求函數解析式的非常規武器

南京市大廠高級中學(210044)

雷亞慶●

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求函數解析式的非常規武器

南京市大廠高級中學(210044)

雷亞慶●

求函數解析式的常規方法主要是待定系數法和換元法，但是有時這些常規方法派不上用場，這時我們就需要掌握一些非常規武器來解決問題.下分別舉例說明.

一、配湊法

指的是用配湊(如配方，拼湊)的手段得到函數解析式的方法

所以f(x)=x2-2(x≤-2或x≥2).

例2 已知函數f(x)滿足：f(sinx)=cos2x，求f(x).

解f(sinx)=1-sin2x,

所以f(x)=1-x2(-1≤x≤1).

解題反思 上述例題如果直接用換元法求解時會遇到不好用所換元表示原有元的問題，這時配湊法就可以大顯身手了，但是配湊時要注意保證定義域的準確性

二、利用對偶式

三、利用奇偶性

例4 已知函數f(x)為奇函數，g(x)為偶函數,且f(x)+g(x)=x3+x2+1, 求f(x).

解 因為f(x)+g(x)=x3+x2+1 ①,

所以有f(-x)+g(-x)=-x3+x2+1 ②.

又因為f(x)為奇函數，g(x)為偶函數,

所以得-f(x)+g(x)=-x3+x2+1 ③.

①-③得： 2f(x)=2x3. 所以f(x)=x3.

解題反思 利用奇偶性，構造類似例3的對偶式使問題得解

例5 已知函數f(x)為定義在R上的奇函數，且x<0時，f(x)=lg(1-x),求f(x)的解析式.

解 因為函數f(x)為定義在R上的奇函數,所以f(0)=0.且x>0時，-x<0,f(x)=-f(-x)=-lg(1+x).

解題反思 利用奇偶性可以把所求區間轉化到已知的對稱區間，利用已知區間的解析式求出所求區間的解析式.

四、利用對稱

1.利用軸(直線)對稱

例6 求與函數f(x)=x2-2x圖象關于直線x=2對稱的函數g(x)的解析式.

解析 點P(x,y)為函數g(x)圖象上任意一點，則點P關于直線x=2對稱的點的坐標為P′(4-x,y).

由題意點P′(4-x,y)在函數f(x)=x2-2x的圖象上,

所以y=(4-x)2-2(4-x), 即y=x2-6x+8.

所以g(x)=x2-6x+8.

解題反思 實際上我們可以把問題一般化得到如下結論：與函數y=f(x)圖象關于直線x=a對稱的函數為y=f(2a-x).

2.利用中心(點)對稱

例7 求與函數f(x)=x2-2x圖象關于直線(2,1)對稱的函數g(x)的解析式.

解析 點P(x,y)為函數g(x)圖象上任意一點，則點P關于點(2，1)對稱的點的坐標為P′(4-x,2-y).

由題意點P′(4-x,2-y)在函數f(x)=x2-2x的圖象上，所以2-y=(4-x)2-2(4-x), 即y=-x2+6x-6.

所以g(x)=-x2+6x-6.

解題反思 實際上我們也可以把問題一般化得到如下結論：與函數y=f(x)圖象關于點(a,b)對稱的函數為：y=2b-f(2a-x).

五、利用周期性

例8 已知函數f(x)滿足f(x+4)=f(x)，且0≤x≤1時f(x)=x2，求x∈[4,5]時，函數f(x)的解析式.

解析 由f(x+4)=f(x)可知函數f(x)是周期函數，4是它的一個周期, 所以x∈[4,5]時，x-4∈[0,1],f(x)=f(x-4)=(x-4)2.

解題反思 利用周期把所求區間退回到已知區間使問題得解.

六、利用遞推關系

例9 已知函數f(x)滿足f(x+1)=2f(x)，且0≤x≤1時f(x)=x2，求x∈[-3,-2]時，函數f(x)的解析式.

解題反思 利用遞推關系將所求區間一步一步轉化到已知區間，利用已知區間的解析式求出所求區間上的解析式，使問題順利解決.

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1008-0333(2016)22-0033-01