基于Split-Bregman方法的CT內重建算法研究

張丹丹，張煜林

(中北大學 信息探測與處理技術研究所,山西 太原 030051)

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基于Split-Bregman方法的CT內重建算法研究

張丹丹，張煜林

(中北大學 信息探測與處理技術研究所,山西 太原 030051)

摘要：基于壓縮感知(CS)理論，可證明只要感興趣區域(ROI)可以表示為分段常數或多項式，CT內重建問題就可得到精確穩定的解.問題的關鍵是如何在截斷投影數據的約束下最小化感興趣區域的全變差(TV).與此同時，Split-Bregman方法在求解CT圖像重建TV最小化方面引起了很大關注.本文基于CS理論將Split-Bregman方法用于一個分段常數成像模型的ROI重建，并與傳統的SART和基于SART的軟閾值算法(STF-SART)進行比較.最后經Shepp-Logan模型數值模擬表明：該方法適用、有效.

關鍵詞：壓縮感知；CT內重建；全變差最小化；Split-Bregman算法；分段常數成像模型

0引言

在CT領域，內部問題即ROI重建問題，其在處理大尺寸物體、減少輻射劑量、提高時間分辨率等方面都有很大潛力.在無約束條件下內部問題并沒有獨特的解決方案，基于常規CT理論并不能從截斷的投影數據精確重建一個內部ROI.2007年，實驗證明如果ROI內的一個子區域是已知的，內部問題可以得到精確穩定的解[1-3].然而，在實際應用中要獲得一個子區域的精確信息非常困難，如心臟成像.基于壓縮感知，2009年Yu和Wang進一步證實如果ROI是分段常數或多項式，精確內重建可以通過最小化ROI的TV實現[4-5].

離散梯度變換(DGT)已被廣泛地用作稀疏算子，其L1范數被稱為TV，相應的TV最小化方法也被用于基于CS的CT重建中，包括內部問題.TV最小化可以通過最速下降法或其他優化方法來實現.2010年，Yu和Wang應用軟閾值濾波框架，通過構建DGT的一個偽逆變換實現了TV最小化[6].此外Split-Bregman算法在求解L1正則化問題方面引起了很大關注[7]，此方法對原來的L1正則化問題引入一個分裂變量后利用Bregman迭代求解[8].本文將Split-Bregman方法用于CT內部問題，并通過實驗研究該算法的可行性.

1基于TV最小化的CT重建模型

基于TV最小化的CT圖像重建問題可以表示為：

min‖f‖TV，s.t.‖Af-Y‖≤ε

(1)

其中A是投影矩陣，Y是投影數據，ε是測量誤差，

對于上述問題,通常引入懲罰項將其轉換為：

(2)

2Split-Bregman算法

式(2)表示的CT重建問題的Split-Bregman算法的主要步驟可以概括如下.首先引入兩個新的變量將式(2)轉換為：

(3)

然后引入懲罰項，將(3)轉換為：

(4)

(4)可由Bregman迭代求解：

(5)

(6)

(7)

(5)可由交替方向乘子法(ADMM)交替迭代更新f和d：

第一步可使用各種優化方法，考慮到CT重建矩陣A的特殊性，用最速下降法解決[9]：

fk+1=fk-αkgk

(8)

(9)

第二步可通過廣義收縮公式求解：

(10)

(11)

基于Split-Bregman算法的CT重建的具體流程為：

S2：使用(8)執行梯度下降法；

S3：計算中間變量dx，dy，bx，by；

S4：轉到S2，直到滿足停止標準.

3實驗設計及結果分析

本文采用一種改進的Shepp-Logan幻影圖像進行仿真實驗，幻影圖像包括一系列分段常數橢圓，由256×256個像素組成，每個像素覆蓋0.781 mm×0.781 mm的區域.掃描方式為圓軌跡扇束掃描，掃描半徑為500 mm，探測器為包含320個探元的等角探測器，扇角為0.49 rad.為了評估算法的性能，實驗在一次完整掃描中，等角采集不同數量的投影.為了進一步評估該算法的性能，實驗通過舍棄正弦圖兩側的80個探測器元件截斷投影數據，使其只覆蓋一個直徑121.83 mm的圓形ROI，如圖1(b)所示.

圖1　改進的Shepp-Logan模型

實驗在[0,2π)范圍內均勻采集450個角度下的投影數據，使用Split-Bregman算法進行重建，并與傳統的SART算法和STF-SART進行比較，迭代50次的重建結果如圖2所示.為了定量地評估所提算法的性能，本文采用均方誤差(MSE)作為評判標準.以迭代次數為橫軸，三種算法重建圖像的MSE為縱軸，畫出的坐標圖如圖3所示.可以看出，Split-Bregman算法在迭代初期就顯示出很大的優越性，重建結果明顯優于其余兩種算法.且對于ROI重建，TV最小化算法的重建圖像具有很高的精度.

圖2　450個角度下三種算法迭代50次的重建結果

圖3　三種算法重建圖像的MSE變化

為了評估Split-Bregman算法在稀疏角度內部重建方面的可行性，實驗在[0,2π)范圍內均勻采集60個角度下的投影，經過50次迭代的重建結果如圖4和表1所示.所得結論與450個視角的情況相似.

表1　60個角度下三種算法重建圖像的MSE

圖4　60個角度下三種算法迭代50次的重建結果

4結論

針對CT內重建問題，本文基于壓縮感知理論提出了一種Split-Bregman迭代算法，并通過仿真實驗與SART和STF-SART進行了比較.實驗結果表明，對于ROI重建問題特別是稀疏角度的情況，TV正則化(STF和Split-Bregman)算法明顯優于傳統的SART算法，且Split-Bregman算法在收斂速度和重建圖像質量方面又優于STF-SART算法.后續研究工作將基于GPU或者使

用有序子集方法等對Split-Bregman算法進行加速.

參考文獻：

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[6]Yu H, Wang G.A soft-threshold filtering approach for reconstruction from a limited number of projections[J].Physics in medicine and biology, 2010, 55(13): 3905.

[7]Goldstein T, Osher S.The split Bregman method for L1-regularized problems[J].SIAM Journal on Imaging Sciences, 2009, 2(2): 323-343.

[8]Yin W, Osher S, Goldfarb D, et al.Bregman iterative algorithms for /ell_1-minimization with applications to compressed sensing[J].SIAM Journal on Imaging Sciences, 2008, 1(1): 143-168.

[9]Cai J F, Osher S, Shen Z.Linearized Bregman iterations for compressed sensing[J].Mathematics of Computation, 2009, 78(267): 1515-1536.

[責任編輯：王軍]

Study on Split-Bregman algorithm for CT internal reconstruction

ZHANG Dandan，ZHANG Yulin

(Institute of Signal Capturing Processing Technology, North University of China,Taiyuan 030051, China)

Abstract:Based on Compressive Sensing (CS) theory, it can be proved that internal reconstruction of CT can get an accurate and stable solution as long as the region of interest (ROI) can be expressed as piecewise constant or polynomial.The key problem is how to minimize the total variation (TV) of region of interest under the constraint of the truncated projections.Meanwhile Split-Bregman method has caused great concern in solving the TV minimization problem for CT image reconstruction.In this paper, we apply the Split-Bregman approach to reconstruct an ROI for the CS-based interior tomography assuming a piecewise constant imaging model, and comparing with the traditional SART algorithms and soft thresholding algorithm based on SART (STF-SART).Finally Shepp-Logan model is applied as a test model to the simulation experiment, and the results shows that: this method is suitable and effective.

Key words:compressive sensing; Interior tomography; total variation minimization; Split-Bregman algorithm; piecewise constant imaging model.

中圖分類號：TP391.1

文獻標識碼：A

文章編號：1672-3600(2016)06-0026-04

作者簡介:張丹丹(1991-)，女，山西臨縣人，中北大學碩士研究生，主要從事圖像重建研究.

收稿日期：2015-10-20