在小學數學教學中培養學生的類比推理能力

劉德宏

（射陽縣教育局教研室，江蘇 鹽城 224300）

推理能力是《義務教育數學課程標準》提出的十個核心概念之一。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習、生活中經常要使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理兩種形式。[1]類比推理是合情推理的重要形式之一，它是由兩個或兩類思考對象在某些屬性上相同或相似，從而推出它們在其他屬性上也可能相同或相似的思維方式。[2]類比推理是在比較的基礎上，從特殊到特殊的推理,它是引發猜想、發現結論的有效途徑，是培養學生創新意識的重要方法。因此，在小學數學教學中，必須高度重視類比推理能力的培養。

一、類比推理的主要形式

1.外部形式上的類比

根據數學對象表面上的相似而進行的推理，是一種從形式到形式的類比，這種類比得出的結論或然性較大，但有助于學生對知識的理解。比如，學習了長方形的面積=長×寬，就會自然地想到正方形的面積=邊長×邊長，學習平行四邊形面積時，也可能想到平行四邊形的面積=底×鄰邊，但這個結論是錯誤的結論。

2.內在實質上的類比

通過比較分析數學對象之間的實質性的內在聯系而得出的推理，這種推理根據兩類對象在本質屬性方面的相似之處，類推出其他方面的相似，從而認識新數學對象的本質，因此，得出結論的正確性相對較高。比如，在學習比的基本性質之前，學生已經掌握了分數的基本性質，而且在這一知識的探究過程中，已經與商不變的規律進行了實質性的比較與聯系。學生認識了比的意義，知道了比的實質是兩個數相除，比也可以寫成分數的形式。因此，可緊緊抓住比與分數、除法的關系，引導學生根據分數的基本性質、商不變的規律，自然類比出比的基本性質。教學中，教師要激活學生已有知識，引導學生進行新舊知識的比較，找出新舊知識在本質上的一致性，從而主動進行知識的遷移，建構出新知識。

3.過程方法上的類比

數學教學要重視讓學生經歷知識的形成過程，獲得深刻的探究體驗，感悟數學思想方法，積累思維活動的經驗，促進技能方法的遷移。如，五年級學生在學習“圓的面積公式推導”時，把一個圓平均分成若干個小扇形，拼成一個近似的長方形，從而推導出圓的面積公式。經歷了這樣的過程，掌握了這樣的推導方法，學生在學習“圓柱體積公式推導”時，就自然地想到把圓柱的底面等分成若干個扇形，再沿著半徑切開，將圓柱拼成一個長方體，從而可以推導出圓柱的體積公式。這就是過程方法上的類比。

二、培養類比推理能力的教學策略

1.探尋本質聯系，搭建類比支架

數學知識之間有著密切的內在聯系。在學習新知時，要求學生頭腦里具備同化新知識的上位概念或相似概念，類比推理才能順利進行。因此，教師要充分激活學生的已有知識，尋找維系新舊知識的主線，探尋新舊知識的內在聯系，在最近發展區為學生搭建類比的支架，為實現知識遷移、進行類比推理打好基礎。如，學習“異分母分數加減法”，其本質上的根源知識，就是“相同數位上的數，才能直接相加減”這一計算原理，這就是維系知識聯系的主線，也就是類比的支架。學生在學習整數、小數、同分母分數加減法時，已經形成了這種計算認識，積累了這種計算經驗。因此，在教學時，可以先設計一組整數、小數、同分母分數加減法練習，引導學生歸納出計算過程背后隱含的共同核心要素——“相同數位上的數，才能直接相加減”。學生受這個計算原理的啟發，就能類比嘗試，將異分母分數轉化成同分母分數，實現計數單位相同，直接相加減。歸納出異分母分數加減法的法則后，再次進行新舊知識的對比，以凸顯出此類計算的共同點，強化新舊知識之間的本質聯系。這樣的類比教學活動，促進了學生對知識的深刻理解，構建了比較完善的知識結構，培養了學生的創造性思維。

2.基于生活原型，啟發類比抽象

現實生活中的實物原型往往會啟發人們展開類比聯想，引發猜測，獲得靈感，構造數學模型，抽象概括出數學概念。小學生的思維以直觀形象思維為主，現實生活中的實物原型對學習新知識有很大的啟發作用。因此，從原型啟發，展開類比學習，顯得尤為重要。例如，教學“認識線段”時，讓學生兩手捏住毛線的兩端，繃緊拉直，形成了線段的實物原型，進而有機地揭示出線段的本質屬性。教學“認識平行”時，讓學生觀察跑道線、操場上的雙杠、秋千架上的兩根立柱，再根據實物原型，畫出三組直線，抽象出共同點——永不相交，從而概括出平行線的定義。教學“角的認識”時，引導學生觀察剪刀圖、鐘面上的時針和分針組成的角、五角星等實物圖，再抽象出“角”。

這種基于生活原型，展開類比抽象的方式，符合小學生的認知規律，能夠促進學生從實物原型中受到一些原理性的啟發，實現生活原型與數學對象之間的思維直接對接[3]，從而在類比中積累一定的經驗，有機地進行數學抽象，主動建構出數學概念。

3.鼓勵聯想猜測，實現直覺類比

聯想與猜測都是類比推理常用的方法，類比的實質是一種聯想。教學中，要啟發學生找出新舊知識之間的相似性和本質聯系，展開聯想，大膽猜測，憑借直覺，進行類比推理。可以是知識的聯想類比（包括概念、關系、性質、定律、法則等），也可以是思想方法的類比聯想，還可以是解決問題思路與方法的聯想類比。

如，教學“體積單位”時，根據度量面積的大小需要統一面積單位，聯想到度量體積大小也要統一體積單位，并由1平方厘米、1平方分米、1平方米這三個常用面積單位聯想到1立方厘米、1立方分米、1立方米這3個常用體積單位；[4]在學習“等式的性質”時，由“等式的兩邊同時加上或減去同一個數，仍然是等式”聯想猜測到“等式兩邊同時乘或除以同一個數（0除外），仍然是等式”，從而完善了等式的性質；學過加法的交換律和結合律后，能夠聯想猜測到乘法的交換律和結合律。這些都是知識之間的聯想類比。

由于分數問題與百分數問題在數量關系和問題結構上的一致性，因此，就能由解決分數問題的思路與方法聯想類推到解決百分數問題的思路和方法；由行程問題中的“速度和×相遇時間=總路程”這一數量關系式類推到工程問題中去，得到“工作效率和×工作時間=工作總量”這一數量關系。[5]這樣的類比教學，將解決兩類問題的思路與方法有機地聯系起來，有效地實現了思路與方法的遷移，形成了更加完整的認知結構。

教學中，教師要為學生提供聯想猜測的機會，引導學生觀察思考、聯想猜測，借助直覺，類比發現，從而培養學生的創新意識。

4.利用數形結合，促進類比遷移

數與形是數學研究的兩個對象，借助圖形描述數式，利用數式解釋圖形，這樣的數形類比，能夠啟迪思路，發現規律，培養學生的創造性思維。[6]

例如，計算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。解題時，先讓學生嘗試計算，然后引導學生觀察圖形（參見圖1），發現規律，最后再利用規律，簡便計算。這樣的解題過程，將數轉換成形，學生受到圖形的啟發，進行數形類比，能夠發現“從1開始，連續奇數相加的和，等于奇數個數的平方”這一數學規律，最后利用發現的規律，簡便地算出了得數。數形類比的確起到了化繁為簡，化抽象為直觀，啟迪解題思路、發現數學規律的作用。

圖1

再如，教學時，學生往往想到先通分再計算，如果按照這樣的數字規律，再連加幾個分數，就顯得麻煩了。教師啟發引導學生將數式轉換成圖形，展開數形類比，能夠發現規律（參見圖2）。用一個大正方形表示1，在正方形中分別表示出，學生受到圖形的啟發,容易發現發現了這樣的規律，再讓學生利用規律，計算學生根據經驗類比，容易得出前1道算式結果為1－后1道算式結果為可見，這樣的類比教學活動，以形解數，化繁為簡，有效地培養了學生的創新意識。

5.重視驗證修正，減少類比失誤

類比推理是一種合情推理，它是根據新舊數學對象之間的相似性，類推得出的結論，但其結論具有或然性，未必全部正確，有時會出現形式主義錯誤。如，學生根據a-b-c=a-（b+c）類推出a÷b ÷c=a÷（b×c）,（b、c都不等于0），這個結論是正確的，但根據a×b+a×c=a×（b+c）類推出a÷b+a÷c=a÷（b+c）,這樣的結論就是錯誤的。解答“女生人數比男生人數多男生人數比女生人數少幾分之幾？”這道題目時，學生會錯誤地以整數計算的經驗，得出“女生人數比男生人數少”這一錯誤的結論。學習“平行四邊形的面積公式”時，學生往往根據長方形的面積=長×寬，錯誤地類推出平行四邊形面積=底×鄰邊。

圖2

出現上面的錯誤，究其原因，沒有深刻理解數學對象之間的內在關聯，沒有找到本質上的聯系，且沒有經過檢驗。為防止學生亂用類比造成錯誤，提高類比結論的可靠性。教師要重視培養學生檢驗修正的良好習慣，學會舉例驗證猜想，用反例揭示猜想中不合理的部分，逐步修正完善，以提高類比推理結論的正確性。如，教學“3的倍數的特征”時，學生往往根據2、5的倍數的特征，就看個位，輕易得出：個位上的數是3的倍數，這個數就是3的倍數。顯然，這個結論是錯誤的。教師可引導學生用13、16、19、23、26、29等反例來驗證，說明猜想是錯誤的。接著，再引導學生觀察百數表中的3的倍數，發現這些數個位和十位上數的和都是3的倍數，于是又做出猜想：如果一個數各個位上數的和是3的倍數，那么這個數就是3的倍數。最后再讓學生舉出不同的三位數、四位數，甚至五位數、六位數，并且及時用計算器進行驗證，得出第二次猜想是正確的，從而發現3的倍數的特征。學生經歷了類比猜想→舉例推翻猜想→再次猜想→驗證猜想→得出結論的過程，獲得的體驗會更加深刻，對特征的理解也會更加自然透徹。

類比推理可以獲得猜想，發現結論，要使結論具有可靠性，還要與演繹推理有機結合，進行猜想的驗證、結論的證明，從而提高類比推理結論的正確性。例如，在教學“圓面積計算公式的推導”時，先引導學生將一個圓等分成若干個扇形，然后拼成一個近似的長方形，再通過比較，找出長方形面積、長、寬分別與圓面積、周長、半徑之間的關系，在此基礎上，做出猜想，然后以下面的形式，有條理地推導出圓面積計算公式。

上面的探索過程，既應用了類比推理，也體現了類比推理與演繹推理的有機結合，保證了結論的可靠性。

類比推理是一種創造性推理，無論對學生今天的學習，還是與他們今后的工作及生活，都具有十分重要的作用。作為教師，要將類比推理能力的培養有機地融合在數學教學的整個過程之中，落實到數學課程的四個內容領域之中[7]，通過觀察、實驗、猜想、驗證等多樣化的數學活動，逐步實現推理能力的發展目標，努力提升學生的數學素養。▲

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2][3]顧曉東.小學數學教材中的類比推理及教學策略[J].教學與管理，2015（20）：39-42.

[4][5][6]劉德宏.重視類比教學發展數學思考[J].教學實踐與研究，2013（8）：79-80.

[7]史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.