帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題的處理方法

艾尼·買買提

“帶電粒子在磁場中的運動”是歷年高考中的一個重要考點，而“帶電粒子在有界磁場中的運動” 則是此考點中的一個難點，此類問題的解題關鍵是尋找臨界點。

一、帶電粒子在“圓形磁場區域”中的運動

例1、如圖1所示真空中寬為d的區域內有強度為B的勻強磁場方向如圖（略），

質量m帶電-q的粒子以與CD成θ角的速度V0垂直射入磁場中。要使粒子必能從EF射出，則初速度V0應滿足什么條件？EF上有粒子射出的區域？

【解析】粒子從A點進入磁場后受洛倫茲力作勻速圓周運動（圖略），要使粒子必能從EF射出，則相應的臨界軌跡必為過點A并與EF相切的軌跡如圖3（圖略）所示，作出A、P點速度的垂線相交于O，即為該臨界軌跡的圓心。

臨界半徑R0由R0+R0cosθ=d，有：R0=；

故粒子必能穿出EF的實際運動軌跡半徑R≥R0

即：R=≥

有：v0≥。

由圖（圖略）知粒子不可能從P點下方向射出EF，即只能從P點上方某一區域射出；又由于粒子從點A進入磁場后受洛侖茲力必使其向右下方偏轉，故粒子不可能從AG直線上方射出；由此可見EF中有粒子射出的區域為PG，且由圖知：PG=R0sinθ+dcotθ=+dcotθ。

二、帶電粒子在“單邊磁場區域”中的運動

帶電粒子在磁場中以不同的速度運動時，圓周運動的半徑隨著速度的變化而變化，因此可以將半徑放縮，運用“放縮法”探索出臨界點的軌跡，使問題得解；對于范圍型問題，求解時關鍵尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運動的實際軌道半徑R與R0的大小關系確定范圍。

軌跡圓的旋轉：當粒子的入射速度大小確定而方向不確定時，所有不同方向入射的粒子的軌跡圓是一樣大的，只是位置繞入射點發生了旋轉，從定圓的動態旋轉中，也容易發現“臨界點”。

例2、如圖7（圖略）所示，在真空中坐標xoy平面的x>0區域內，有磁感強度B=1.0×10-2T的勻強磁場，方向與xoy平面垂直，在x軸上的p（10，0）點，有一放射源，在xoy平面內向各個方向發射速率v=1.0×104m/s的帶正電的粒子，粒子的質量為m=1.6×10-25kg，電量為q=1.6×10-18c，求帶電粒子能打到y軸上的范圍.

解析：帶電粒子在磁場中運動時有Bqv=，則R===0.1m= 10cm

如圖8（圖略）所示，當帶電粒子打到y軸上方的A點與P連線正好為其圓軌跡的直徑時，A點既為粒子能打到y軸上方的最高點.因Op=R=10cm，AP=2R=20cm，則OA==10cm.

當帶電粒子的圓軌跡正好與y軸下方相切于B點時，B點既為粒子能打到y軸下方的最低點，易得OB=R=10cm.綜上，帶電粒子能打到y軸上的范圍為：-10cm≤y≤10cm.

三、帶電粒子在“三角形磁場區域”中的運動

例3、在邊長為2a的△ABC內存在垂直紙面向里的磁感強度為B的勻強磁場，有一帶正電q，質量為m的粒子從距A點a的D點垂直AB方向進入磁場，如圖9所示，若粒子能從AC間離開磁場，求粒子速率應滿足什么條件及粒子從AC間什么范圍內射出。

解析：如圖10（圖略）所示，設粒子速率為v1時，其圓軌跡正好與AC邊相切于E點.

由圖知，在△AO1E中，=R1，=a-R1，由cos30°=得，解得R1=3（2-）a，則AE=.又由Bqv1=得v1=，則要粒子能從AC間離開磁場，其速率應大于V1。

如圖11（圖略）所示，設粒子速率為v2時，其圓軌跡正好與BC邊相切于F點，與AC相交于G點。易知A點即為粒子軌跡的圓心，則R2=AD=AG=a.又由得，則要粒子能從AC間離開磁場，其速率應小于等于v2.綜上，要粒子能從AC間離開磁場，粒子速率應滿足.粒子從距A點的EG間射出。

點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的大小，其對應的軌跡半徑也就確定了。但由于入射速度的方向發生改變，從而改變了該粒子運動軌跡圖，導致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出臨界狀態粒子運動的軌跡圖（對應的臨界狀態的速度的方向），再利用軌跡半徑與幾何關系確定對應的出射范圍。

小結：

1、帶電粒子進入有界磁場，運動軌跡為一段弧線。

解決這類問題的切入點是：定圓心；求半徑；畫軌跡；找圓心角。

2、同源粒子垂直進入磁場的運動軌跡。

3、注意圓周運動中的有關對稱規律：（1）在圓形磁場區域內，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出；（2）粒子進入單邊磁場時，入射速度與邊界夾角等于出射速度與邊界的夾角。