高等數學課堂教學方法改革初探

摘要：本文介紹了數學方法論思想中的數形結合法、化歸法、構造法與觀察和猜想法，通過教學知識的舉例說明了這四種方法在高等數學教學中的應用，展示了數學方法論對高等數學教學的指導作用，并討論了數學方法論在高等數學教學中的策略。

關鍵詞：數形結合法；化歸；構造；觀察與猜想；實踐教學

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）28-0124-02

一、引言

在我國普通高校非數學專業的高等數學教學中，“教什么，怎么教”的問題一直是我們高校教學工作者探索的問題之一。

許多大學的數學教師不重視數學方法論，給學生上課仍是傳統的理論教學。這種教學方式只是把課堂搞成一個只涉及定義、定理及證明的邏輯體系，割斷了數學理論來源的生活背景；教學內容多是向學生灌輸各種各樣的結題技巧，教會學生如何解答各種各樣的題型，欲把學生培養成一部百科全書或結題工具。這些都無法使學生領悟到數學的精神實質和思想方法，無法感受到數學之美。同時，改革下的初等數學教材與高等數學中的很多知識點有所重復，比如積分和求導等內容。殊不知初等數學只停留在解題的淺顯面上，沒有涉及這些知識點的理論實質。但教師在高等數學中講授這些知識點時，學生們自認為學過，往往掉以輕心，不求甚解。

針對以上這些情況，如何采取有效的教學方法和技術，針對不同層次學生的數學基礎和學習特點，因人施教，活躍課堂氣氛，調動師生間的互動，培養學生的學習興趣，全面提高大學生的學習效率和數學素養，增強學生數學各方面的能力是當代師生共同值得深思的問題之一。

二、數學方法論的教學實踐

數學方法論是哲學、方法論與數學史等多門學科的交叉科學，其著眼點在于數學的創新。它是研究數學發展規律、數學的思想方法以及數學中的發現、發明等的一門科學。從微觀方法論來看，數學方法論包括圖形結合、化歸、觀察和構造、類比等方法。

教師在課堂教學中根據教學目標、教學對象、課堂氣氛等的需求，使用到的數學方法多種多樣。基于自身課堂教學的經驗，我們在此討論數學方法論下的幾個方法在高等數學教學中的應用。

1.貫穿高等數學教學全過程的數形結合方法。數形結合就是把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題，可使復雜問題簡單化、抽象問題簡單化。它是優化解題過程的重要途徑之一，是一種基本的數學方法。可以說數形結合法貫穿了整個高等數學教學過程。

極限概念的教學是高等數學教學的大門，是后續學習微積分知識的基礎。但因為其高度的抽象性，內容的深奧性，往往使初學者感到難以理解，進而失去學習的興趣和積極性。如果我們在講述極限概念時引入圖形，直觀上會使原本難以理解的內容具體形象化，教學過程變得生動活潑從而有效地激發學生的學習興趣，如教材上用圖像法來展示函數具有極限的幾何意義。那么對于函數極限中難以理解的ε與δ的關系，以及在用定義證明函數極限存在時遇到兩個δ時不知如何處理的問題，都可以通過觀察圖像直觀、形象地說明。

無界和無窮大往往是兩個易混淆的概念，很多同學在學習時誤認為無界就是無窮大。我們通過圖形來分析一道題目：問y=xcosx在（-∞，+∞）內是否有界？是否是x→+∞時的無窮大？

以“形”變“數”雖然形有形象、直觀的優點，但在定量方面還必須借助代數的計算，特別是對于較復雜的“形”，不但要正確的把圖形數字化，而且還要留心觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質或幾何意義，把“形”正確表示成“數”的形式，進行分析計算。

2.化歸法在參數方程所確定的函數求高階導數中的應用。化歸法是數學思維中一種重要的解題方法，它往往通過尋找所需解決問題的突破口，從難到易、從繁到簡的化歸來達到解決問題的目的，而且所有有關的解題過程又可以統一地歸結為上述的模式。

3.構造法在積分教學中的應用。構造法是運用數學的基本思想，針對具體問題的特點，展開豐富的聯想，拓寬解題思路，經過認真的觀察、深入的思考，構造出解題所需要的條件，以達到解決問題的目的。如在線面積分教學中我們常常添加輔助線（面）來構造出新的圖形，從而滿足解題的需要。

教學授課是一個非常靈活的過程。教學中的數學方法不是單一的，往往一個知識點涉及幾個數學方法。如y=xcosx的問題，既涉及到圖形結合，又有觀察和猜想；拉格朗日中值定理的證明既有數形結合，又要構造輔助函數。顯然這些方法相輔相成，如果教師講解得當，會使得枯燥的數學理論簡單易懂，便以領會和掌握，進而引發學生的數學興趣和學習積極性，那么會使得教學課堂更豐富、教學對象更受益、教學效果更良好。

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