪傳動副和漸開線齒輪傳動副的嚙合剛度模型，同時，也考慮了擺線輪加工誤差、裝配誤差等導致的個別齒不能正確嚙合的情況。理論研究結果表明，擺線針輪同時嚙合齒數能達到針輪齒數的1/2，但實際情況一般只能達到針輪齒數的1/3。近年來，楊玉虎等[9]借助ANSYS軟件建立了考慮軸承剛度、齒輪嚙合剛度及各構件彈性的有限元模型，分析了RV整機扭轉剛度隨輸入軸轉角的變化特性，指出軸承剛度是影響整機扭轉剛度的主要因素。Hsieh[10]研究了擺線傳動齒廓嚙合接觸與碰撞動力學特性，并對傳動中關鍵零件的強度進行了分析。Li[11]借助三維設計軟件建立了擺線針輪傳動的幾何模型，并使用有限元技術對擺線針齒嚙合過程中的接觸載荷和應力分布情況進行了分析。

綜上所述，擺線齒廓修形有益于系統(tǒng)裝配和嚙合接觸區(qū)域潤滑，對提高擺線針輪傳動效率和保證減速器工作壽命至關重要。然而，擺線齒廓修形也會產生擺線針輪傳動實際嚙合齒數偏少、出現(xiàn)齒廓嚙合間隙等問題，減小了扭轉剛度，引入回差并惡化傳動精度，對系統(tǒng)的動力學性能也產生了影響。為取得上述各項性能之間的平衡，全面提高擺線針輪傳動系統(tǒng)的性能，如何有效地檢測齒廓修形條件下擺線針輪傳動多齒嚙合接觸的動態(tài)特性是解決問題的關鍵。

為了揭示齒廓修形、彈性接觸以及負載變化對擺線針輪傳動多齒嚙合接觸特性的影響規(guī)律，本文在多體動力學理論框架下提出了一種擺線針輪傳動多點嚙合接觸動力學模型。該模型通過動態(tài)判斷擺線齒廓與各個針齒之間的接觸關系，可以精確預估擺線針齒嚙合對數、確定嚙合接觸點位置并獲取接觸載荷。

1擺線針輪系統(tǒng)多體動力學建模

如圖1所示，在廣義坐標系Oxy下，建立擺線針輪傳動系統(tǒng)多體動力學模型。模型中，輸入軸(曲柄軸)可固定回轉，角速度用ωs表示，其局部坐標系(連體坐標系)Osxsys位于回轉中心。曲柄軸偏心距為e，位于水平方向。擺線輪局部坐標系Ocxcyc位于其幾何中心，回轉角速度用ωc表示。擺線輪在曲柄軸上的回轉中心即局部坐標系原點Oc。此外，Oixiyi為針輪上第i個針齒銷的局部坐標系，位于針齒銷的幾何中心。

圖1　擺線針輪系統(tǒng)多體動力學模型

在擺線減速器傳動中，曲柄軸驅動擺線輪公轉，由擺線針齒之間的嚙合關系促使擺線輪減速自轉。擺線輪的自轉速度往往采用柱銷輸出機構傳輸給輸出軸，擺線輪進而承擔輸出機構反饋的負載扭矩T。為簡化并降低模型求解難度，該模型中并未考慮輸出機構，而是將負載扭矩T直接添加作用在擺線輪上，扭矩作用方向與擺線輪自轉方向相反。

在該模型中，共有2+N個剛體，分別是曲柄軸、擺線輪和N個針齒銷。因此，系統(tǒng)廣義坐標矢量可表示為

q=(xs,ys,θs,xc,yc,θc,x1,y1,θ1,…,

xi,yi,θi,…,xN,yN,θN)T

(1)

i=1,2,…,N

式中，xs、ys分別為曲柄軸局部坐標系原點在廣義坐標系下的位置坐標；xc、yc分別為擺線輪局部坐標系原點在廣義坐標系下的位置坐標；xi、yi分別為各個針齒銷局部坐標系原點在廣義坐標系下的位置坐標；θs、θc、θi分別為曲柄軸、擺線輪和各個針齒銷局部坐標系相對廣義坐標系的轉角。

系統(tǒng)約束方程可表示為

(2)

式中，rb為針齒分布圓半徑；θ0為曲柄軸初始轉角位置；t為時間。

在多體動力學理論框架下，整理系統(tǒng)質量慣性矩陣、約束方程雅可比矩陣以及系統(tǒng)廣義力矢量，并代入多體動力學方程中，可得

(3)

值得注意的是，在上述方程中，系統(tǒng)廣義力應該包括兩部分，分別是外部負載扭矩T和由擺線針齒接觸力引入的作用力及力矩。

2擺線針齒接觸判斷與接觸力計算

通常，擺線針輪系統(tǒng)的傳動比可表示為

(4)

式中，z1為擺線輪齒數；z2為針輪齒數。

在圖1所示的擺線針輪系統(tǒng)多體動力學模型中，若給定曲柄軸勻速轉動，假設擺線輪回轉角速度滿足下式：

ωc=ωs/isc

(5)

且模型中忽略負載扭矩T的影響，則擺線輪與針齒之間將呈現(xiàn)理想的嚙合狀態(tài)，即擺線齒廓與針齒廓線不會出現(xiàn)交叉干涉現(xiàn)象，如圖2所示。

圖2　擺線針齒理想嚙合狀態(tài)

若考慮負載扭矩T的影響，擺線齒與針齒齒廓會出現(xiàn)幾何交叉干涉現(xiàn)象。實際中，這種幾何廓線局部交叉壓入現(xiàn)象會引發(fā)擺線針齒之間的接觸力。顯然，接觸位置以及接觸剛度的確定是準確獲取接觸力的關鍵。

擺線輪與各個針齒之間的幾何接觸分析如圖3所示。首先將擺線輪連續(xù)幾何廓線離散，得到一系列離散點pj。任一離散點在廣義坐標系Oxy下的位置矢量rpj可表示為

(6)

圖3　擺線針齒幾何接觸分析

通過求解系統(tǒng)動力學方程，在數值積分的任一時刻，循環(huán)計算各個離散點與各個針齒幾何中心之間的相對位置矢量di：

di=rpj-rb

(7)

式中，rb為針齒幾何中心在廣義坐標系Oxy下的位置矢量。

當擺線輪幾何廓線上的離散點與針齒幾何中心之間的相對距離di滿足下式時：

di-Rr≤0

(8)

擺線齒上的離散點將與針齒幾何表面形成接觸區(qū)域。其中，Rr為針齒銷半徑。

在數值計算的任一積分時刻，擺線輪上可能存在多個離散點與針齒同時滿足接觸條件，即擺線輪與針齒形成接觸區(qū)域，如圖4所示。在這一接觸區(qū)域中，最大接觸深度himax可表示為

himax=max|di-Rr|

(9)

圖4　擺線針齒接觸位置與最大接觸深度分析

最大接觸深度方向的單位法矢量n可表示為

n=dimax/‖dimax‖

(10)

式中，dimax為對應最大接觸深度方向上的離散點與第i個針齒幾何中心之間的相對位置矢量。

在確定擺線齒與針齒之間的最大接觸深度后，接觸載荷可以采用下式計算：

Fin=Khimax

(11)

式中，K為擺線針齒之間的嚙合接觸剛度。

若擺線輪幾何廓線上的離散點與針齒幾何中心之間的相對距離di不滿足式(8)條件，擺線齒與針齒將不發(fā)生接觸，則

Fin=0

(12)

值得注意的是，嚙合接觸剛度K取決于擺線針輪在接觸點處兩者的曲率半徑，其值可用下式計算：

(13)

(14)

式中，Rc為接觸點處擺線齒廓曲率半徑；Rr為接觸點處針齒銷曲率半徑；Ek為線輪和針齒材料的彈性模量;νk為擺線輪和針齒材料的泊松比。

當擺線齒廓與針齒齒廓呈外凸接觸時，式(13)中取“+”號；呈內凹接觸時，式(13)中取“-”號。

擺線針齒之間的接觸力Fin作用在接觸法線n方向，在廣義坐標系下接觸力Fin可以沿坐標軸方向分解出兩個分力，分別為Fixn和Fiyn，如圖5所示。Fixn和Fiyn對擺線輪產生的扭矩可表示為

圖5　擺線針輪傳動廣義力分析

(15)

在擺線針齒接觸載荷Fin以及扭矩Ti作用下，擺線輪所受廣義力可以表示為

(16)

(17)

(18)

式中，N為針齒數。

針齒i所受廣義力可以表示為

Fixb=-Fixn

(19)

Fiyb=-Fiyn

(20)

將擺線輪和各個針齒所受廣義力代入式(3)，便建立了擺線針輪多點嚙合接觸動力學模型，該模型的求解流程如圖6所示。求解程序采用MATLAB軟件編制，并采用Gear數值方法求解計算。

圖6　擺線針輪多齒嚙合接觸動力學模型求解流程

3算例分析

基于上述方法，以某一擺線針輪傳動系統(tǒng)為例，建立該類系統(tǒng)的剛體接觸多體動力學模型。模型中，針輪上均勻分布16個針齒，再加上一個曲柄軸和一片擺線輪，系統(tǒng)中共有18個剛體。擺線輪在曲柄軸驅動下以及受針擺接觸作用后將產生公轉和自轉運動。系統(tǒng)中各個剛體的質量與慣量參數見表1。擺線針輪傳動系統(tǒng)的幾何結構參數見表2。

表1　擺線針輪傳動系統(tǒng)構件質量與慣性參數

表2　擺線針輪傳動系統(tǒng)幾何結構參數

動力學分析需要給定系統(tǒng)的初始狀態(tài)。在數值計算的初始時刻，假設擺線針輪傳動系統(tǒng)的初始位置狀態(tài)如圖1所示。圖1中，曲柄軸偏心位于水平向右方向，擺線輪與各個針齒相嚙合。假設位于右側水平軸上的針齒序號為1，針齒按逆時針方向依次均勻布置，最后一個針齒序號為16。在后續(xù)分析中，將考慮擺線齒廓移距修形、等距修形設計以及負載扭矩變化對擺線針輪多點嚙合接觸特性的影響。此外，在系統(tǒng)動力學分析中，一些必要的接觸與計算參數見表3。需要注意的是，為保證計算結果的準確性，擺線輪齒廓離散點設置得較密。由于擺線齒廓曲率半徑變化，應該考慮嚙合位置變化中的變剛度影響。

表3　擺線針輪傳動系統(tǒng)接觸與計算參數

將算例模型中的曲柄軸輸入轉速設為零，在擺線輪上施加一個幅值大小為100N·m的負載扭矩，當系統(tǒng)受力達到平衡后，擺線針輪之間的傳力針齒數、嚙合點位置以及接觸力幅值變化情況如圖7所示。該結果中未考慮擺線齒廓修形影響，可以發(fā)現(xiàn)，實際傳力針齒數為8，正好是針輪全部針齒數的一半。在圖示位置中，針齒1所受接觸載荷幅值最小，為0.6N；針齒2所受接觸載荷最大，達到372N。沿著逆時針方向，各個針齒接觸載荷逐漸減小。

圖7　無修形擺線針輪多齒嚙合特性和接觸載荷分析

圖8　含修形設計時擺線針輪傳動嚙合特性和接觸載荷分析

圖8所示為在齒廓修形條件下擺線針輪之間的多齒嚙合接觸情況。當擺線齒廓移距修形量和等距修形量分別取0.046mm和0.060mm時，實際傳力針齒數僅為4，傳力最大針齒所受載荷為437N。由于齒廓修形量大，傳力針齒數少，故傳力最大針齒所受接觸載荷幅值會增大，這給保證齒面接觸強度、提高系統(tǒng)傳動能力帶來了負面影響。

圖9所示為負載扭矩增大到600N·m之后，修形擺線針輪之間的多齒嚙合接觸情況。與圖8比較可以發(fā)現(xiàn)，在修形量不變的情況下，負載扭矩增大后實際傳力針齒數增加，由之前的4增加到6，這是由于負載扭矩增大，擺線針齒彈性接觸變形增大，后續(xù)擺線針齒之間依次克服修形間隙實現(xiàn)接觸導致的。此外，傳力最大針齒所受載荷為2431N。

圖9　負載扭矩較大時擺線針輪嚙合特性和接觸載荷分析

在圖7～圖9的分析中，假定曲柄軸輸入轉速為零，僅分析在初始位置狀態(tài)下負載扭矩和擺線齒廓修形對針擺多齒嚙合接觸特性的影響。若給定曲柄軸勻速轉動條件，該方法也可以分析擺線針輪動態(tài)傳動條件下，針擺多齒嚙合接觸變化情況。在曲柄軸輸入轉速為1500r/min、負載扭矩為200N·m、移距修形0.046mm和等距修形0.060mm條件下，擺線針輪多齒動態(tài)嚙合接觸情況如圖10所示。

圖10　修形擺線針輪動態(tài)嚙合特性和接觸載荷分析

4結論

(1)本文基于多體動力學和彈性接觸理論，提出了一種可精確預估擺線針齒嚙合對數、確定接觸點位置并獲取接觸載荷幅值的動力學分析方法。該方法在擺線針輪多齒嚙合接觸特性和擺線齒廓修形設計、負載扭矩變化規(guī)律之間，建立起嚴格的映射對應關系。此外，借助MATLAB軟件，針對擺線針輪之間的動態(tài)嚙合接觸情況實現(xiàn)了可視化圖形顯示，便于工程分析。

(2)研究結果表明，擺線針輪傳動的實際傳力針齒數由齒廓修形和負載特性決定。在修形量一定的條件下，負載扭矩越大，經齒廓彈性接觸變形協(xié)調，擺線針輪接觸齒數就越多。

(3)本文方法具有一般性，對于具有不同傳動比的擺線針輪傳動系統(tǒng)，均能高效準確地完成齒廓修形以及負載變化條件下的傳力針齒數預估和接觸載荷計算。

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(編輯陳勇)

A General Method for Multi-tooth Contact Analysis of Cycloid-pin Gear Transmission

Xu Lixin1,2Yang Yuhu2

1.Tianjin Key Laboratory of High Speed Cutting and Precision Machining,Tianjin University of Technology and Education,Tianjin，300222 2.Tianjin University,Tianjin，300072

Abstract：In order to effectively reveal the influences of tooth profile modification, elastic contact deformation and load variation on multi-tooth meshing contact dynamic characteristics of cycloid-pin gear transmission, a general dynamics analysis method was proposed based on the multi-body dynamics theory and elastic contact theory, which might be used to exactly predict the engagement number in cycloid-pin gear transmission, locate the contact point and get the contact load. A multi-rigid-body system of cycloid-pin gear transmission was modeled firstly. Secondly, at any moment of numerical calculation, the contact conditions between the discrete points on cycloid gear profile and pins were checked to meet the requirements or not. Then, the maximum contact depth was determined and the normal contact force was calculated. Finally, the contact force was converted to the generalized force, and the dynamics equations of the cycloid-pin gear transmission system with multi-tooth meshing contacts were formulated. The effects of profile modification, elastic contact deformation and load variation on multi-tooth meshing contact dynamics characteristics of a specific cycloid-pin gear transmission system were analyzed. The results indicate that the real numbers of pins to transmit load are determined by the characteristics of tooth profile modification and external torque. For the cycloid-pin gear systems with different transmission ratios, the estimation of the numbers of pins to transmit load and the calculation of contact force can be finished efficiently and accurately by this approach.

Key words：cycloid-pin gear transmission；multi-tooth meshing；contact dynamics；multi-body dynamics

收稿日期：2015-07-02

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51305300)；國家高技術研究發(fā)展計劃(863計劃)資助項目(2011AA04A102)；中國博士后科學基金特別資助項目(2015T80220)

中圖分類號：TH113

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.10.017

作者簡介：許立新，男，1982年生。天津職業(yè)技術師范大學天津市高速切削與精密加工重點實驗室副教授，天津大學機械工程學院博士后研究人員。主要研究方向為精密擺線傳動、機械動力學及多體動力學。楊玉虎(通信作者)，男，1962年生。天津大學機械工程學院教授、博士研究生導師。