淺談數學歸納法及其應用

謝雨嫣

【摘要】數學歸納法是一種證明與正整數有關命題的極為有效的科學方法，其應用十分廣泛。從初中接觸數學歸納法開始，它就和我們結下了不解之緣。了解數學歸納法的發現和發展的歷史，是掌握數學歸納法的基礎。理解數學思想方法和原理，是掌握數學歸納法的重要途徑。運用數學歸納法思想于生活中解決實際問題，是學習數學歸納法的目的

【關鍵詞】數學歸納法;遞歸

數學歸納法是一種證明與正整數有關命題的極為有效的方法。從它被納入初中數學教學大綱就可以看出它的重要性。在實踐中，用于證明問題的方法越來越多，但首選還是數學歸納法，因為它是最直觀、最簡便的。

一、數學歸納法的內涵

數學歸納法是一個很重要的證明方法，從數學歸納法被發現、發展到實用，關于它的相關知識逐漸豐富到逐步完善。了解數學歸納法的發現和發展的歷史，是掌握數學歸納法的基礎。理解數學思想方法和原理，是掌握數學歸納法的重要途徑。數學歸納法的靈魂是遞歸思想，掌握它不但能培養我們以數學思想思考問題的習慣，還能提高我們總結經驗、歸納規律的能力。

（一）數學歸納法的本源

先從少數的事例中摸索出規律，再從理論上來證明這一規律的一般性，這是人們認識客觀法則的方法之一。以小孩子識數為例。他們剛開始都是從一學起，一直學下去，直到某一時刻，他們領悟了，所有的數字都會數了。這是一個認識的飛躍，竟從有限躍到了無窮！這就是一個規律的總結。解釋這個飛躍現象的原理，就是數學歸納法。數學歸納法大大地幫助我們認識客觀事物，由簡到繁，由有限到無窮。

我們認識事物的時候，會自然的總結事物的規律，用一種設想將事物給描述出來。當我們對事物有了新的認識的時候，我們要推翻前面的設想，再總結出一個新的設想。首先我們可以把對該事物最基本的認識做為第一個命題，這是能夠保證其正確性的;如果我們可以證明在此基礎上的第k個認識是正確的時候，第k+1個認識也是正確的，那么，這一系列認識就全部正確。前面的例子也很直觀的說明了這個問題。

（二）數學歸納法的發展歷史

正整數可以說是人們最先認識的數學概念之一。關于正整數，人們最初只是對有限個正整數的問題進行處理。而正整數是一個無限集。人們研究正整數就不可避免的要涉及到無限集的問題。但人們不可能對正整數做無限次的操作，所以人們只有通過某種方法來實現以有限次的操作去獲取無限集的某些性質，來研究涉及無限集的問題。

1893年，意大利數學家皮亞諾建立起正整數的公理體系，他把數學歸納法作為一條公理納入他的正整數公理系統之中。其形式一般為：

“如果一個由正整數組成的集合S包含有1，又如果S包含有某一數a，就必然也包含有a的后繼（即a+1），則S就包含所有的正整數。”

此后，數學歸納法成為證明關于正整數的命題的首選方法，并且又發展出若干變型，如第一數學歸納法，倒推數學歸納法等。

（三）數學歸納法的本質

對于數學歸納法本質的認識，是學習數學歸納法并能正確應用數學歸納法的關鍵。

數學歸納法被明確提出并廣泛應用的很長一段時間里，它的邏輯基礎仍是不明確的。直到1889年，意大利數學家皮亞諾發表了《算術原理新方法》，建立起關于正整數的5條公理，才使嚴格意義下的數學歸納法得以進一步明確。

正整數五條公理：

（1）1是正整數;

（2）1不是任何正整數的后繼者;

（3）每一個正整數a都是一個后繼者;

（4）若a與b的后繼者相等，則a與b也相等;

（5）若有一個由正整數組成的集合S含有1，又若當S含有任一數a時，它一定也含有a的后繼者，則S就含有全部正整數。

正整數理論的建立，標志著數學歸納法邏輯基礎的奠定。數學歸納法原理可表述為：設p（n）是與自然數n有關的一個命題，如果p（1）成立，若p（k）成立，則p（k+1）成立，那么p（n）對一切正整數n都成立。

數學歸納法有著許多變種，但它的本質還是“1對;假設k對，k+1也對”，理解它并掌握，那么我們也可以變著法子來運用。

在數學歸納法的證法里，它的兩個命題都是不可缺少的。即便它是對在n等于1乃至n等于1萬都成立，它對于任何自然數是否都成立呢？這卻是并不一定的。這樣，對于后面那個命題，一般不會被我們遺忘。但是，值得注意的是，我們不能以為“當n=1時，這個命題是正確的”這句話簡單而忽略它。在證題時，如果只證了“假設當n=k時，這個命題是正確的，那么當n=k+1時，這個命題也是正確的”，那么這個證明是不完整的、不正確的，它甚至會得出非常荒謬的結論。

如：所有的正整數都相等。

這個命題顯然是荒謬的。但是如果我們忽略掉“1對”，那么可以用那個不完整的“數學歸納法”來“證明”它。

首先，我們假設“第k-1個正整數等于第k個正整數”是正確的，即k-1=k;

這時兩邊都加1，則得k=k+1，即

“第k個正整數等于第k+1個正整數”也是正確的。

這樣，我們就得到了所有的正整數都相等這個結論。所以說，數學歸納法的2個組成部分是缺一不可的。

數學歸納法與一般歸納法的根本區別在于，數學歸納法具有明確的論證意識，通過應用歸納法步驟和傳遞步驟來確保論證的嚴密性和正確性。龐加萊很明確的指出了普通歸納法和數學歸納法的本質區別，他說：“我們必須承認，這和通常的歸納程序有及其相似之處。但是，其中有一個根本的不同。歸納法，當其應用于自然科學時，常是不確定的，因為它的基礎是相信宇宙中有一種普遍順序，一種在我們之外的順序。相反，數學歸納法，即遞歸證法，把自然視為一種必然，因為它不過是心靈本身的一種性質……”。

（四）遞歸函數

遞歸思想是數學歸納法的靈魂。一般來說，遞歸函數是一個在正整數集上定義了的函數。首先，有定義;其次，如果知道了，……，，那么也就完全知道了。

如：由

定義了一個遞歸函數。通過計算，可以知道=1，?=2，?=4，=7，……，從而可以得出這個遞歸函數就是

這個等式就變成一個需要“證明”的問題。而由數學歸納法可以很輕松的解決這個問題。

二、數學歸納法的數學應用

（一）代數恒等式方面的應用

例 1：等差數列的第n項，可以用公式

表示。這里，a1是它的首項，d是公差。

證明：當n=1時，，（1）式是成立的。

假設當n=k時，（1）式成立，那么有

=

=

所以當n=k+1的時候，（1）式也是成立的。

綜上所述，對于所以的n，（1）式都是成立的。

例 2：等差數列前n項的和，可以用公式

表示。這里，是它的首項，是公差。

證明 ??當=1的時候，?=，（2）式是成立的。

假設當=k的時候，（2）式是成立的，那么

=

=

=+

所以當n=k+1的時候，（2）式也是成立的。

綜上所述，對于所以n，（2）式都是成立的。

這一個公式我們經常應用它解決一些數學題目，以前單純的相信它，而不去思考它的正確性。但是現在我們在使用一個公式前都應該先運用自己已有的知識去嘗試證明它，去思考它是怎么歸納出來的。這個時候，數學歸納法將是我們最好的幫手。

（二）不等式方面的應用

例3：求證n個非負數的幾何平均數不大于它們的算術平均數。

n個非負數，，……，的幾何平均數是;

算術平均數是

所以本題就是要求證明：

證明 ?當n=1時，（3）式顯然成立。

假設0<≦≦……≦

如果，那么所有的（j=1，2，……，n）都相等，（3）式顯然成立。

進一步假設<，并且假設

成立。顯然（4）式的右邊<

因為 ??=

= ?+

把等式兩邊都乘方n（n 1）次，并且由

> ?+ （a>0，b>0）

可知

>

+n（）

=

≧

=……

所以

≦

也成立。于是定理得證。

上題可以說是不等式證明方面的一個比較輕松的例題。因為對于不等式方面的證明并不像恒等式那么直觀，所以僅僅是會生搬數學歸納法的證明公式已經無法滿足解題需要，我們必須理解數學歸納法的思想才能靈活應用。

運用數學歸納法思想于生活中解決實際問題，是我們學習數學歸納法的目的。數學歸納法不僅僅只是一個證明數學問題的證明方法，它包含了一個很好的看待事物的思想。在日常生活中以數學歸納法的思想看待問題可以幫助我們很輕松的解決一些看起來很復雜的問題。

數學歸納法的靈魂是遞歸思想。貫徹好數學歸納法的思想，不但可以幫助我們做“進”的思考，還能輔助我們做“退”的思考。把一個比較復雜的問題，“退”成最簡單最原始的問題，把這個最簡單最原始的問題想通了、想透了，然后再用數學歸納法來一個飛躍上升，于是問題就迎刃而解了。

在實際生產中，運用數學歸納法的實例也是比比皆是，如氣象工作者、水文工作者，地震工作者依據積累的歷史資料作氣象預測，水文預報，地震預測用的就是歸納法。在我們普通人的生活中，比如排隊對齊問題，運用老師教的經驗我們很快就整齊了，可是這些經驗是怎么出來的呢？這就好像我們一直知道“1+1=2”，可是它為什么等于2呢？真正貫徹數學歸納法于思想中，認識事物將從本質出發，或許還能留下一些經驗給后人以方便。