薄板結構低噪聲仿生拓撲優化方法

滕曉艷　江旭東　史冬巖

1.哈爾濱工程大學，哈爾濱，150001　　2.哈爾濱理工大學，哈爾濱，150084

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薄板結構低噪聲仿生拓撲優化方法

滕曉艷1江旭東2史冬巖1

1.哈爾濱工程大學，哈爾濱，1500012.哈爾濱理工大學，哈爾濱，150084

摘要：針對薄板結構的低噪聲設計問題，以結構聲輻射功率最小化為優化目標，借鑒植物脈序分枝結構的構型特征，提出了薄板結構加強筋布局的仿生拓撲優化方法。以結構應變能最小和釋放局部最大剪應力作為加強筋主脈和次脈的生長準則，以廣義Murray準則作為加強筋脈序的分歧準則，構造了具有脈序分級特征的加強筋自適應生長算法。以固支薄板結構的橫向彎曲振動及聲輻射問題為典型算例，對比分析了仿脈序分布加筋板結構的聲輻射功率和振動功率流的分布特性。數值結果表明，與相同體積約束下的正交加筋布局方式相比，仿脈序分布加筋方法使薄板結構具有更優的聲振特性，進而驗證了薄板結構加強筋仿生布局降噪方法的有效性與可靠性。

關鍵詞：仿生設計；加強筋布局；拓撲優化；薄板結構；低噪聲

0引言

加筋板殼結構具有質量小、強度高、剛度大等優點而被廣泛應用于船舶與海洋結構中。艦船薄壁結構中加強筋的布局方式與結構的聲振耦合特性密切相關，相應的吸振抑波能力將直接影響艦船的聲隱身性能。因此，通過結構優化方法，對振動聲源結構設計區域的材料、阻尼和剛度進行合理布局，對減小艦船水下輻射噪聲、增強艦船生命力無疑具有非常積極的作用。

在艦船實際結構中，加強筋分布形式多呈現平行、井字、米字或它們的簡單組合，研究工作主要通過優化加強筋形狀參數和分布間距來減小結構的機械振動噪聲[1-4]。上述方法盡管改善了結構的聲振耦合性能，但是傳統的加強筋分布方式未沿結構的最優傳力路徑布局，加強筋的分布構型并不是最優的。為了克服上述缺點，杜建鑌等[5-6]、史冬巖等[7]利用連續拓撲優化方法，通過優化材料在結構設計域內的拓撲分布來使諧振結構輻射聲場中的聲壓或聲功率最小化。由于連續拓撲優化方法將加強筋的設計問題轉化為結構的厚度分布設計問題，故無法直接獲得加強筋清晰的幾何輪廓與分布形態。

近年來，基于植物分枝結構的最優性及其成長原理[8-9]提出的結構仿生設計方法在板殼結構件加強筋布局優化方面已經取得初步進展[10-16]。丁曉紅等[10-11]通過研究植物根系形態形成機理，針對薄板結構的靜剛度與頻率優化問題，提出了薄板結構的加強筋自適應生長設計方法。Ji等[12]針對啟發式尋優算法的缺陷，采用準則法結合數學規劃法求解板殼結構加強筋布局優化問題，提出了基于卡羅需-庫恩-塔克最優準則的板殼結構加筋自適應成長方法。文獻[13-16]借鑒葉脈結構特征與分枝系統分布形態的最優性原理，針對薄板結構的靜態強度和剛度優化問題，提出了基于葉脈分枝結構的薄板結構加強筋布局仿生設計方法。現有的結構仿生拓撲優化方法局限于板殼結構的靜態強度、剛度和動力特性的優化問題，針對加強筋構型和分布形態的聲學優化設計方面的研究相對較少。

本文通過分析植物脈序不同結構層次(主脈和次脈)的功能結構、幾何構型和形態特征等規律及其原理，提取葉脈生長和分歧的力學準則。以結構聲輻射功率最小化為優化目標，基于板梁理論建立加強筋主脈和次脈生長的靈敏度公式，利用脈序分歧準則修正局部脈序的截面尺寸，構造具有脈序分級特征的加強筋自適應生長算法。通過典型薄板結構加強筋分布的聲學優化設計，對比分析原型薄板結構、正交加筋板結構和仿生優化結構的聲輻射功率和振動功率流特性，驗證加強筋仿生布局優化算法的可行性和有效性。

1板梁耦合結構的聲振理論模型

基于經典薄板和梁振動理論，建立加筋板聲輻射的板梁聲振理論模型。根據結構聲強理論，建立加筋板的振動功率流模型，從能量的角度分析板梁耦合結構振動能量的分布和傳播途徑。

1.1板梁耦合結構的簡諧振動

假設加強筋和薄板之間是剛性連接，在每個加強筋和薄板的線接觸處，加強筋和薄板具有在z方向上相同的位移和關于x、y軸的相同轉角(圖1)。單層加筋板的一側充滿流體介質(假設為空氣)，另一側受到簡諧激振點力F0ejωt的作用。基于Kirchhoff薄板理論，薄板單元的運動方程為

bp4wp+ρh=[F0δ(x-l)δ(y)+

(1)

4=(?2/?x2+?2/?y2)2

式中，wp為薄板的橫向位移；bp、ρ、h分別為薄板的彎曲剛度、密度和板厚；Fp(y)、Mpy分別為加強筋作用于板上單位長度的法向力和扭矩激勵；δ(·)函數表示作用力的位置與分布；ω為激振頻率。

圖1　簡諧力作用下的板梁耦合結構模型

基于Eluer-Bernouli梁理論，加強筋單元的運動方程為

(2)

(3)

式中，wb為加強筋的橫向位移；Fb(y)、Mby(y)分別為薄板作用于加強筋的反力和反力矩，滿足Fb(y)=-Fp(y)和Mby(y)=-Mpy(y)；ρ′、E、G分別為加強筋材料的密度、彈性模量和剪切模量； I、J分別為加強筋軸截面關于中性軸的慣性矩和關于截面中心的極慣性矩；A、I0分別為加強筋軸截面面積和轉動慣量。

1.2板梁耦合結構的振動功率流

對應于空氣噪聲的聲強法可以用來診斷結構缺陷、識別結構噪聲源、確定結構噪聲源的大小和判斷結構噪聲的主要傳播途徑，它是解決結構振動和噪聲問題的一種有效手段。結構聲強可以看作是功率流密度，對于薄板結構，結構聲強可以分解為沿x、y兩坐標軸方向上的分量，它們滿足如下關系：

(4)

(5)

對于一維梁而言，wb與坐標x無關，將式(4)、式(5)簡化，則加強筋的結構聲強表示為

(6)

1.3板梁耦合結構的聲輻射模型

在結構-聲輻射計算中，假設薄板結構鑲嵌于無限大障板上，加強筋只對結構振動有影響。忽略輻射聲場在流體傳播中的損失，不計結構對聲能量的吸收，因而輻射聲場中的聲能量與結構表面的聲輻射能量相等。

對于板梁耦合結構，單頻激振時振動表面的聲強Is和聲輻射功率W分別為

(7)

(8)

由板梁振動控制方程式(1)～式(3)，通過有限元法求解上述板的控制方程得到加筋板結構的振動響應。根據板梁結構聲強方程式(4)～式(6)，分析加筋板結構的振動功率流特性；由板梁耦合結構-聲輻射方程式(7)、式(8)，計算加筋板結構輻射聲場的聲強與聲輻射功率。

2加強筋仿葉脈布局優化算法

暴露在空氣中的葉片長期承受的機械載荷多為自然風激勵和雨水沖擊等動載荷，它在自然載荷的塑造作用下，經過長期的自然選擇，具有抵抗靜載荷作用的靜力學性能和承受動載荷激勵的動力學性能。若將葉片視為工程上的板殼結構，則葉脈可被視為其上分布的加強筋。葉脈是葉片剛度和強度的主要貢獻者，因此本文通過分析植物脈序的幾何構型、分布形態和諧振性能的力學關系，建立加強筋脈序生長的力學準則，以加筋板結構的聲輻射功率為目標，優化加強筋的布局形式，開展薄板結構低噪聲仿生拓撲優化方法研究。

2.1優化模型

由于聲輻射功率為激振頻率的函數，因此將聲輻射功率在優化頻帶內的平均值作為目標函數，則加筋板結構的聲輻射優化模型為

minW=1ωn-ω1∫ωnω1W(ω)dωs.t. Vm-ηmV0≤0 Vs-ηsV0≤0üty????

(9)

2.2加強筋脈序生長準則

植物分布形態的結構力說[17-18]認為，葉脈的承載能力由三級脈序決定，主脈尺寸最大，承受絕大部分載荷，各級次脈尺寸依次減小，承載能力逐級下降。如果將薄板結構中加強筋的分布構型作為準靜態下結構漸進生長的結果，并且生長過程遵循生物進化的最優化準則，那么加強筋生長的“自然選擇”過程和植物脈序形態的形成過程具有生物相似性。考慮到單層加筋板的結構特征，根據葉脈分布形態，從原型薄板結構出發，在材料體積約束下，提取葉脈主脈、一階次脈結構進行加強筋的低噪聲仿生布局設計。

2.2.1基于最小應變能的加強筋主脈生長準則

在葉片內部彈性應力場作用下，主脈的脈序細胞在形成層固定通道中遵循能量損耗最小原則生長，經過自然選擇進化為最終的平衡構型[17]。如果將主脈生長過程的能量流理解為結構的彈性變形能，則主脈的幾何構型與分布形態具有能量最優性。在簡諧激勵作用下，加筋板結構的彈性變形能不斷轉變為輻射聲場的聲能，因而可將加筋板結構應變能最小化作為加強筋主脈的生長準則。

在單頻簡諧激勵作用下，板殼加強筋結構的速度與位移關系為V=jωu(ω)ej(ωt+φ)，諧振結構的彈性應變能幅值為U(ω)=uT(ω)Ku(ω)/2。因此，諧振結構的彈性應變能與輻射聲功率具有正相關關系，則以彈性應變能最小化的主脈生長準則作為加強筋的主體布局準則是合理的。

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在優化頻帶內，加筋板結構的平均應變能幅值為

(10)

(11)

式中,αi為主脈脈序生長的靈敏度;ΔKi1、Δui1(ω)分別為主脈候選梁單元i生長前后總體剛度矩陣的變化量和結構節點位移列陣的改變量;Ki0為主脈候選梁單元i生長前的總體剛度矩陣。

根據式(11)，計算主脈候選梁單元i生長前后的加筋板結構的平均應變能靈敏度集{αi}，集合中的最小值對應的梁單元節點即為下一段主脈脈序的生長點。

2.2.2基于抑制最大剪應力的加強筋次脈生長準則

植物分布形態的結構力說認為，次脈的生長與剪應力密切相關，尤其是剪應力對脈序分歧處的矢量平衡起著決定性作用[8]。與植物根系的生長過程類似，次脈的生長和分布最大程度地抑制局部最大剪應力以達到剪應力的均勻性[9]。由此，以最大程度地削弱局部最大剪應力作為加強筋次脈的生長準則。

(12)

(13)

式中,“∶”為張量并積算子；βi為次脈生長的靈敏度;σ為加筋板結構的柯西應力張量;Δσ為次脈候選梁單元i生長前后柯西應力的改變量。

根據式(13)，計算次脈候選梁單元i生長前后的加筋板結構的最大剪應力均值靈敏度集{βi}，集合中最大剪應力在生長前后得到最大程度削減的次脈待生長點作為下一段次脈的生長點。

2.2.3主脈、次脈種子的選取原則

主脈種子的數量以及位置的選取要遵循“彈性應變能最小準則”。通過選擇結構邊界或邊界附近位置作為主脈種子，在主脈相同體積用量約束下，對比主脈脈序形成后的板梁復合結構的彈性應變能，具有最小彈性應變能的板梁復合結構即為具有最優主脈脈序布局的加筋結構。次脈種子位于主脈上的最大剪應力點，依據抑制最大剪應力的次脈生長準則進行生長，如果遇到基板邊界或主脈則終止生長。

2.2.4加強筋脈序分歧的矢量平衡

植物葉脈除宏觀上具有等級和閉環結構的特征外，局部脈序分歧處滿足基于廣義Murray準則的矢量平衡方程[18]。在加強筋脈序重塑階段，脈絡在分歧處微調脈序方向和寬度尺寸，脈序分歧準則遵循如下矢量方程：

(14)

式中,di為分歧處各段脈序的寬度尺寸;ei為脈序橫截面的單位外法向矢量;fi為分歧處各段脈序的寬度矢量。

2.2.5加強筋脈序的光滑處理

加強筋脈絡生長結束后，得到的最原始的加強筋分布通常都是形狀不太規整的粗糙的布局結果。因此，利用最小二乘法擬合脈序分布構型，最終獲得加強筋光滑的布局形式。

2.3優化流程

薄板上加強筋的設計過程是一個類似于植物葉脈的“生長進化過程”，加強筋脈序在加筋板的張量場中產生。脈序分為主脈和次脈，主脈在能量場中產生，從初始種子處開始生長，沿著使結構總體應變能最小的方向生長；次脈在應力場中產生，從主脈上最大剪應力處開始生長，沿著局部剪應力削減最大的方向生長。主脈、次脈在分岔處滿足矢量平衡方程，最后通過脈序光滑處理得到加強筋仿生構型,如圖2所示。

圖2　脈序生長算法流程圖

3典型算例

3.1對邊固支方板

方形薄板對邊固支，板的中心處受集中簡諧載荷作用(圖3a)。方板邊長L=0.8 m，厚度為0.01 m，加強筋主脈初始寬度dm0=0.01 m，初始高度hm0=0.016 m，次脈初始寬度ds0=0.005 m，初始高度hs0=0.016 m，主脈體積約束量為0.2V0，次脈體積約束量為0.1V0，簡諧激勵的幅值Fa=1 N,材料的彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，聲速c=342 m/s,，空氣密度ρa=1.21 kg/m3，聲功率參考值W0=10-12W,優化頻段ω為0～1200 Hz。

根據主脈種子選取的“彈性應變能最小準則”，在載荷作用處及兩固支邊的中點設置主脈種子，載荷處的種子向自由邊蔓延生長，形成“十”字交叉形狀，固支邊上的種子則以“八”字形延伸，最終兩股主脈交匯連接；次脈種子位于主脈上靠近薄板四角的位置，向固支與自由邊界生長形成輔助支撐。光滑脈絡的分布構型，通過矢量平衡準則修正脈序分歧處的截面尺寸，獲得加強筋脈序的最終布局形態。與相同體積約束下正交加筋布局方式相比(圖3b～圖3d)，仿生結構聲輻射功率的最大峰值為65.16 dB，低于正交加筋結構的最大峰值72.42 dB；在整個優化頻帶內，仿生結構聲輻射功率的平均值為48.01 dB，也低于正交加筋結構的平均值52.24 dB，因此仿生加筋布局設計能夠更有效地降低薄板結構的輻射噪聲水平，如圖4所示。

(a)對邊固支帶孔方板　 　 　(b)正交加筋板結構

(c)仿脈序加筋計算構型 　 (d)仿脈序加筋光滑構型圖3　薄板結構加筋布局方式對比

圖4　聲輻射功率對比

分析仿葉脈布局加筋薄板的振動能量流動特性，對比仿生結構與原型薄板結構的結構聲強，揭示仿生結構振動能量的分布和傳播機理，如圖5所示。原型結構能量主要集中于載荷作用點，同時向四周擴散，由于邊界條件為對邊固支，能量主要流向自由邊，所以在固支邊的附近能量分布相對較少。仿生脈序分布加強筋的存在改變了能量的傳遞路徑，促使能量沿著平行于加強筋的方向流動，而只有很小一部分能量能夠穿過加強筋進行傳遞。由于主脈的剛度大，距離激勵點近，所以由激勵源提供的能量主要向加強筋主脈傳遞。此外，觀察加強筋所形成的封閉區域可以發現，由于加強筋的阻礙，封閉區間內出現了渦流現象，這說明該區域內能量的流入與流出相等，振動能量是守恒的。

(a)原型薄板結構 　 　　(b) 仿脈序加筋板結構圖5　結構聲強矢量圖

3.2對邊固支帶孔方板

正方形薄板邊長L=0.4 m，厚度為0.04 m，板的中心開有直徑d=0.1 m的圓孔，對邊固支，如圖6a所示。加強筋主脈初始寬度dm0=0.006 m，初始高度hm0=0.01 m，次脈初始寬度為主脈的一半，初始高度與主脈相同，主脈體積約束量為0.2V0，次脈體積約束量為0.1V0。簡諧激勵力分別反向作用于左右邊界的中點，幅值Fa=1 N，材料的彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，聲速c=342 m/s，空氣密度ρa=1.21 kg/m3，聲功率參考值W0=10-12W，優化頻段范圍ω為0～1200 Hz。

根據主脈種子選取的“彈性應變能最小準則”，主脈種子設置在四個角點以及載荷作用處，主脈從邊界種子出發向圓孔自由邊界生長，次脈由主脈分歧生長，最后連接至固支邊界。化簡加強筋的原始布局，擬合原始脈絡和修正脈序分歧處的截面尺寸，獲得加強筋仿生脈序的最終分布構型。主脈在中部區域相對較粗，在分歧出其他脈絡后，脈絡截面處尺寸逐漸變小，主脈與次脈分布規整，適于機械加工。與相同體積約束下正交加筋布局方式相比(圖6b～6d所示)，仿生結構的聲輻射功率最大值為69.81 dB，低于正交加筋結構的最大值76.23 dB；從整個優化頻率范圍來看，仿生結構的聲輻射功率平均值為49.85 dB，也低于正交加筋解的聲輻射功率平均值54.56 dB，因此仿生結構能夠更有效地降低聲輻射功率，提高薄板的聲輻射性能，如圖7所示。

(a)對邊固支帶孔方板　 　 　(b)正交加筋板結構

(c)仿脈序加筋計算構型 　 (d)仿脈序加筋光滑構型圖6　薄板結構加筋布局方式對比

圖7　聲輻射功率對比

原型薄板結構由于是對邊固支的邊界條件，振動能量從自由邊上的激勵源流向圓孔方向，在靠近固支邊的區域，振動能量分布較為稀疏，如圖8a所示。仿生結構從激勵源流出的能量一部分像原型結構那樣朝著圓孔方向流動，同時受到加強筋形成的“圍墻”的限制，振動能量必須沿著加強筋的方向流至圓孔的周圍，孔的兩側聚集了更多的振動能量，而穿過加強筋的振動能量十分稀少；另一部分從激勵源流出的能量在遇到加強筋的障礙之后，只得沿上下兩個方向流回至自由邊界而無法越過加強筋進行傳遞，如圖8b所示。

(a)原型薄板結構 　 　　(b) 仿脈序加筋板結構圖8　結構聲強矢量圖

4結論

借鑒植物葉脈分枝結構分布形態的最優性原理，提取了植物脈序生長和分歧的力學準則，建立了仿脈序分布加強筋板梁耦合結構的仿生模型。以降低諧振結構聲輻射功率為設計目標，提出了薄板減振降噪的仿生拓撲優化方法。通過結構聲強理論分析了仿生結構的振動功率流特性，研究了結構的振動能量分布和傳輸特性。基于上述研究內容，獲得如下結論：

(1)同體積約束下，仿脈序分布加筋板結構在優化頻帶內的聲輻射功率顯著低于正交加筋板結構的聲輻射功率，仿生結構具有更優的減振降噪性能，驗證了薄板結構低噪聲仿生拓撲優化算法的有效性。

(2)除激勵源處以外，主脈處功率流最大，次脈次之，隨著離開激勵點距離的增大而逐漸衰減。加強筋的存在，相當于在板上施加了一個沿筋連續分布的線激勵，加強筋的存在改變了薄板中功率流的分布特性，主脈的剛度大，距離激勵點近，由激勵源提供的能量主要向加強筋主脈傳遞。

(3)加強筋分布主次分明，仿生布局具有更優的質量與剛度分布，結構降噪效能增強顯著，而且適于機械加工。把仿生布局優化方法應用于復雜形狀薄壁結構件的加筋布局設計問題，對典型板殼結構的工程應用將提供一定的理論與技術支撐。

綜上，通過對諧振板殼結構振動聲輻射的加強筋布局優化研究和對加筋板結構中振動能量傳遞、分布規律的研究，驗證了本文所提出的仿生優化方法能夠在實現結構輕量化的同時更為有效地降低結構振動的聲輻射，并且布局結果適于加工，可以應用于工程實際中的一些板殼結構的聲學優化問題。

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(編輯蘇衛國)

A Bionic Approach of Topology Optimization to Low Noise for Thin Plates

Teng Xiaoyan1Jiang Xudong2Shi Dongyan1

1.Harbin Engineering University, Harbin, 1500012.Harbin University of Science and Technology, Harbin, 150034

Abstract：Aimed at minimizing the acoustic radiation power of thin plates for noise reduction, a bionic approach of topology optimization was presented to address stiffeners layout of thin plates by co-opting the characteristic configuration of botanic venation branched structures. A primary vein growth of stiffeners was governed by minimal strain energy while a secondary vein growth of ones by releasing maximal shear stress. At each junctions, leaf veins were adjusted according to the general Murray criterion. Consequently an adaptive growth algorithm of stiffeners was established featured with hierarchical structure like leaf vein. Exemplifying the transverse bending vibration and resulting acoustic radiation for clamped thin plates, the acoustic radiation power and the distribution of vibrational power flow were analysed respectively for thin plates with stiffeners layout imitating botanic venation. The numerical results show that the stiffeners layout method to imitating botanic venation is superior to the orthogonal stiffeners layout method in vibro-acoustic characteristics subjected to the same volume constraints for stiffeners. Therefore the bionic layout method of stiffeners to noise reduction is valid or feasible for thin plates.

Key words：bionic design; stiffer layout; topology optimization; thin plate structure; low noise

收稿日期：2015-07-16

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51505096);黑龍江省自然科學基金資助項目(E2015026);中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(HEUCF150701);黑龍江省青年科學基金資助項目(QC2016056)

中圖分類號：TB532

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.10.013

作者簡介：滕曉艷，女，1980年生。哈爾濱工程大學機電工程學院講師。研究方向為結構振動與拓撲優化。江旭東，男，1977年生。哈爾濱理工大學機械動力工程學院講師。史冬巖，女，1965年生。哈爾濱工程大學機電工程學院教授。