方程組解的Global—Local算法

李東方　胡夢薇

摘 要 對于代數中所講的求解方程組的方法，大家都很熟悉，但是在遇到比較復雜的方程形式時，求解的復雜程度就會隨之增加。本文我們給出一種統計求法，稱為全局-局部分析方法或者Global-Local算法。

關鍵詞 方程組 試驗設計 穩定性 信息分解比

中圖分類號：O151.2 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.04.030

Abstract We are familiar with the algorithm of the equation set from the algebra. But the algorithm will become more complicated when the equation is more complicated. This paper gives a new algorithm using the designs of experiments， called GL Algorithm （Global-Local Algorithm）.

Key words equations； designs of experiments； stability； information-decomposition ratios

眾所周知，方程組的求解是線性代數課程研究和討論的一個重要問題。在物理、化學、生物、經濟管理和預測、產品質量控制、工程等學科領域的許多問題，最終都轉化成了方程組的求解問題。因此，對方程組的求解研究有重要的理論意義及應用價值。求解方程組的通常方法，大家都很熟悉，但是在遇到比較復雜的方程形式時，求解的復雜程度也會隨之增加。本文我們給出一種統計求法，稱為全局-局部分析方法或者GL算法。在這里我們除了關心解的精確度之外，還關心解的穩定性，這對許多實際問題都有著重要的價值。

1 GL算法介紹

全局-局部分析方法（Global-Local算法）是華東師范大學張應山教授在文獻中提出的，文獻中有詳細的理論介紹和算法步驟，在這里我們不再累贅，直接運用此法。

2 問題轉化

考慮方程組的一般形式

求解關于自變量的穩定中心，使得 =1。在求解方程時無波動是最小的要求，用GL算法求解的中心點，可以使得在此點處函數 的波動最小，這對于許多實際問題有穩健性的意義。

我們選取適當的試驗容差（ ，…， ），選取合適的正交表（…），利用上面已知的函數（2），用計算機獲得數據并用GL算法對原方程組的解進行判斷。

3 實例分析

下面我們進行數據分析：

（1）觀察控制指標，由于都很小，說明在這個初始穩定中心處的扭曲度確實相對比較小，符合初始穩定中心的定義。由于，這說明偏離度相對過大，需要進行線性調優。

（2）觀察線性調優信息分解比向量，由于，說明線性調優的因子是。

（3）觀察線性調優中心點。由于∣∣>（6 ，6），并且不在所考慮的因子的取值范圍[0，4]內，說明不能用線性調優，但調優因子的原試驗中心可以減小偏離度。這說明，在線性調優方向和有目標信息分解比表調優方向一致的時候，要根據因子的有目標信息分解比表來減小偏離度。

（4）觀察扭曲度信息分解比。由于，說明因子是扭曲度調優因子。這說明根據因子用有目標信息分解比表進行調優可減少扭曲度。

（5）觀察有目標信息分解比表。由于，，說明有目標信息分解比表確定的因子的調優水平是2水平，的調優水平是0水平。

分析結論：應該用因子，進行有目標信息分解比表調優，將原試驗中心 = 0調向 = + = 1， = 4調向 = = 3。我們應將試驗中心（0，0，4）調整到（0，1，3）。

隨后又經過計算分析發現，又要將試驗中心（0，1，3）依次調整到（0，1，2），（1，1，2），（1，1，1），（2，1，1），（2，2，1），最終調整到（3，2，1），此時分析表與指標變為：

4 結論

在實際問題中，方程組（1）可能有無窮多解，可能有唯一解，亦可能無解。但是無論哪種情況，Global-Local算法都將給出一個解。在方程組（1）有無窮多解時，我們所求的解是解中最為穩定的那一個；在方程組（1）有唯一解時，我們所求的解就是這個唯一解；在方程組（1）無解時，我們所求的解是使方程條件最接近滿足的那個解。這對生活中的許多實際問題有著非常重要的意義。

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