小學數學模型思想及培養策略

韓焱龍

【關鍵詞】模型思想 《四則運算》教學策略

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）01A-0021-02

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出了十個核心概念，“模型思想”是新增的核心概念之一，并且是唯一以“思想”指稱的概念。模型思想的基本內涵是什么？數學建模活動有哪幾個基本環節？其教育價值體現在哪些方面？怎樣培養學生的模型思想？本文試圖結合《四則運算》這一單元的教學實例談一些認識。

一、模型思想的基本內涵

人民教育出版社課程教材研究所王永春老師在《小學數學思想方法的梳理（三）》一文中這樣闡述：“數學模型是用數學語言概括或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。從廣義角度講，數學的概念、定理、規律、法則、公式、性質、數量關系等都是數學模型。”

學生通過抽象，在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系。在義務教育階段，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界的基本途徑。也就是說，我們應建立這樣的認識：數學與外部世界是緊密聯系的，連接它們之間的“橋梁”是數學模型。

二、數學建模過程的三個主要環節

王永春老師認為，建立和求解模型的活動應體現“問題情境→建立模型→求解驗證”的過程。模型思想的建立首先要“從現實生活或具體的情境中抽象出數學問題”，這表明現實的生活原型或情境是建模的源點，從中抽象出數學問題是建模的起點，此“從情境到問題”的環節可稱為“建模準備”。然后“用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律”，學生要通過觀察、分析、抽象、判斷、推理等數學活動完成模式抽象，得到模型，這是建模的關鍵環節，可稱為“構建模型”。最后是“求出結果并討論結果的意義”，要對模型進行分析、檢驗，看模型在別的同類問題中是否合理可用，如不合理，就要再次假設、修改、完善，這是模型檢驗、應用和拓展的過程，此“求解驗證”的過程可稱為“求解模型”。

三、小學數學教學中滲透模型思想的價值取向

在小學數學教學中滲透模型思想的價值取向可歸咎為三個層面。基礎層面是有利于學生認識數學的本質，通過構建數學模型，能使學生體會到數學與外部世界是緊密聯系的，建模的過程是對現實世界“數學化”的過程。核心層面是有利于學生解決問題和數學素養的提升，數學建模是一種縝密的推理活動，感悟模型思想的過程是一種思維不斷演進與發展的過程，能更好地落實數感、符號意識、幾何直觀、推理能力、應用意識和創新意識等課程目標，增強其數學應用意識和創新意識。發展層面是有利于學生的后續發展，建模是初中數學課程的學習內容，在小學階段滲透模型思想能提高學生學習數學的興趣和應用意識，同時能更好地與初中課程銜接，有利于學生的后續學習。

四、培養學生數學模型思想的策略

（一）從生活問題到數學問題

數學源于生活，又用于生活，數學教學要從學生的生活經驗和已有的認識水平出發，聯系生活學習數學知識。

【案例1】《加、減法的意義和各部分間的關系：逆推》教學片段

教師提供一個現實的生活情境引入新課，提問：（1）早上上學怎么走？（2）放學回家怎么走？（3）上學和放學所走的路線有什么關系？（4）怎樣才能原路返回？

上述教學片段，教師從一個現實的生活情境引入，讓學生調用已有的舊知識（方向和路程）和生活經驗，在思考解決“怎樣原路返回”這一問題的過程中感悟到“要回去就得逆向走”，初步感知互逆關系和逆推策略。這樣引入新課，充分調動了學生原有的知識和經驗，并有效遷移，有利于學生領悟加減法和乘除法的互逆關系，為今后繼續探索逆推策略作好心理準備。

（二）從數學問題到數學模型

數學模型是溝通數學與外部世界之間的橋梁。數學模型來自于現實世界，從現實抽象出數學問題，從數學問題出發構建數學模型，數學模型又用于解決類似的問題。如何幫助學生建立數學模型？這就需要教師指導學生運用數學的語言、符號和思想方法一步一步建立數學模型。

【案例2】《租船問題：優化思想與有序思考》教學片段

怎樣租船最省錢？

師：要最省錢，應該選擇租什么船？怎么租？

生1：租小船，因為32÷4=8（條）。剛好，不浪費座位。

生2：租大船，因為大船每人付5元，小船每人要付6元，所以要租6條大船。

生3：租6條大船，浪費4個座位，所以要盡量多租大船，再租小船，并且要盡量沒有空位。

師：這3種方案都各有理由，究竟哪種最省錢，需要通過計算來比較。

學生通過一系列計算、比較得出方案三最省錢后，教師讓學生討論如何快速有序找出最佳方案并計算費用：32=6×5+2，32=6×4+4×2，30×4+24×2=168（元），再引導學生建立初步的數學模型：總人數=大船限乘人數×大船數量+小船限乘人數×小船數量，租大船是最佳選擇，應該優先考慮，且要省錢就不能有空位。

上述案例，教師從租船這一生活情境引入，讓學生聯系已經學習過的“有序思考”或“逆推策略”尋找問題中隱含的二元一次方程4x+2y=32的解，在思考和解決“怎樣租船最省錢”這一問題的過程中初步感知優化策略與有序思考。“有序思考”還要“有序表達”，學生在教師的指導下學習“有序表達”，在運用數學語言和符號分析問題的同時理解模型結構化。

（三）從數學模型到數學問題

學生學習數學模型大致有兩種途徑：一是基本模型的學習，即學習教材中以例題為代表的新知識，這是一個探索的過程；二是利用基本模型去解決各種問題，這是一個應用、拓展的過程。

【案例3】《解決問題的策略：逆推》教學片段

學生獨立解答后交流自己的思考過程，教師即時板書，使學生明確自己使用的是逆推策略：從右往左逆推時，加法要變減法，乘法要變除法，逆推策略可以幫助我們解決一些數學問題。

學生在初步建立逆推模型（已知現在求原來的基本策略是要‘回去就得‘倒著走）后，就可以應用、拓展到習題中，幫助學生初步形成模型思想，提高學生的數學興趣和應用意識。上述案例中，教師沒有直接提出讓學生應用逆推策略進行推算，而是結合學生的交流思考過程演變成一個顯性的逆推題圖，使學生獲得更為深刻的感性認識：逆推策略和“回家的路”很相似，已知現在求原來，可以“倒著算”。

（四）從數學問題到生活問題

數學家華羅庚說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。”這段話闡述了這樣一個觀點：現實世界中的“故事”可以用數學來闡述，數學可以幫助我們解決生活問題。

【案例4】《解決問題的策略：逆推和有序思考》在現實中的應用

1.基本應用。

師：剛才我們以租船為例，學習了用優化、有序思考和逆推的方法解決問題，你能用這種方法快速計算出練習三中的第4題嗎？

春游：我校共有老師14人，學生326人。大車可坐40人，租金900元；小車可坐20人，租金500元。怎樣租車最省錢？

解答：14+326=340人，340=40×8+20，900×4+500=4100（元）。

2.拓展應用。

①王叔叔要購買220千克大米，怎樣買合算？一共要多少元？（注：20千克，96元/袋；30千克，135元/袋。）解答：220=30×7+10，220=30×6+20×2，135×6+96×2=1002（元）。

②現在有一批貨物，重50噸，準備用大貨車和小貨車運輸。怎樣安排最省錢？（注：小貨車載重量5噸，運輸費80元/次；大貨車載重量8噸，運輸費110元/次。）解答：50=8×6+2，50=8×5+5×2，110×5+80×2=710（元）。

上述案例，讓學生對基本模型（總人數=大船限乘人數×大船數量+小船限乘人數×小船數量）分層次地進行檢驗、拓展。以購物、載貨等現實原型為背景，對模型進行逐步完善，抽象出二次模型：總數=最佳選擇×數量+次佳選擇×數量。這些習題，加深了學生對有序思考和逆推策略的認識，也使學生體會到了數學和生活的密切聯系，有助于學生初步形成模型思想，提高學習興趣和應用意識。

特級教師徐斌老師在《為學生的數學學習服務》講座中指出：數學要從生活出發培養應用意識，數學與生活緊密關聯，它們之間的關系可以理解為：

顯然，本文所敘策略正是對徐老師所揭示的生活與數學的關系的理解和具體運用。

一個單元必定有幾個串聯的主要知識節點，“四則運算”的節點是從生活問題入手揭示四則運算各部分間的關系，再運用這種關系和順向、逆向的計算方法有效解決問題。當然，從“四則運算”這一單元中的計算和問題解決兩個方面來探索模型思想的培養策略只是一個小小的視覺。模型思想涵蓋于各數學領域，在教學中，需要教師在數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四大領域的教學中進行有機滲透。讓學生在獲取數學知識和技能的過程中體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程，這個過程有助于學生初步形成模型思想，也有助于教師在現實中探尋培養策略，從而促進學生數學模型思想的形成和發展，最終提高學生的數學素養。（責編 林 劍）