對一元微積分教學(xué)的思考

摘 要：本文針對一元微積分課程教學(xué)中存在的問題，從教學(xué)內(nèi)容的安排與講授這個方面進行闡述，提出了對一元微積分課程教學(xué)改革的一點思考。

關(guān)鍵詞：一元微積分；教學(xué)；重點

一元微積分在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中具有根本地位，是有關(guān)專業(yè)學(xué)生必修的最基本的數(shù)學(xué)內(nèi)容。教好一元微積分對提高高等教育數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量有著相當(dāng)重要的影響，對其他有關(guān)數(shù)學(xué)類和應(yīng)用到一元微積分知識的課程的學(xué)習(xí)也有著不可忽略的影響。因此教師有責(zé)任認(rèn)真思考如何切實改進教學(xué)質(zhì)量。當(dāng)前的一元微積分教學(xué)效果不能令人感到滿意，特別在教學(xué)內(nèi)容的安排與講授這個方面存在探討改進的空間。下面就這方面談點個人的教學(xué)體會。

一、教師要科學(xué)合理安排有關(guān)教學(xué)內(nèi)容

現(xiàn)行大部分各類高等數(shù)學(xué)教材中一元微積分學(xué)中的一部分內(nèi)容與目前高中數(shù)學(xué)教材且高考必考的相關(guān)內(nèi)容有重復(fù)之處，比如函數(shù)基本概念這一部分內(nèi)容。教師實際授課時要根據(jù)所教不同專業(yè)學(xué)生的高中學(xué)習(xí)情況，有針對性的對這些內(nèi)容采取少講、略講或不講的教學(xué)安排。對于一元微積分學(xué)中的基本而重要的內(nèi)容應(yīng)適當(dāng)多安排一點教學(xué)時間，對于那些不算基本內(nèi)容的知識點應(yīng)少安排一點教學(xué)時間。比如映射的概念、函數(shù)極限的概念、函數(shù)極限的計算、極限存在準(zhǔn)則、重要極限、無窮小與無窮大、函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的計算、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的微分、羅爾定理、拉格朗日中值定理、洛必達(dá)法則、函數(shù)的單調(diào)性、曲線的的凹凸性、函數(shù)的極值與最值、不定積分的概念與計算、定積分的概念與計算、級數(shù)、微分方程等內(nèi)容應(yīng)作為基本教學(xué)內(nèi)容多安排一點教學(xué)時間，其他內(nèi)容如數(shù)列的概念、數(shù)列極限的證明、數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)極限的性質(zhì)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、萊布尼茨公式、費馬引理、柯西中值定理、泰勒公式、反常積分、定積分的應(yīng)用、向量代數(shù)和空間解析幾何等內(nèi)容可以根據(jù)教學(xué)實際情況適當(dāng)安排一定的教學(xué)時間。而極限運算法則的證明、兩個重要極限的證明、函數(shù)的四則運算的求導(dǎo)法則的證明、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的證明、柯西中值定理的證明、洛必達(dá)法則的證明、泰勒中值定理的證明、定積分的換元法的證明等內(nèi)容可簡要介紹或不提。

二、教學(xué)內(nèi)容的講授方面根據(jù)實際情況重點講解定理與公式，重視微積分中的概念與技巧

在教學(xué)內(nèi)容的講授方面，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)實際和不同專業(yè)的教學(xué)要求適當(dāng)簡化相對復(fù)雜的理論推導(dǎo)和比較長的公式推導(dǎo)或不做推導(dǎo)與證明，把重點放在有關(guān)重要定理、基本公式和重要公式的常見的具體應(yīng)用上，特別要重視一元微積分學(xué)中的基礎(chǔ)概念和基本技巧的教學(xué)。對數(shù)學(xué)要求較高的專業(yè)，映射的概念作為普通函數(shù)概念的推廣有必要詳細(xì)介紹，重點講述與普通函數(shù)概念的異同點；對數(shù)學(xué)要求較低的專業(yè)，映射的概念可簡要介紹。如何求函數(shù)的極限應(yīng)重點講授，應(yīng)將常見的題型歸類討論并舉出足夠的例子來講解，課后要布置適當(dāng)數(shù)量的習(xí)題使學(xué)生熟練掌握函數(shù)極限的基本求解技巧。函數(shù)在某一點連續(xù)的概念可以結(jié)合函數(shù)圖形并舉出具體例子來講清楚，這樣間斷點的概念也容易闡述。導(dǎo)數(shù)的概念應(yīng)從物理學(xué)中的變速直線運動的速度問題和幾何學(xué)中的切線問題出發(fā)來引入，要詳細(xì)介紹在函數(shù)某一點導(dǎo)數(shù)的具體定義式及其各種等價變形形式并舉例說明。導(dǎo)函數(shù)的計算應(yīng)作為一個重點內(nèi)容加以講解，要講授足夠多的各種例題，也要布置相當(dāng)數(shù)量的課后習(xí)題，達(dá)到讓學(xué)生熟練掌握導(dǎo)數(shù)計算的教學(xué)目標(biāo)。對于費馬引理、羅爾定理這兩處知識點可結(jié)合滿足定理條件的函數(shù)圖形來輔助證明或只講個證明概要；對于拉格朗日中值定理的證明可以從其結(jié)論變形入手聯(lián)想到構(gòu)造輔助函數(shù)利用羅爾定理來證明，這一證明技巧有一定的普遍性，在實際解題時常會用到，可以再舉例說明。從拉格朗日中值定理結(jié)論得到的拉格朗日中值公式有幾種變形形式也要說清楚。拉格朗日中值定理本身的應(yīng)用也應(yīng)舉例加以說明。洛必達(dá)法則作為求未定式極限的一種常見方法應(yīng)詳細(xì)舉例說明。函數(shù)的單調(diào)性這一部分內(nèi)容可能有的學(xué)生在高中學(xué)習(xí)過，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實際情況靈活處理這一塊內(nèi)容。曲線的凹凸性和拐點這一部分知識點應(yīng)從數(shù)形結(jié)合的角度來講授，有關(guān)性質(zhì)的證明則可以簡單處理。在熟練掌握導(dǎo)數(shù)計算的情況下，不定積分和定積分的計算也就不太難了。

三、小結(jié)

教學(xué)方法的使用，課堂教授的側(cè)重都會影響學(xué)生的受教情況，作為教師要在平時的教學(xué)中不斷總結(jié)、吸取教學(xué)經(jīng)驗，以期能更好的教授微積分課程，讓學(xué)生輕松學(xué)到知識。

參考文獻：

[1] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 趙樹嫄，微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2007.

[3] 高雪芬.一元微積分概念教學(xué)的設(shè)計研究[D].華東師范大學(xué)，2013.

[4] 鹿柏靜.準(zhǔn)教師對一元微積分若干基本概念理解的現(xiàn)狀研究[D].東北師范大學(xué)，2007.

[5] 張艷霞.對比教學(xué)法在微積分教學(xué)中的應(yīng)用[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2015（04）.

作者簡介：

曹坤，男，安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院教師。