高等數學教學中的數學哲學思考

蘇華 脫秋菊 劉健

摘 要：本文探討了數學和哲學之間的關系，數學對哲學的影響，以及當代數學哲學發展的困境，并指出了數學哲學發展的新途徑。

關鍵詞：數學；哲學；數學哲學

一、早期的數學家為什么都是哲學家？

在古希臘，哲學家都格外重視數學。最早的唯物主義哲學家泰勒斯，提出了原子唯物論的德謨克利特，最早的唯心主義哲學家畢達哥拉斯，都曾到埃及學習幾何。畢達哥拉斯學派認為世界的本源是數：“萬物皆數”，雖然這個看法現在看來可笑，但畢達哥拉斯學派是第一次抽象的處理數學概念的人，使得數學理論從大地測量、計算等活動中抽象出來，他們在研究中發現了畢達哥拉斯（九章算術稱勾股定理）定理。比畢達哥拉斯學派更廣為人知的是柏拉圖學院，該院學生以亞里士多德最為出名。這些學生大多是那個時代最出名的數學家、哲學家和天文學家。后來這許多學派和個人的工作，被歐幾里得總結在《幾何原本》中，在《幾何原本》中，歐幾里得從幾條公理出發，演繹了500多條希臘大師的定理、結論。

唯理論的兩位大家——笛卡爾和萊布尼茨正是兩位數學大家。勒奈·笛卡爾（1596～1650），偉大的哲學家、物理學家、數學家。人們在他的墓碑上刻下了這樣一句話：“為人類爭取并保證理性權利的第一人——笛卡爾。”1628年，他從巴黎移居荷蘭，先后發表了許多在數學和哲學上有重大影響的論著：《論世界》（1634）、《行而上學的沉思》（1641）、《哲學原理》（1644）等。1637年，笛卡爾的《幾何學》，創立了直角坐標系，使幾何曲線與代數方程相結合。笛卡爾的變數是數學中的轉折點。變數使得運動走入數學，變數使得辨證法走數學，變數使得微分和積分也就立刻成為必要。笛卡爾的成就，為后來一大批數學家的新發現開辟了道路。

作為微積分的創始人之一的德國著名數學家、科學家、哲學家——萊布尼茨發明了微積分符號，一直沿用到今。著名的哲學家羅素、布勞威爾等也都研究數學，而著名的數學家希爾伯特也研究哲學，這樣的例子無法一一列舉。這些著名的學者都同時精通數學和哲學，一方面原因是因為早期的學科分類沒有像今天這樣分得如此詳細；另一方面也說明，數學和哲學有著不可分割的內在聯系。“沒有數學我們無法看穿哲學的深度，沒有哲學，人們也無法看穿數學的深度，而沒有這兩者，人們就什么也看不透。”德莫林思（B.Demofhns）這句格言深刻地表明了數學與哲學的深厚關系。自從有哲學以來，數學就成為哲學問題的一個重要來源，為哲學的思考與發展提供了豐富的實踐環境。

二、數學對哲學的影響

數學始終影響著哲學。

在數學的發展史上，有過三次“危機”。哲學家芝諾在公元前五世紀提出了幾個著名的悖論，加之無理數出現造成的危機，是第一次數學危機；初期微積分邏輯上有缺陷，圍繞微積分基礎展開了的論戰是第二次數學危機；哲學家羅素在集合論中發現的“羅素悖論”，動搖了把集合論作為整個數學的基礎的思想，這就是所謂的第三次數學危機。

第一次危機的結果建立了嚴格的實數理論。數學家回答了“什么是連續性”。第二次危機的結果建立了微積分的嚴密基礎極限理論。數學家回答了“運動是怎么回事”。第三次數學危機的結果產生了“數學基礎”這個至今尚在蓬勃發展的數學領域。

三、哲學對數學的影響

數學也受哲學的影響，但是不如數學對哲學的影響明顯。即使數學家本身是哲學家，他的數學活動并不一定打上哲學觀點的烙印，他的哲學觀點往往被后人否定，而數學成果卻與世長存。如康托爾，他認為無窮集是客觀存在的，表現出唯心主義傾向，不過這可能更加激發了他的研究熱情。他對實無窮的研究，最終得到線段上的點要多于自然數，解決了兩千多年哲學家們都沒有解決的問題。一些卓越的哲學家如亞里士多德、康德、萊布尼茨都堅持沒有實在的無窮，實際上認為人不可能認識實無窮，像自然數一樣。而康托爾的集合論，使數學思維進人了無窮的王國。

所以，我們可以這樣說：許多數學家是自覺的唯心主義與不自覺的唯物主義的結合。

四、當代數學哲學的思考

我們現在有一種思考是數學哲學需要向數學文化哲學的過渡。羅素的集合悖論造就了人們對數學的信任危機，但是仍然有大批的數學家，諸如懷特海、希爾伯特等人一直在尋求一種新的基礎，來挽救這種信任危機。也正是由于這種危機促使了數學哲學推向了一個新的階段。在不斷的研究過程中，相繼出現了邏輯主義、直覺主義、形式主義。但是，隨著更多的數學家加入這場討論大戰，比如哥德爾證明的不完全定理，使得我們對形式主義和直覺主義產生了懷疑并逐步放棄了形式主義和直覺主義。產生的后果是數學界只研究純粹的數學，哲學問題逐步淡出了數學家的視線，而且他們發現這種缺失的哲學并沒有對數學研究產生不好的影響。后來的數學家發現數學比以前更快的速度飛速發展。這樣的結果就是不光許多以前對數學哲學感興趣的數學大師如馮·諾伊曼、外爾等以及一些新成長起來的數學家都很少涉足數學哲學。曾經有數學家就認為數學哲學家討論的是“前天的數學”而不是“今天的數學”。

五、數學哲學的新啟示

數學和哲學的關系究竟怎樣處理？如何是數學和哲學更加和諧的相處呢？

傳統數學哲學由于缺乏必要的學科定位，而且數學知識的框架也存在缺陷，使得數學和哲學的聯系道路越走越遠，使得我們無法面對數學文化和哲學文化具有的更深層次的不協調問題。

隨后的數學家從數學文化哲學的角度進行研究，為我們提供了一個新的角度，他們注重研究數學活動本身的內在聯系的外部機制的關系。美國數學家威爾德的兩部著作《數學概念演化的初步研究》和《數學，一種文化體系》就是從這一角度研究數學文化的。他在書中所提到的觀點受到大部分數學界人士的贊同，認為威爾德提及的數學需要作為一種文化體系進行研究的觀點，是第一個比較成熟的數學哲學觀。

作為普通民眾，由于缺乏必要的數學素養，他們對數學存在質疑；這種情況的出現使得數學文化哲學進一步引起了數學家的關注。從純粹的數學知識體系來看，數學有著脫離社會并遠離哲學文化的危險，這樣的結果就是會導致孤立主義的傾向。而且這種孤立主義使普通民眾產生一種錯誤地感覺，那就是他們認為數學只是少數數學天才的事情，是他們自己腦子里想象出來的創造物，社會的發展和進步和數學的發展是沒有關系的，而且數學的真理性無須社會的實踐來檢驗。隨著純粹的數學知識體系內的各個領域的劃分越來越細致，導致的結果就是不同數學分支的數學家們沒有辦法進行必要的交流，統攬數學全局的大家已經很久沒有出現了。數學就象失去方向盤的汽車，不知將奔向何處。

從數學知識體系所處的外部環境，也就是數學與社會文化的關系來看，也出現了不協調的情況。從古典數學分析演變到近代數學分析，數學越來越嚴密化，使得數學出現了嚴密的推導過程，而且這樣具有嚴格邏輯的推導備受數學界崇尚，直接后果就是他們不管數學的結果是否有用，對現實世界及其他學科是否有意義。英國數學家哈代在代表作《一個數學家的辯白》中就宣稱：“我從未做過有用的事，在我的發現中，從未有過或可能有過，直接或間接地、好的或不好的，對現實世界稍微有益的東西。”

數學內部和外部共同作用的結果就是使得數學界出現了孤立主義傾向，大部分數學家其孤芳自賞，并且拒人于千里之外，普通民眾更加的不理解數學，對數學望而生畏，更不用說理解數學了。

但是不可否認的是數學是社會發展，尤其是科學技術發展的基礎和工具，孤立于人類文化使得我們失去了原動力。這種原動力是推動社會進步和人類思想解放的基本，失去它將使得社會的發展變為無源之水。以哲學的眼光來考察和監督數學的發展，把把數學放在數學文化哲學的大背景下，力圖將人類文化融入數學，讓我們意識到到數學是為社會服務的。數學文化哲學的研究或許是人類真正理解數學的一把鑰匙。從數學哲學走向數學文化哲學，讓我們認識數學的本來面目，推動數學哲學進一步向前發展。

參考文獻：

[1]孟建偉.從科學哲學到科學文化哲學[J].自然辯證法研究，2003（6）：8.

[2]C.Smonyrski著.數學—種文化體系[J].數學譯林，1988（3）.

[3]張景中.數學與哲學[M].中國少年兒童出版社，2003，8.

[4]M.克萊茵著，李宏魁譯.數學：確定性的喪失[M].長沙：湖南科學技術出版社，2002.

[5]林夏水.數學哲學[M].北京：商務印書館，2003.

[6]黃泰安.數學哲學與數學文化[M].西安：陜西師范大學，1999.

[7]張祖貴.數學與文化[J].自然辯證法通訊，1991，6

（作者單位：蘇華/山東大學經濟學院、山東財經大學數學與數量經濟學院；脫秋菊、劉健/山東財經大學數學與數量經濟學院）