“拋物線及其標準方程”的教學設計分析

何偉富

眾所周知，圓錐曲線是平面解析幾何的重要組成部分，也是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要載體，拋物線是圓錐曲線中應用尤為廣泛的一種二次曲線，同時《標準》中要求“掌握拋物線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)”，其中拋物線定義是推導標準方程及研究幾何性質(zhì)的基礎，是本節(jié)課其他知識產(chǎn)生的核心，所以應讓學生充分討論理解其含義.推導拋物線標準方程時，建立坐標系，將幾何問題代數(shù)化尤為重要，而且拋物線標準方程因建系不同而有四種方程，初學者很容易混淆，因而恰當?shù)慕ㄏ岛头智逅姆N方程都具有一定難度.為此，筆者就“拋物線及其標準方程”的教學主要環(huán)節(jié)進行了分析與設計，概述如下：

1.關于“如何引入課題”

在我們的日常生活中，拋物線有著重要而廣泛的應用，例如，探照燈就是利用拋物面的光學性質(zhì)制作而成，將點光源發(fā)出的光，折射成平行光，照射到足夠遠的地方.教師在引入課題的時候可以利用多媒體向?qū)W生展示一些類似的例子，讓學生直觀地感受拋物線，同時對比二次函數(shù)及其圖像，向?qū)W生拋出“如何給出拋物線的定義”，從而引出新課.

2.關于“拋物線定義的教學”

在介紹拋物線的畫法時，教師應盡量創(chuàng)造條件，讓學生親自動手畫出拋物線，引導學生細心觀察動點的運動過程，并用數(shù)學語言描述動點的運動規(guī)律，用心體會數(shù)學語言的精確性.在畫拋物線的過程中，使學生明白拋物線上的點所滿足的幾何條件，引導學生概括出拋物線的定義.對拋物線的定義特別要強調(diào)的是定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過定點F垂直于直線l的一條直線.如，到點F（1，0）和到直線l：x+y-1=0的距離相等的點的軌跡為：x-y-1=0，該軌跡是過定點F（1，0）且垂直于直線l：x+y-1=0的一條直線.

同時，也可以恰當使用信息技術幫助學生理解拋物線的概念，例如幾何畫板等，以便讓學生更直觀地看到動點的運動軌跡.但有時教師由于課時等因素的限制，一般都會在課下就做好課件，課堂上直接演示.實際上用幾何畫板演示拋物線的形成過程時，建議教師讓學生親歷課件制作的過程，演示過程中注意動點的運動速度的控制，引導學生邊觀察、邊思考，這樣的過程會有利于學生在動態(tài)變化中強化對幾何概念的認識.

3.關于“拋物線標準方程的教學”

由于在教學中圓錐曲線方程的推導都需要建立坐標系，故教師要引導學生有意識地加強對“如何建系”的思考，例如拋物線方程的推導中為什么不將定點設在坐標系的原點處？或是以定直線為y軸？這樣的思考無疑會有利于學生理解標準方程的意義，進而進一步理解解析幾何的本質(zhì).特別要注意的是，學生可能會提出各種建系的方式，為了使拋物線方程最后的形式簡潔，教師應與學生共同分析并做計算，從而找到較好的建系方式.與此同時還要強調(diào)動點所滿足的幾何條件，因為這是求曲線方程的關鍵.

還有在推導的過程中會遇到方程的化簡.在很多情況下，學生都會遇到類似的方程的化簡、利用多個等式于不等式的關系解決如變量的取值范圍等問題.由于學生在初中階段方程的學習僅限于整式方程中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程和二元一次方程組，以及可化為一元一次方程的分式方程，不等式的學習也僅限于一元一次不等式，高中階段學習了一元二次不等式，教師從學生這樣的經(jīng)歷不難看出，學生在學習本章時代數(shù)變形的學習經(jīng)歷是非常有限的，這就造成了一部分學生在具體的解題過程中缺乏信心、經(jīng)驗不足.因而，建議教師結(jié)合學生遇到的具體困難，加強對學生的指導和示范，幫助學生積累代數(shù)變形的經(jīng)驗，提高代數(shù)推演的能力.

另外，一條拋物線由于它在坐標系內(nèi)的位置不同方程也不同，于是希望學生自己歸納出拋物線開口向左、向上、向下三種情形下的方程，并求出相應的頂點坐標、焦點坐標.建議畫出表格的第一、第二列，引導學生根據(jù)拋物線的對稱性將下表補充完整.

4.關于“知識鞏固”

考慮到拋物線的定義，幾何圖形，標準方程要求掌握，所以在設置例題的時候要有梯度，例如：求下列拋物線的焦點和準線方程：

同時，為了強調(diào)圓錐曲線的應用體現(xiàn)數(shù)學的應用價值，可以選取實際應用的例子，幫助學生樹立模型觀念，為運用這些模型解決實際問題做了良好的鋪墊.

5.結(jié)束語

一節(jié)數(shù)學課的教學設計，應立足于問題引導學習，將教學重心前移，適度延長知識的發(fā)生發(fā)展過程；應保證學生思考的力度，在關鍵點上給學生提供發(fā)表見解的機會，促進他們在解決矛盾沖突的過程中、建立知識之間內(nèi)在聯(lián)系的過程中領悟本質(zhì)；應緊扣學情，遵循學生的數(shù)學思維發(fā)展水平和認知規(guī)律，等等.只有這樣才可能打造精品課堂，實現(xiàn)精致教學.