懸點做勻速圓周運動的擺的運動情況研究

胡楊麗江 陳聰 徐娜 柴溢 金堅毅 文一帆 馮艦銳

【摘 要】一根忽略質量線和重物可構成一個擺。當擺的懸掛點在水平面上做圓周運動的時候，其運動情況與懸點圓周運動的半徑、角速度、懸線長度、擺球質量等量有關。文章從受力分析著手對擺的軌跡方程進行推導發現，理想條件下其穩定狀態有2種，一是相位滯后為的情況，二是相位相同的情形。這2種情況分別又有從不穩定態到穩定態的“暫態”過程；考慮空氣阻力后，與理想條件下相差極小，然后以實驗驗證此理論結果正確。

【關鍵詞】懸點做勻速圓周運動的擺；滯后的擺；軌道；空氣阻尼

【中圖分類號】O314 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-0688（2016）11-0058-03

鐘擺運動的研究是一個經典物理問題，而簡單的鐘擺是一種在物理和非線性振蕩等現象研究中的范例動力學，在這里我們要嘗試通過實驗描述我們所稱的廣義擾動擺[1]。

圓錐擺的懸點是軸線上一個固定的點。當以懸線或懸線延長線上的點為參考系時，就相當于一個懸點做勻速圓周運動的擺。那么可見，對于一個懸點做勻速圓周運動的擺而言，在有些情況下擺球會做相比懸點運動半徑更小的圓周運動，即相比于懸點具有空間相位上的“滯后性”[2]。本文在忽略擺球自身旋轉和懸線內部應力的情況下，探究具有滯后性的臨界條件和具有相位滯后特點時的運動情況。

設懸點勻速圓周運動的半徑為R1，角速度為ω，懸線長度為l，擺球質量為m，且在本文中只有這4個量是可以被人為改變的。

1 基本原理

1.1 理想條件下的臨界條件

定義懸線與水平方向的夾角為θ，擺球在穩定狀態下的圓周運動的半徑為r，借助圓錐擺的動力學方程，忽略空氣阻力的影響時，對于擺球有■=ω2r[3]，如要出現擺球相對懸點相位滯后（如圖1右所示）的情況，在r=-R1+？詛cosθ的情況下動力學方程需要有解。易知臨界條件為R1、？詛、ω滿足f（R1，l，ω）=■-l■+R1■=0。當f（R1，l，ω）≤0時，能量較低的情況出現；當f（R1，l，ω）≥0時，出現無相位滯后的情況。

1.2 理想條件下的軌跡分析

在可以出現空間相位滯后的情形下，由圓錐擺的相關推想可知其穩定狀態有2種，一是空間相位滯后為π的情況，二是相位相同的情形。這2種情況分別又有從不穩定態到穩定態的“暫態”過程。

在穩定狀態時，以l、R1、r在t=0時刻形成的平面為xOz面建立笛卡爾坐標系，假想的圓錐擺懸點為O點，對于空間相位滯后為π的情況，有

x=（-R1+lcosθ）cosωty=（-R1+lcosθ）sinωtz=■，

而對于相位相同的情形，有

x=（R1+lcosθ）cosωty=（R1+lcosθ）sinωtz=■。

分別計算2種情況的能量可知，當R1、l、ω均相同且滿足f（R1，l，ω）<0時，相位滯后π的情況總會比相位相同的情況能量低。

在達到穩定狀態之前，有一段持續時間較長的暫態。暫態中，擺球不在穩定狀態時的位置，而是以穩定狀態時的懸線所在直線為軸，做獨立的圓錐擺運動。即，暫態中的擺球相對于穩定狀態的擺球又有往復的超前與滯后。如圖2所示，設暫態中擺球關于軸線做的圓錐擺半徑為r2，懸線與圓錐底面的夾角為θ2，圓錐底面圓心距懸線圓周運動中軸線的距離為r1，圓錐軸線與水平面夾角為θ1，設l、R1、r1、r2以在同一平面內時刻為t=0時刻，該平面為xOz面建立笛卡爾坐標系，那么暫態中x，y的坐標為x平衡y平衡+r2cosω2tsinθ2 r2cosω2t× cosω1t sinω1t-sinω1t cosω1t，導出軌跡方程為

x=r1cosω1t+r2cosω2tsinθ2cosω1t-r2sinω2tsinω1ty=r1sinω1t+r2cosω2tsinθ2sinω1t+r2sinω2tcosω1tz=-■+r2cosω2tcosθ2

對于空間相位滯后為π的情況，其中r1=-R1+lcosθ1，相位同步的情況則有r1=R1+lcosθ1。對于暫態而言，由于空氣阻尼的存在，系統能量緩慢降低，最終會達到穩定狀態。

為了更貼近實際情況，接下來引入空氣阻尼進行研究。

1.3 引入空氣阻尼的分析

如圖3所示，設擺線上的拉力為T，擺線與豎直方向夾角為θ，擺線在水平方向的投影與擺球圓周運動的半徑夾角為φ，擺球圓周運動的半徑為r，擺球半徑為φ，空氣的動力黏滯系數為η。對擺球受力分析可得

Tcosθ=mgTsinθcosφ=mω2rTsinθsinφ=6πφηωr

于是解出tanφ=■，又有■=■和2Rrcos△α=R2+r2-l2sin2θ，進而可以解出相位差：

其中，M=R2l2ω2（m2ω2+36π2φ2η2）。

經計算可知，空氣阻尼對△α的影響為忽略空氣阻尼時的10-3倍，所以理想情況已經很貼近實際情況。

2 實驗過程及數據分析

實驗裝置如圖4所示，包括ZYTD555型電機、HY1711-2S電源、擺球、懸線、支架、擺臂。

實驗步驟如下。

（1）組裝實驗裝置，并且在電機轉軸正上方和裝置正前方各放置1臺攝像機。

（2）等間距改變待驗證的變量，并用2臺攝像機同步攝錄實驗現象。

（3）重復（2）的過程，利用Tracker軟件分析錄像中的暫態和穩定狀態時的參數或軌跡。

2.1 對臨界條件的驗證

由于人為改變量只有4個，且根據理想條件下的結果，質量不影響運動，因此只需要選取其中2個分別實驗便可驗證臨界條件式。

懸點圓周運動的半徑為9.7 cm，角速度為2πs-1時，不同懸線長度是否會形成空間相位滯后見表1。理論臨界擺長為47.19 cm，與實驗符合。

懸點圓周運動的半徑為9.7 cm，懸線長為55 cm時，不同轉速下是否會形成空間相位滯后見表2。理論臨界轉速為1.783πs-1，與實驗符合。

將以上2組實驗的無關變量改變，重復多次，均能得到相同結論。

2.2 對軌跡的驗證

為了驗證軌跡方程和實際情況的一致性，以如下案例為例，闡述驗證軌跡的過程。

懸點圓周運動的半徑為9.31 cm，懸線長為94.50 cm，角速度為10.47s-1時，以擺球旋轉中心（230，120）為坐標，利用Tracker軟件追蹤重物可得圖線（如圖5所示）。

此次實驗與理論的吻合度為94.7%，在每個變量獨立變化均重復10組實驗后，所有實驗與軌跡方程的吻合度均在87%以上。

3 結論

滯后擺模型的研究與學習體現了牛頓力學的經典性，由于實驗室研究條件的限制，本文討論了同相位與空間相位滯后為π的2種情況。實驗先從理想狀態的理論推導出發，得出小球的理想運動經歷了從非穩定態至穩定態的轉變，隨后引入空氣阻尼因素，以此進一步貼近實際情況小球的運動。

對小球運動方程的實驗驗證設立了擺線長度、轉速、小球質量3個參數，討論了空間相位滯后為π的滯后擺模型。通過控制變量法多次改變變量數值，均能得到與理論方程相符合的數值。最后繪制小球運動軌跡曲線，實驗曲線與理論曲線吻合度極高，確認小球滯后擺運動方程理論推導的正確性。

參 考 文 獻

[1]JL Trueba，JP Baltanás，MAF Sanjuán.A genera-lized perturbed pendulum[J].Chaos，Solitons &Fractals，2003，15（5）：911-924.

[2]iypt.urfu.ru.Problems for the 29th IYPT 2016[DB/OL].http：//iypt.urfu.ru/en/about/problems，2016-03-20.

[3]wikipedia.Conical_pendulum[DB/OL].https：//en.wi-kipedia.org/wiki/Conical_pendulum，2016-04-18.

[責任編輯：陳澤琦]