高中數學函數的設計思路

董艷平

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）03-0084-01

一、高中數學新課程中的函數設計思路

（一）一般有兩種方法，一種是先學習映射，再學習函數，即從一般到特殊的方法；另一種是通過具體函數實例的分析，歸納總結出數集之間的一種特殊對應關系——函數，即從特殊到一般的方法。例如，對于函數概念，先引導學生梳理已經掌握的具體函數（如，初中學過的一次函數、二次函數、反比例函數、簡單分段函數等），通過分析這些具體函數的特征，構建函數的一般概念，再由函數概念抽象出映射概念。

（二）提倡運用信息技術研究函數運用信息技術可以呈現函數的直觀圖像，迅速精確地實施函數運算，通過函數圖像和函數運算，可以幫助學生加深對函數所表示的變化規律的理解。信息技術還為運用函數模型解決問題提供了便利，高中數學新課程提倡運用信息技術研究函數。

二、高中數學新課程中函數教學建議

（一）整體把握函數的內容與要求，在與函數有關的內容的教學進程中不斷加深學生對函數思想的理解。函數是學生在數學學習過程中第一次遇到的具有一般意義的抽象概念，在這個概念下可以派生出許多不同層次的具體函數。學生對于這種多層次的抽象概念的理解是需要時間和經驗積累的，需要多次接觸、反復體會、螺旋上升，逐步理解，才能真正掌握，靈活運用。因此，函數教學應整體設計，分步實施。教師應整體規劃整個高中階段函數的教學，對函數教學有一個整體的全面的設計，明確不同時段、不同內容中學生對函數理解應達到的程度，在與函數有關的內容的教學進程中，通過運用函數不斷加深學生對函數思想的理解。

（二）關注認識函數的三個維度，引導學生全面理解函數的本質。第一，函數是刻畫變量與變量之間依賴關系的模型，即變量說。在現實生活和其他學科中，存在著大量的變量和變量之間的依賴關系。例如：郵局收取郵資時，郵資（變量）隨著郵件的重量（變量）的變化而變化。這種變量之間的依賴關系具有一個突出的特征，即當一個變量取定一個值時，依賴于這個變量的另一個變量有唯一確定的值。基于這種認識，就可以用函數來表示和刻畫自然規律，這是我們認識現實世界的重要視角，也是數學聯系實際的基礎。第二，函數是連接兩類對象的橋梁，即映射說。對函數的這種認識反映了數學中的一種基本思想，在數學的后續學習中具有基礎作用。數學中的許多重要概念都是這種認識的推廣和拓展。例如，代數學中的同構、同態是構架兩個代數結構的橋梁，拓撲學中的同胚也是構架兩個拓撲結構的橋梁等。第三，函數是“圖形”，即關系說。函數關系是平面上點的集合，因而可以看作平面上的一個“圖形”。在很多情況下，函數是滿足一定條件的曲線。因此，從某種意義上說，研究函數就是研究曲線的變化、曲線的性質。基于這種認識，函數可以看作數形結合的載體之一。實際上，解析幾何、向量幾何、函數是高中數學課程中數形結合的三個主要載體。

（三）重視函數模型的作用，幫助學生在頭腦中“留住”一批函數模型理解函數的一個重要方法，就是在頭腦中“留住”一批具體函數的模型。那些優秀的數學工作者，對于每一個抽象的數學概念，在他們的頭腦中都會有一批具體的“模型”。這是很好的數學學習習慣。高中數學課程中有許多基本函數模型，高中數學教學的重要任務之一就是把這些基本函數模型留在學生頭腦中，這些模型是理解函數和思考其他函數問題的基礎。在教學中，對于上述基本函數模型應有一個全面的設計，要幫助學生在頭腦中留下三方面的東西：第一，背景，即要熟悉這些函數模型的實際背景，從實際背景的角度把握函數；第二，圖像，即從幾何直觀的角度把握函數；第三，基本變化，即從代數的角度把握函數的變化情況。只有在學生頭腦中“留住”這樣一批具體的函數模型，才能逐步實現對函數本質的理解，并靈活運用函數思考和解決問題。

（四）揭示函數與其他內容的內在聯系，強化學生對函數思想的認識。函數作為高中數學的一條主線，貫穿于整個高中數學課程中，在方程、不等式、線性規劃、算法、隨機變量等內容中都突出地體現了函數思想。用函數的觀點看待方程，可以把方程的根看成函數圖像與軸交點的橫坐標，解方程就是求函數的零點的橫坐標，從而解方程問題可以歸結為研究函數局部性質的問題，即研究函數圖像與x軸的交點問題。這樣，如果一個函數在閉區間[a，b]上連續，且端點函數值異號，則就可以運用二分法求方程的近似解。還可以用切線法（函數在閉區間有一階導數）、割線法（函數在閉區間有二階導數）等求方程的近似解。在坐標系中，函數的圖像把橫坐標軸分成若干區域。一部分是函數值等于0的區域，另一部分是函數值大于0的區域，再一部分是函數值小于0的區域，用函數的觀點看，解不等式就是確定使函數的圖像在x軸上方或下方的的x區域。這樣，就可以先確定函數圖像與x軸的交點（方程的解），再根據函數的圖像來求解不等式。

（責任編輯 曾 卉）