案例式貝葉斯公式教學研究

滕興虎 朱永婷 李靜 徐為

【摘要】以案例教學法作為貝葉斯公式教學的主要手段，選取源自史實的核潛艇搜索問題作為案例，切入教學，激發學生學習興趣，在實際情景引導學生發現問題、分析問題、解決問題.實踐表明，案例式教學有效地加深了學生對貝葉斯的理解和應用，并對促進教學效果提高及課程建設都有重要意義.

【關鍵詞】貝葉斯公式；全概率公式；案例式教學

1.引言

在“概率論與數理統計”課程中，貝葉斯公式是重要的公式之一.在醫學、信息傳遞、生產、偵破案件、個人信用、訴訟與網絡安全等方面貝葉斯公式有著非常廣泛的應用，具有廣泛的研究前景.公式涉及條件概率公式、全概率公式與乘法公式等重要公式，復雜難記、與全概率公式難于區分，是概率論課程教學中的一個重點，同時也是一個難點.學生短時間內難以理解，為使學生掌握公式并能很好的運用公式解決問題，不少教師對其進行了教學方法上探討.案例式教學是一種有效的教學方法，它以案例為基礎，在特定的情境中，引導學生積極分析問題與解決問題，并促使學生充分理解問題的復雜性與多樣性.本文從基于史實的案例出發，逐步深入，由案例導入貝葉斯公式，并利用貝葉斯公式對相關模型和應用進行分析求解.

2.案例導入與分析

1968年5月22日，美國 “天蝎號”核潛艇失事沉沒.為了尋找天蝎號的位置，美海軍基于“貝葉斯公式”制定了搜索方案，最終找到了“天蝎號”核潛艇.

基于這一史實，簡化問題，考慮如下案例

案例 設“天蝎號”核潛艇沉沒在甲、乙、丙3個區域之一，潛艇技術部門判斷其概率分別為12，13，16；搜救專家搜索這些地域，若有核潛艇，發現的概率分別為12，23，14.

如果現搜索甲區域后未找到核潛艇，“天蝎號”沉沒于甲區域的概率是多少？

設事件A表示搜索甲未找到核潛艇，事件B1，B2，B3分別表示核潛艇沉沒在甲、乙、丙三個區域.因此由案例中的兩組數據可知：

將數據代入即可得P（B1|A）=13.類似可求搜索甲區域后未找到核潛艇時，“天蝎號”沉沒于乙、丙區域的概率分別是P（B2|A）=49，P（B3|A）=29.

由討論可知，當一個事件已經發生時，可以利用條件概率公式、乘法公式和全概率公式，去求導致這一事件發生的各種誘因的可能性大小.一般化（1）式便得到貝葉斯公式.

3.貝葉斯公式引入與應用

（2）式稱為貝葉斯公式或逆概公式.

由案例的討論可知，Bi（i=1，2，…，n）是導致事件A發生所有的各種不同誘因，P（Bi）（i=1，2，…，n）是在沒有進一步信息（事件A沒有發生）的情況下各事件Bi（i=1，2，…，n）發生的概率，即在試驗以前（事件A發生前）就已經知道的概率，所以稱它們為先驗（先于試驗）概率.P（Bi|A）（i=1，2，…，n）反映的是在試驗以后，即從事件A的發生獲得新的信息或者經驗后，人們對各事件Bi（i=1，2，…，n）發生概率的再認識，通常稱為后驗概率.人們可以利用后驗概率的大小，作出新的判斷，推測在新的信息條件下最有可能是哪一個誘因導致事件A發生的，此即為貝葉斯推斷.

在案例中，如果搜索甲區域后未找到核潛艇的條件下，核潛艇沉沒于甲、乙、丙三個區域的概率分別為13，49，29，下一次搜索應該在乙區域進行.如果搜索乙區域后仍未找到核潛艇，利用貝葉斯公式，類似于案例的討論，可求得核潛艇沉沒于甲、乙、丙三個區域的概率分別為919，419，619.下一次應是返回甲區域進行搜索，而不是在丙區域.利用貝葉斯公式討論如下的可靠性問題.

4.結語

基于史實引入案例，激發學生的參與討論學習的興趣.通過案例分析自然導入貝葉斯公式，結合案例與貝葉斯公式，揭示了貝葉斯公式本身蘊含了深刻的思想，幫助學生深刻理解了先驗概率與后驗概率的相互轉化.通過應用，加深了學生對貝葉斯公式的理解與認識，使其掌握住公式的實質.“由因索果”的全概率公式，是貝葉斯公式的一部分；在已知一事件發生的情況下，需要對導致該事件發生所有的各種不同誘因進行再認識時，則用“由果索因”用貝葉斯公式.

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