高中數列知識在消費和理財中的應用

劉品希

針對實際生活中商品選購的分期付款問題，可用高中數列知識建立數學模型，探求每期付款的數額，剩余金額的本息構成.如此便可從理財的角度分析銀行分期付款中的利息收益了.

在銀行的利息計算中，計算單利時要用到等差數列，計算復利要用到等比數列;在馬爾薩斯人口論中，把糧食增長喻為等差數列，而把人口增長喻為等比數列……這些都說明，數列在科學事實和生活事例中有很廣泛的應用.

下面我們來重點分析等差數列、等比數列在銀行分期付款（理財）活動中的應用.

一、 在銀行理財品種中，數列的應用及數學模型的建立

針對銀行理財中的存款問題，用數列方法來分析，可建立兩個基本的數學計算模型（具體推導省略）.銀行中的零存整取（整存零取）是單利，符合等差數列模型，其數學計算模型是：本息和=每期存入金額×[存期數+ 存期數×（存期數+1）×（1/2）×利率] ?（公式1）.定期自動轉存是復利，符合等比數列，其數學計算模型為：本息和=每期存入金額 ×（1+利率） ×存期（公式2）.

二、用數列的方法探究分期付款中的數學計算模型

隨著國家積極財政政策的推行，為了刺激人們的消費欲望，銀行聯合商家推出了商務分期付款消費方式.在分期款中，普遍實行按月等額還本付息模式，有如下特點：①每期付款額相同，時間間隔相同;②每期付款的利息按復利計算;③各期所付的款額連同到最后一次付款時所生成的利息和，等于商品售價及從購買到最后一次付款的利息和.但每每涉及分期付款消費時，每期付款額是如何得來的？若干期后，還應歸還銀行多少本金？人們往往很難做到心中有數.

現舉例研討如下：若貸款數為A元，貸款利率為p，還款方式為分b期，每期等額還本付息a元，第n期還款后的本金為An元.

1. 分期付款中，第n期還款后的本金余額的確定

在分期付款中，每次還款后的本金余額為：

A1 = A（1+p）-a， ?A2 = A1（1+p）-a =A（1+p）2-（1+p）a-a， A3 = A2（1+p）-a = A（1+p）3-a（1+p）2-a（1+p）-a……以此類推，An = A（1+p）n -a（1+p）n-1-a（1+p）n-2-…-a（1+p）0 ?（*）

將（*）變形，得 （An+1-a/p）/（An-a/p）=1+p. 由此可見，{An-a/p}是一個以A1-a/p為首項，1+p為公比的等比數列，那么應用等比數列求和的公式，求得：

An=A（1+p）n-a[1+（1+p）+…+（1+p）n-1]，整理后，得：An= A（1+p）n+[a-a（1+p）n]/ p.

根據上述表達式，建立的數學模型是：第n期分期付款后本金余額=貸款額×（1+利率）還款期數+[每期還款數額-每次還款數額×（1+利率）還款期數]/ 利率. （公式3）

2. 分期付款中，每期等額付款金額的確定

同樣用上述數列分析方法，還款b次后的本金余額即：Ab=A（1+p）b-a（1+p）b-1-… -a（1+p）0 =0，利用等比數列求和公式，整理出，Ab= A（1+p）b+[a-a（1+p）b]/ p=0，推導出：a=p×A（1+p）b / [（1+ p）b-1].

根據上述推導，總結出數學模型：每期還款額=利率×貸款額×（1+利率）分期數/ [（1+利率）分期數-1].（公式4）

以上綜合運用等比數列、等差數列知識，建立起4種數學模型，找到了商家分期付款中等額本息和本金余額的來龍去脈.

三、運用數學模型，分析探究分期付款中銀行的本息構成及收益

媽媽要給我買一臺電腦，電腦售價為4 800元，我和媽媽商定采取1年內4期付款方案.我要明明白白探究清楚每期付款額中，等額付款的金額是多少，本金占多少，利息占多少（建行2015年1月公布的一年之內的貸款年利率為5.6%，一年之內的定期利率為2.6%，分期付款手續費為0.6%）.設定每次等額還款金額為a，剩余本金為An.

1.按照商家提供的分期付款方式，計算貨款的本息

按照商家的說法，一年內的分期付款無利息，只按貨款每月0.6%的固定手續費的方式計算還款本息額. 我計算出，每次付款等額本息是：a=4 800/4 + 4 800×0.6%×3=1 286.4元 ，其中還款本金為1 200元，利息為86.4元。據此得出一年的利息是345.6元.

2.采取銀行的貸款方式，探究貨款的利息及每期還款的本金余額、本息構成

將全額貨款采取四次分期付款的模式從銀行貸款，按照復利計算出支付的全部利息.我應用先前數列知識推導出的公式（4），其中3個月的貸款利率為：5.6% /4=1.4%，求出每期等額還款金額：a=1.4%×4 800×（1+1.4%）4 / [（1+1.4%）4-1]=1 242.01元，一年貸款利息是：（1 242.01-

1 200）×4=168.04元.

我采取先求出每次付款的本金余額，再用前一次的本金減去后一次本金余額方法，求出每次分期付款的本金及利息.我應用公式（3），其中每季度的利率為1.4%，分別計算出4次還款后的本金余額得：A1= 4 800×（1+1.4%）1 + [1 242.01-1 242.01×（1+1.4%）1] / 1.4%=3 624.99元，

依次推出A2=2 433.6元;A3=1 225.22元;A4=0.05元.

利用上述本金余額的計算結果，算出每次還款本金和利息如下：第1次還款中，本金是：4 800- A1=1 175.01元，利息是1 242.01-1 175.01=67元;依次推出第2次的本金是：A1- A2=1 191.39元，利息是1 242.01-1 191.39=50.62元;第3次的本金是：1 208.38元，利息是33.63元;第4次的本金是：1 225.17元，利息是16.84元.我支付電腦款的貸款利息總和是：67+50.62+33.63+16.84=168.09元.

注：由于小數點后數字四舍五入的原因，計算中出現了一點誤差，A4沒有等于0，有0.05元的誤差，也致使兩種算法的利息總和168.04元、168.09元，有了0.05元的誤差，這里不考慮它對數據分析的影響.

3. 嘗試貨款存入銀行，計算理財利息

做如下假設：我將4 800元的電腦貨款，一是采取零存整取的方式，平均分成4份，每三個月存入銀行一次;一是采取三個月的定期轉存的方式，分別采取計算12個月后的收益如下：

零存整取的利息：我應用公式（1）計算出電腦款本息和：1 200×[4+4×5×1/2×（2.6%/4）]=4 878元，我的存款利息：4 878-4 800=78元.

定期轉存的利息：我應用公式（2）計算出本息和：1 200×[1+（2.6%/4）]×4=4 926元，我的存款利息：4 926- 4 800=126元.

4.比較銀行在分期付款、貸款及儲蓄理財中的收益

同樣是購買電腦的4 800元的貨款，我采取直接從銀行貸款、分期付款等方式支付，與定期將部分貨款存入銀行的理財收益做比較如下：

四、總結體會

1. 通過上述收益比較，印證了一句俗語——買的沒有賣的精 .

一是商家說的，一年之內分期付款，沒有利息，只有手續費，實際上手續費不但包含了貸款利息，也包含了一定的代辦費用;二是在分期付款中，商家沒有按規定擔負分期付款的50%的手續費，而是通過銀行暗箱操作，將全部費用都轉移到了消費者的身上，這從（表一）中分期付款和貸款支付的利息數據中可以印證;三是儲戶無論采取哪種存款理財方式，收益遠不及銀行同期貸款收益的一半.

2.運用數列知識探究出了個人投資理財和分期付款本息的數學計算模型，解決了它在理財中的一些應用問題.這次學習研究不但有助于學生深入理解消化課本上的數學知識，而且增強了學生對數學在日常生活中廣泛應用的理解和認識.