古典概型算法研究

廖楚越

摘 要： 古典概型是概率統(tǒng)計(jì)中最基礎(chǔ)的概率模型，雖然模型簡(jiǎn)單，但是實(shí)際背景多變，在解題的時(shí)候直接套用公式往往是不得法的.本文總結(jié)了古典概型的幾大類問(wèn)題和解題技巧，幫助初學(xué)者系統(tǒng)地學(xué)習(xí)古典概型.

關(guān)鍵詞： 古典概型 概率統(tǒng)計(jì) 解題技巧

古典概型是概率論中最基礎(chǔ)和經(jīng)典的一種概率模型，指的是樣本空間樣本點(diǎn)數(shù)有限且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等的隨機(jī)試驗(yàn)。

2.三類古典概型

雖然古典概型的問(wèn)題有多種背景，變換多樣，但是多數(shù)問(wèn)題可以歸結(jié)為三類，接下來(lái)對(duì)每一種問(wèn)題進(jìn)行探討。

2.1摸球問(wèn)題

例：一個(gè)盒子中裝有9個(gè)紅球3個(gè)白球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，分別在以下兩種抽樣模式下計(jì)算A，B，C三個(gè)事件的概率。

（1）有放回抽樣：即每次抽取之后放回盒內(nèi)再抽下一個(gè)。

（2）不放回抽樣：即每次抽取后不放回，直接抽下一個(gè)。

A={第一次抽到紅球，第二次抽到白球}

B={抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球}

解：（1）樣本空間是從12個(gè)球中有放回取球兩次。第一次取球是從12個(gè)中取一個(gè)，第二次取球仍是從12個(gè)中取一個(gè)，則共有12■種可能。

對(duì)于事件A，第一次從9個(gè)紅球中取一個(gè)，第二次從3個(gè)白球中取一個(gè)，共有9·3種可能。

又如：箱子里面有10瓶酒，其中有3瓶是假冒品，現(xiàn)隨機(jī)抽取3瓶，求抽到1件假冒品的概率。

將正品和假冒品看做紅球白球，這就是一個(gè)摸球問(wèn)題。

2.2分盒問(wèn)題

再如：現(xiàn)有8人隨機(jī)地被分配到12個(gè)房間，求恰好有8個(gè)房間其中各住一人的概率。

上題可看做將8個(gè)物品放到12個(gè)盒子中。

2.3排序問(wèn)題

將一些數(shù)字或者字母等按照一定要求進(jìn)行排序的概率求解問(wèn)題。

例：從0到9中任選三個(gè)組成一個(gè)三位數(shù)，求這個(gè)三位數(shù)能夠被5整除的概率。

解：組成三位數(shù)時(shí)，百位不能取0，有9種選法。十位除了百位已取走的數(shù)，也有9種取法。個(gè)位除去百位和十位的數(shù)，剩下8種取法。則n=9×9×8.另外計(jì)算被5整除的可能性，末位是0或5。若末位是0有9×8種可能性，末位為5有8×8種可能性。

類似的題目如：把C，C，E，E，I，N，S這7個(gè)字母隨機(jī)排成一行，求恰好排成英文單詞SCIENCE的概率。

3.解題技巧

古典概型在求解時(shí)除了直接利用公式計(jì)算外，還可以通過(guò)一些技巧簡(jiǎn)化運(yùn)算。如在上文2.1取酒的問(wèn)題中直接計(jì)算需要討論一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)假冒品的情況，可考慮反面，用一減去一個(gè)假冒品都沒(méi)有的情況即可。

考慮到的前面，中間，后面的概率是一樣的，所以每種情況的概率均是1/3。這是利用了對(duì)稱的思想。

在古典概型的運(yùn)算中這些簡(jiǎn)便的方法多種多樣，需要根據(jù)題目靈活應(yīng)用，巧妙解題。

4.結(jié)語(yǔ)

以上我們簡(jiǎn)單總結(jié)了古典概型的常見(jiàn)類型和解題技巧。在實(shí)際操作中還需要多做練習(xí)，才能將各種方法融會(huì)貫通，順利解決各類概率運(yùn)算問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]王國(guó)政，劉洋.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].重慶：重慶大學(xué)出版社，2015.

[2]陳鴻建，趙永紅，翁洋.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2009.