淺談面積與代數恒等式

趙海英

在華師版數學教材中第十二章“整式的乘法”的學習中，我們接觸了很多代數恒等式，利用了圖形的幾何意義，也從圖形的面積關系中認識了代數恒等式. 引導學生體會數與形之間的關系，也能從另一個方面了解代數恒等式的幾何意義. 通過本節課，讓學生經歷探究、交流、應用的過程，從中體會數學思維能力，獲得研究問題和解決問題的經驗和方法. 下面將本節課的教學流程展示如下：

一、復習提問，引入新課

前面我們學習了整式的乘法相關法則及乘法公式，那么老師想問大家，我們都學習了哪些乘法運算？哪些乘法公式？

① 單項式與多項式相乘：a（b + c） = ab + ac；

② 多項式與多項式相乘：（m + n）（a + b） = ma + mb + na + nb；

③ 平方差公式：（a + b）（a - b） = a2 - b2；

④ 兩數和的平方：（a + b）2 = a2 + 2ab + b2.

像①②③④這種不論字母取什么有意義的數值，左邊恒等于右邊的式子叫作代數恒等式.

那么我們還能利用什么方法來驗證代數恒等式的成立呢？沒錯，我們可以利用面積的不同表示方法，來表示一個代數恒等式，學生動手畫一畫.

通過利用圖形的面積來驗證代數恒等式的正確性，就是我們今天重點所學習的內容，面積與代數恒等式.

通過復習前面所學習的整式的乘法以及乘法公式，讓學生感受通過數與形的結合也是驗證代數恒等式的一種方法，從而打開學生的思路，為所學的內容打好堅實的基礎.

二、從圖形面積到代數恒式

（一）說一說

例1 觀察下列圖形，計算陰影部分的面積，并用面積的不同表達形式寫出相應的代數恒等式.

第一個代數恒等式：（a + b）2 - （a - b）2 = 4ab；

第二個代數恒等式：4a2 - b2=（2a + b）（2a - b）.

讓學生總結如何正確寫出一個代數恒等式的方法，通過學生的交流與探討總結為，通過兩種不同的方式表示圖形中的面積，這樣就很快寫出一個代數恒等式. 通過探索與思考體會數學的應用價值，增強對數學的開放性、探索性和實踐性的認識.

（二）做一做

你能利用所準備的若干張小卡片再拼出新的圖形嗎？根據你所拼的圖形寫出相應的代數恒等式. 這是一個開放性較強的問題，應打開學生的思路，體現任意性，從而讓學生經歷探索、研究、解決問題的過程.通過此活動我深刻地感受到了一種熱情，那是種對于知識探索的熱情！我欣喜地看到同學們找到了探究問題的方法，明白了該如何去利用、開發身邊的數學資源. 培養學生從實際問題中抽象出數學問題并建立數學模型的能力；開放性和研究性的問題，為提出更深層次的問題提供基石.

三、從代數恒等式到圖形面積

（一）做一做

前面我們根據圖形面積的不同表示方法，寫出了代數恒等式. 那么如果已知一個代數恒等式，同學們能否用拼圖的方法來驗證它們的正確性？

例2 請你根據代數恒等式：①（a + b）（a + 2b） = a2 + 3ab + 2b2的特點，構造出圖形，利用圖形的面積來說明其正確性.

此環節學生很快就畫出構造的圖形，學生總結為代數恒等式的左面可以看成一個長為（a + 2b），寬為（a + b）的長方形來設計圖形，然后再通過分割圖形來驗證恒等式右邊，通過此特點來快速構造圖形.

（二）畫一畫

根據下列代數恒等式，你能否設計出相應圖形來驗證它們的正確性？

②（a + b）（a - 2b） = a2 - ab - 2b2，③（a - 2b）2 = a - 4ab + 4b2.

最后一個活動的設計具有一定的挑戰性和開放性，是希望學生在思維方面能有所拓展. 對于老師的提問大部分的同學是舉一些例子，如有一位同學就提到兩個一次的單項式相乘得到的等式，還有一位同學提到等式的兩邊都能用正方形或長方形來表示面積的等式. 事實上這個問題就學生現在的認知水平無法做出一個完全的解答，只能做一些理性的思考，找到一些可以接受的答案. 我主要是想通過這個問題來激發學生的“再創造”激情和潛能.