實變函數課程教學的幾點體會

黃朝軍

摘 要： 實變函數課程的思想痕跡在初等數學中就有所體現，掌握實變函數的知識對正確理解和解釋中小學數學課程中的一些概念、性質和結論有很大的益處.點集的測度在現實中是能夠得到較好解釋的.函數的可測并不十分抽象，可以設計較好的情境講授函數的可測.在函數可測意義之下，實變函數課程很好地解決了函數列、函數項級數收斂內容中的難題，使計算得到大大簡化.

關鍵詞： 實變函數課程 點集的測度 可測函數

引言

實變函數課程對于大多數學生來說都很困難、很抽象，主要原因是學生習慣了從初等數學到數學分析或高等數學，所研究的函數都是常規的性質很好的函數.然而，有更多的性質不好的函數，需要換個角度認識它們，這就導致實變函數思想的形成，并最終成為一門課程.這門課程的思想方法與思想痕跡其實在中學數學課程及大學數學課程中都有所體現.

1.實變函數思想下初等數學內容的認識

為了研究函數的性質，對函數的定義域再認識，從而從另一角度研究集合，因此實變函數課程中一開始就研究集合，當然不只是停留在集合的簡單運算上.

當兩個集合之間能建立一一映射時，這兩個集合中的元素就是一樣多的.由于無理數集是不可數集，有理數集是可數集，則無理數集與有理數集不對等，這兩個集合中的元素就不是一樣多的，實際上無理數比有理數要多得多.利用一一映射，還可以得到任何一個三角形的三條邊上的點是一樣多的，但就長度而言三條邊往往不相等，這說明點不能有大小（度量），并不是人為規定點沒有大小.

對于兩個非空集合（點集）A與B，把A中的任何點與B中的任何點之間的距離的下確界說成是集合A與B之間的距離.這樣，一直線外一點到該直線的距離，平面上兩條平行直線之間的距離，兩條異面直線之間的距離，空間中兩平行平面之間的距離等，都采用垂線段的方式計算.按照此定義，平面上兩條相交直線之間的距離，兩個相交的平面之間的距離等則為零.

由此看出，只有真正學懂了實變函數課程，才能正確理解和解釋中小學數學課程中的一些概念、性質和結論.比如，點為什么不能有大小，有理數與無理數的本質區別是什么，無理數在實數中占有什么樣的地位，集合的表示為什么要用區間這樣的方法，為什么不是所有集合都能用列舉法表示，等等.

2.集合的測度之意義

拓廣對集合整體度量的認識，利用測度概念.在測度意義之下，點集可以是非常不規則的，其元素可以是相當凌亂的，集合的元素可以是多樣的，從而測度可以是長度，可以是體積，可以是質量，可以是概率，等等.在測度意義之下，由一個元素組成的集合，由有限個元素組成的集合，由可數個元素組成的集合，測度均為零.這樣，一個點的測度為零，這就說明點確實沒有大小.在測度意義之下，有理數集的測度是零，從而實數集R中基本上全都是無理數，或者說，一條直線上幾乎處處為無理點，實數的核心是無理數，實數集R的“質量”都集中在無理數上，無理數集是實數集R的“原子核”.

可數集的測度為零的一個現實反映，比如，一個篩子的孔是很多的，但也應該是有限個，不過可以理解為可數多個，當人們往篩子（懸空的）里盛放細小的東西（一部分可以穿過孔）時，如果人不搖晃篩子，則自然從孔漏出去的細小東西的體積幾乎為零.這就是為什么有了篩子，還得要人篩一篩，才能把東西分開成粗與細的兩個部分.

這表明，任何一個集合添加零測度集后，其測度不改變.這一性質的一個現實反映經常出現，比如人們外出旅行，收拾包裹行囊很滿，鼓鼓囊囊的，正要出門時突然看到一支筆或一把梳子被落下了，這時往往就把筆或梳子隨便插進包裹的縫隙里，照樣帶走.這里，相對于一大包東西，一支筆或一把梳子的體積或質量幾乎為零，添加進包裹也不會改變包裹的體積或質量，并不會影響人的出行.

由此看出，所謂集合的測度，其實并不那么抽象.

在測度意義之下，集合又區分為可測集與不可測集.零測度集是可測集，區間是可測集[2]，區間的并集是可測集，這些為函數范圍的拓寬奠定了基礎.不可測集是存在的，由于集合的測度是非負實數，那么不可測集的測度一定不為零，從而不可測集存在于正測度集之中.

3.可測函數概念教學的一個策略

對于函數，中學數學教材及數學分析里的函數，往往強調定義域的重要性，而且定義域基本上是連續的一個數集——區間，同時對函數的值域往往不太重視.這樣，導致學生習慣于從定義域到函數值認識函數，而忽視了從函數值范圍到自變量取值范圍認識函數.盡管教材里有所體現，比如，試根據函數y=3x-15的性質或圖像，確定y>0時x取何值[3]，觀察余弦曲線，寫出滿足條件cosx>0的區間[4]，但都是以習題的形式出現的，在教材的正文中幾乎沒有涉及.雖然這僅僅就是解函數不等式，但認識上、方法上還是有所不同.因此，在實變函數里突然出現一個可測函數概念，使學生感到迷惑.所以，筆者在講授可測函數概念時，是按照如下策略引導講解的.

由上述例子看出，連續函數是可測函數；處處不連續的函數也可以是可測函數，所以，可測函數是比連續函數更廣泛的函數類型。

上述通過設立情境導入概念，再以不同類型的函數討論其可測性，使得學生掌握可測函數這一概念比較容易，也掌握了判斷函數可測的具體方法，教學效果很好.

4.實變函數課程所解決的困難

這里，求和（級數收斂）運算與積分運算交換順序，并沒有要求函數列一致收斂，而只要求可測即可.像這樣的例子還有很多，不再枚舉.

由此看出，在可測的意義之下，解決函數列的收斂這樣的問題時就簡化多了.

5.結語

實變函數課程是數學分析課程的進一步延伸與升華，實變函數課程里包含了高深精細的理論，實變函數論是數學的一個重要分支，實變函數論的應用很廣泛，實變函數論的思想方法和觀念是某些數學分支的基本工具，甚至，實變函數論在數學的分支中的應用成為現代數學的重要特征.所以，把實變函數課程講授好，對學生的學習很重要，對更多學科的認識也很重要.

參考文獻：

[1]中學數學課程教材研究中心.義務教育教科書·數學（七年級下冊）[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2]徐新亞.實變函數論[M].上海：同濟大學出版社，2010.

[3]中學數學課程教材研究中心.義務教育教科書·數學（八年級下冊）[M].北京：人民教育出版社，2013.

[4]中學數學課程教材研究中心.普通高中課程標準實驗教科書·數學（必修4）[M].北京：人民教育出版社，2010.

[5]薛昌興.實變函數與泛函分析[M].北京：高等教育出版社，1993

[6]程其襄，等.實變函數與泛函分析基礎（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]鄺榮雨，薛宗慈，陳平尚，等.微積分學講義[M].北京：高等教育出版社，1989.

[8]劉培德.實變函數教程（第二版）[M].北京：科學出版社，2012.

[9]許靜波，程曉亮.實變函數論[M].北京：北京大學出版社，2014.

[10]何穗，劉敏思.實變函數[M].武漢：華中師范大學出版社，2013.