巧用質因數

李向東

分解質因數是研究整數的一個重要方法，在實際問題中有著廣泛的應用，且這類問題的靈活性大，趣味性強，探究這類問題的解法，對培養和提高解題能力具有重要的作用。

【例1】一袋糖有96顆，小明每次拿出的顆數相同，（不一次拿出，也不一粒一粒地拿出，）最后一次正好拿完。小明共有幾種拿法？

【分析與解】小明每次拿的顆數與拿的次數的乘積等于96，將96分解質因數，根據96=1×2×2×2×2×2×3可知，兩個自然數的積為96有6種情況：

1×（2×2×2×2×2×3）=1×96，

（1×2）（2×2×2×2）=2×48，

（1×2×2）（2×2×2×3）=4×24，

（1×2×2×2）（2×2×3）=8×12，

（1×2×2×2×2）（2×3）=16×6，

（1×2×2×2×2×2）×3=32×3。

由于“不一次拿出，也不一粒一粒地拿出”，所以第一種情況應該去掉。其余每個算式都可以看作兩種拿法。如：4？4可以看作每次拿4顆，拿24次，也可以看作每次拿24顆，拿4次。因此，一共有10種拿法。

【例2】五（1）班同學植樹210棵，每人植樹的棵樹相同。若從其他班調來5人，那么每人就少植1棵樹。五（1）班同學有多少人？

【分析與解】因為樹是210棵，210=學生人數×每人植樹的棵樹，所以學生人數是210的一個因數。我們可以把210分解成質因數：210=2×3×5×7。根據“210=學生人數×每人植樹的棵樹”應將210寫成兩個自然數相乘的形式。我們對210的因數進行適當組合可得到以下幾種不同的情況：

210=2×（3×5×7）=2×105

210=（2×3）×（5×7）=6×35

210=（2×3×5）×7=30×7

210=3×（2×5×7）=3×70

210=5×（2×3×7）=5×42

210=（5×2）×（3××）=10×21

210=（7×2）（3×5）=14×15

210=1×210

再由題意“若從其他班調來5人，那么每人就少植1棵樹”可知，變化后一個因數比原來大5，另一個因數比原來小1。根據這個條件，我們可以從以上幾種形式中找出符合題意的兩種：210=6×35，210=30×7。其中比另一個因數小5的數就是學生的人數，即五（1）班同學有30人。

【練一練】

1.四個連續自然數之積是360，其中最大的數是幾？

2.四年級某學生參加數學競賽，他獲得的名次、他的年齡、他得的分數的乘積是2910。這個學生得第幾名？成績是多少分？