微積分中導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)淺析

摘 要：大眾化教育背景下，大學(xué)微積分教學(xué)中面臨的問(wèn)題日益突出。學(xué)生會(huì)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)求解，對(duì)導(dǎo)數(shù)概念中蘊(yùn)含的思想并不了解。在導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)中突出概念教學(xué)的重要性，從歷史上的問(wèn)題引入導(dǎo)數(shù)概念，注重變化率的思想，注重可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系講解，借助幾何圖形幫助同學(xué)理解導(dǎo)數(shù)局部直的含義。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)能夠幫助學(xué)生更好的理解導(dǎo)數(shù)的概念，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；導(dǎo)數(shù)；局部直

一、引言

進(jìn)入二十一世紀(jì)以來(lái)，高等教育轉(zhuǎn)入了大眾化教育，大學(xué)生入學(xué)能力普遍降低，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣降低，學(xué)生越來(lái)越多，生源越來(lái)越廣，層次越來(lái)越不均衡，教師在課堂上可以感受到學(xué)生的變化。面對(duì)基礎(chǔ)參差不齊的學(xué)生，如何教授基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，如何使學(xué)生能夠掌握數(shù)學(xué)工具的同時(shí)也能培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維？如何能夠保證基本的教學(xué)質(zhì)量，又能夠滿足優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展呢？現(xiàn)在進(jìn)行微積分課程改革已經(jīng)刻不容緩，其中最主要的仍然是加強(qiáng)微積分的概念教學(xué)。

二、概念教學(xué)的學(xué)習(xí)環(huán)境

美國(guó)科羅拉多州立大學(xué)Chappell采用了量化研究和質(zhì)化研究相結(jié)合的方法，研究了基于概念教學(xué)或者傳統(tǒng)的教育環(huán)境對(duì)學(xué)生概念理解、應(yīng)用技能、遷移能力等方面的影響。

傳統(tǒng)教育環(huán)境認(rèn)為技巧發(fā)展比概念發(fā)展重要，課堂上總會(huì)在最開始大概會(huì)花10%的時(shí)間回顧一些相關(guān)的基礎(chǔ)概念和常用技巧，教師先對(duì)定義和公式進(jìn)行介紹，然后再在課堂上演示例子，這些例題講解的時(shí)間大概要花掉將近90%的時(shí)間。傳統(tǒng)教育方法注重代數(shù)方法解決問(wèn)題，基本不用其他方法。

在基于概念的學(xué)習(xí)環(huán)境中，概念發(fā)展不管是在順序上還是重要性發(fā)面都先于運(yùn)算技巧。課堂上大部分時(shí)間都在幫助學(xué)生更好的理解概念，只要少部分的時(shí)間用來(lái)訓(xùn)練技巧。概念班注重一題多解，要求綜合比較數(shù)字法，代數(shù)方法和圖像方法。概念教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)用到不同的方法。

研究表明概念性的理解有助于解題技巧的掌握，基于概念的教學(xué)方法不僅能保證學(xué)生的解題技巧，而且能夠加深學(xué)生對(duì)概念的理解。通過(guò)理解掌握的知識(shí)比程序性知識(shí)更容易推廣到陌生的領(lǐng)域。以上說(shuō)明概念班注重概念教學(xué)，強(qiáng)調(diào)一題多解，引導(dǎo)學(xué)生解釋自己的解題方法這些教學(xué)方法是行之有效的。

Chappell的模式并不是特別適合中國(guó)的情況，針對(duì)中國(guó)教育特點(diǎn)，高雪芬將概念教學(xué)原則修正如下：

總原則：概念發(fā)展優(yōu)先于技能訓(xùn)練。課堂上至少用70%的時(shí)間來(lái)幫助學(xué)生更好的理解概念，剩下的時(shí)間用于技巧訓(xùn)練，學(xué)生只做基本的例題和練習(xí)。

①通過(guò)本原性問(wèn)題（歷史上的，直觀的，質(zhì)樸的，本質(zhì)的）引入教學(xué)概念，借助歷史發(fā)展闡述數(shù)學(xué)概念。

②借助幾何直觀或生活中的直觀例子幫助同學(xué)理解概念。

③注重概念間關(guān)系的闡述。

三、導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

導(dǎo)數(shù)概念是微積分中的核心概念，學(xué)生在高中時(shí)已經(jīng)學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)概念。學(xué)生熟悉求導(dǎo)公式和法則，對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義記憶深刻。高中生對(duì)導(dǎo)數(shù)的第一反應(yīng)是切線斜率，其次是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，文科班的同學(xué)更傾向于將導(dǎo)數(shù)直接與運(yùn)算相聯(lián)系，更加注重導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念局限于切線，不能理解變化率的思想，從而不能將其用于實(shí)際問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)了變化率及局部近似的思想，這一點(diǎn)已經(jīng)是中外數(shù)學(xué)家及中外課程標(biāo)準(zhǔn)的共識(shí)。導(dǎo)數(shù)之美在于體現(xiàn)局部的率，這是一個(gè)無(wú)窮的過(guò)程，可導(dǎo)函數(shù)表示的曲線就是局部近似的看作一條直線，這條直線的斜率就是導(dǎo)數(shù)。房元霞強(qiáng)調(diào)從兩個(gè)角度來(lái)理解導(dǎo)數(shù)概念變化率的本質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)變化率；②以直代曲，進(jìn)行局部的近似。針對(duì)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的誤解和導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，我們?cè)趯?dǎo)數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)中將設(shè)計(jì)目標(biāo)定為理解變化率的思想。

1.由變化率引入，從而強(qiáng)調(diào)變化率的思想

引例1：上拋物體

上拋運(yùn)動(dòng)，物體在速度（位移的變化率）為0的點(diǎn)時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)。

引例2：矩形面積

周長(zhǎng)為20米的矩形，考慮長(zhǎng)寬取不同值時(shí)面積的增量，面積改變率最小時(shí)面積取得最大值。

以上兩個(gè)問(wèn)題的共性是，因變量與自變量的增量比（即變化率）最小時(shí)，函數(shù)值取值最值。進(jìn)而指出歷史上研究導(dǎo)數(shù)的必要性上：歷史從研究極值問(wèn)題產(chǎn)生研究導(dǎo)數(shù)的需要。

引例3：光的反射問(wèn)題

光的反射和折射在17世紀(jì)是一個(gè)十分盛行的研究課題。光射向平面時(shí)，入射角等于反射角，當(dāng)光射向圓弧時(shí)，入射光與反射光與圓弧的切線所成的角相等。那么，當(dāng)光射向其他曲線，光又如何反射呢？此時(shí)就需要解決曲線的切線問(wèn)題。

以往的教材是以切線和速度引入的，為了回避與高中的重復(fù)，在大學(xué)導(dǎo)數(shù)的教學(xué)中詳細(xì)講解引例1和引例2，引例3可以略講。通過(guò)引例的講解，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)概念不是憑空想象出來(lái)的，而是來(lái)源于實(shí)踐。這些引例的講解可以強(qiáng)化變化率的思想，加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)變化率含義的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用做好鋪墊。

2.重點(diǎn)講清連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系

學(xué)生雖然會(huì)求導(dǎo)，但是并不知道可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系。在教學(xué)上如果按照通常教科書上的證明來(lái)講，學(xué)生既覺得乏味無(wú)趣也覺得很難聽懂。在教學(xué)中，從歷史本原開始，由于研究導(dǎo)數(shù)的需要產(chǎn)生了連續(xù)問(wèn)題的研究。人們認(rèn)為連續(xù)必須可導(dǎo)，后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)了處處連續(xù)但是不可導(dǎo)的維爾斯特拉斯函數(shù)。那么連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系是什么呢？從無(wú)窮小的比較開始講，得出連續(xù)不一定可導(dǎo)的結(jié)論，這樣的解釋直觀本質(zhì)。接著通過(guò)絕對(duì)值函數(shù)和分形函數(shù)從圖形上引出局部直的概念。放大圖形后發(fā)現(xiàn)可導(dǎo)函數(shù)在放大后都近似于一條直線，這就是曲部直的思想。而不可導(dǎo)函數(shù)無(wú)論怎么放大都無(wú)法成為直線。由局部直自然的引出導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

四、總結(jié)

大學(xué)新生看到導(dǎo)數(shù)想到的是求導(dǎo)，說(shuō)明在他們?cè)诟咧惺艿降臋C(jī)械訓(xùn)練比較多，而缺乏對(duì)概念的深入講解和對(duì)概念間關(guān)系的剖析。針對(duì)學(xué)生的特點(diǎn)，在導(dǎo)數(shù)教學(xué)中抓住了變化率和局部直兩個(gè)重點(diǎn)，從歷史上的極值問(wèn)題，光的反射問(wèn)題引入導(dǎo)數(shù)，從歷史上研究導(dǎo)數(shù)時(shí)對(duì)連續(xù)概念的需求引入講解可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，結(jié)合圖形講解導(dǎo)數(shù)中的局部直的含義。這些教學(xué)設(shè)計(jì)能夠幫助學(xué)生更好的理解導(dǎo)數(shù)的概念，取得較好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)本科少學(xué)時(shí)[M].北京：高等教育出版社，2015

[2]高雪芬.微積分概念教學(xué)研究之述評(píng)—以Chappell文章為例.教學(xué)研究.2012（35）

作者簡(jiǎn)介：

梅俊華 （1984.8—），女，漢族，籍貫湖北松滋，講師，碩士研究生，主要研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)，圖像處理。

（作者單位：武漢工商學(xué)院民族教育學(xué)院）