利用“旋轉”解決“線段數量關系”的問題

李秀芳

“旋轉”是屬于“圖形與變換”中的一種變換，是義務教育階段數學課程中“空間與圖形”領域的一個重要內容，在教材中占有重要的地位。“圖形的旋轉”是課改后新增的內容，也是近幾年中考的熱點題型。運用“旋轉”的全等變換，可以證明線段與角相等或和、差、倍、分的數量關系。在具體問題中，學生往往想不到用“旋轉”，缺乏利用“旋轉”解決問題的意識，也不知道什么時候該用“旋轉”，怎么“旋轉”。所以，我設計了這節利用“旋轉”解決線段數量關系問題的專題課。在本節教學中，以學生為主體，教師為主導，以小組合作學習為載體先自學討論，再師友展示講解，最后探究出解題方法，激發學生解決問題的欲望，也增加了學生學習的信心和勇氣。

教學片段分析：

問題（1）方法引領

如圖1所示，在等邊三角形ABC內有一點P，連接AP、BP、CP，∠APB=150°，求證：PC2=AP2+PB2。

小明思考后發現，可以將△ABP繞點A逆時針旋轉60°得到 △ACP′，連接PP′，可以利用“旋轉”和全等的知識得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決。

【自學指導】

小組合作學習討論下面的思考問題，完成證明過程。

1.小明為什么會想到“旋轉”三角形？根據哪些已知條件可以用旋轉？旋轉角是多少？

因為有公共端點的相等線段AB=AC，旋轉后AB會與AC重合。旋轉角為60°。

2.為什么要旋轉？（旋轉的作用是什么）

因為旋轉前后圖形全等，所以通過旋轉可以轉移相等的線段、相等的角，可以將分散的線段轉移在同一個三角形中。

3.為什么旋轉60°？旋轉60°后得到什么三角形？

因為旋轉60°后，AB和AC重合，同時∠PAP′=60°，會出現等邊三角形，從而轉移相等線段。

【解題思路點撥】

由結論入手

【方法點撥】

1.構造旋轉圖形的前提條件是什么？

有共端點的等線段。

2.遇到有60°的等線段，如何旋轉？

若遇60°，可旋60°，構造新等邊三角形。

3.旋轉的作用是什么？

轉移線段、轉移角。可以將分散的線段轉移在同一個三角形中。

4.通過旋轉圖形，可以解決什么問題？

解決有關“線段之間數量關系”的問題。

問題（2）實踐探索

如圖2所示，A、B、C、D、分別是圓O上的點，AB是圓O的直徑，點C是弧AB中點，求證：（AD+BD）2=2CD2

【自學指導】

小組合作學習討論下面的思考問題：

1.看到結論（AD+BD）2=2CD2，你想到了什么知識？

勾股定理中直角三角形三邊關系。

2.你認為利用什么方法可以將AD、BD、CD轉移到同一個三角形當中？

利用旋轉三角形，轉移線段轉移角，將分散的線段轉移到同一個三角形當中。

3.請畫出圖形，分析解題思路。

【師友展示要求】

學友：講解解題思路。學師：解答思考問題。

思考：此題BD、CD、AD還有怎樣的等量關系？為什么？

【方法點撥】

遇到有90°的等線段，如何旋轉？

若遇90°，可旋90°，構造新直角等腰三角形。

問題（3）拓展提升

已知：如圖3所示，A、B、C、D分別是圓O上的點，AD是∠CDB 的平分線，且∠CAB=α（α為鈍角），請問BD、DC與AD之間存在怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并證明。

自學指導：參考前兩問的學習，思考解題思路并畫出圖形。小組合作討論解題方法。

【方法點撥】

遇到一般的等腰三角形，如何旋轉？

若遇等腰，可旋頂角，構造新的等腰三角形。

通過本節課的學習，目的是使學生能在具體問題中發現圖形“旋轉”的條件，學會“旋轉”的方法，理解“旋轉”的作用以及“旋轉”可以解決的問題，培養學生利用“旋轉”解決問題的意識。

編輯 韓 曉